Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета часть 2 Екатеринбург 2008

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»

Математический факультет

Кафедра геометрии

ГЕОМЕТРИЯ

Методические рекомендации

для студентов II курса

математического факультета

часть 2

Екатеринбург 2008

Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Геометрия» и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы к коллоквиуму, зачету и экзамену.

Составители:
Толстопятов В.П., к. ф.-м. н., доцент кафедры геометрии

Унегова Т.А., к. ф.-м. н., доцент кафедры геометрии

Дударева Н.В., к. пед. н., зав. кафедрой геометрии

1. Программа курса
1. Проективная геометрия

Проективные пространства. Проективная плоскость. Проективные преобразования. Квадрики на проективной плоскости.

2. Элементы топологии

Понятие топологического пространства. Различные способы задания топологии. Непрерывность и гомеоморфизм. Связность и компактность топологических пространств. Эйлерова характеристика и ориентируемость замкнутых поверхностей.

3. Изображение фигур на плоскости

Понятие изображения. Изображение плоских фигур. Изображение пространственных фигур.

2. Лекции

Предмет проективной геометрии. Расширенная плоскость, расширенная прямая. Перспективные отображения.
Определение проективного пространства. Модели проективной прямой и плоскости. Простейшие свойства проективной плоскости.
Проективный репер, проективные координаты. Теорема о задании проективного репера упорядоченной системой точек общего положения.
Однородные аффинные координаты. Построение точек по координатам на расширенной плоскости.
Уравнение прямой на проективной плоскости. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
Применение теоремы Дезарга к решению задач элементарной геометрии.
Сложное отношение четырех точек проективной прямой. Геометрический смысл сложного отношения четырех точек расширенной прямой. Сложное отношение четырех прямых пучка.
Гармонические четверки точек и прямых. Полный четырехвершинник, его свойства.
Применение свойств полного четырехвершинника к решению задач.
Проективные преобразования плоскости. Теорема о задании проективного преобразования парой соответствующих проективных реперов. Аналитическое задание проективного преобразования. Эрлангенская программа Клейна. Предмет проективной геометрии.
Проективные отображения прямых и пучков. Инволюции.
.Линии второго порядка на проективной плоскости. Пересечение линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
Полюсы и поляры. Поляритет. Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости. Овальные кривые. Теорема Штейнера.
Аффинная геометрия с проективной точки зрения. Евклидова геометрия с проективной точки зрения.
Метрические пространства.
Определение топологического пространства. Индуцированная топология. Топологическое подпространство. Замкнутые множества. Окрестности. Типы точек. Замыкание.
Непрерывность и гомеоморфизм. Примеры топологических инвариантов.
Понятие поверхности в евклидовом пространстве. Замкнутые поверхности. Ориентируемость поверхности. Эйлерова характеристика поверхности. Топологические свойства проективной плоскости.

3. Практические занятия

Параллельное проектирование и его свойства.
Построения на изображениях плоских фигур.
Изображение окружности и ее комбинаций с многоугольниками.
Построение сечений в многогранниках.
Построение сечений в многогранниках.
Построение сечений в многогранниках.
Построение сечений плоскостями, параллельными данным прямым или плоскости.
Перпендикулярные прямые и плоскости.
Перпендикулярные прямые и плоскости.
Изображение сферы с многогранниками.
Изображение сферы с многогранниками.
Изображение сферы с многогранниками
Аксонометрия.
Аксонометрия.
Центральное проектирование. Линейная перспектива.
Центральное проектирование. Линейная перспектива.
Школьникам о проективной геометрии.
Предложение Штейнера.

4. Материалы для практических занятий,

домашних заданий и контрольных работ
Занятие 1. Параллельное проектирование и его свойства.

Цель занятия: На примерах построения изображений некоторых геометрических фигур повторить основные свойства параллельного проектирования.

При подготовке к занятию изучить метод параллельного проектирования, основные свойства параллельной проекции, построение изображений многоугольников.

Вопросы для обсуждения:

Какая фигура может служить образом точки, прямой, отрезка, луча, угла, плоскости при параллельном проектировании?
Может ли служить изображением а) данного четырехугольника – произвольный четырехугольник;
б) ромба – квадрат; в) параллелограмма – трапеция; г) параллелограмма – квадрат; д) трапеции – прямоугольник?
Какие свойства прямоугольника сохраняются при его изображении?
При каких условиях данный четырехугольник может служить изображением равнобедренной трапеции?

Задачи

Построить изображение квадрата, зная изображения двух его смежных вершин и центра.
Построить изображение треугольника, зная изображение одной его вершины и оснований медиан, проведенных из двух других вершин.
Построить изображение правильного шестиугольника , зная изображение трех его вершин: а) ; б) ; в) .
Дано изображение прямоугольного треугольника, катеты которого относятся как . Построить изображение биссектрисы прямого угла треугольника.
Дано изображение прямоугольного треугольника, катеты которого относятся как . Построить изображение высоты треугольника, проведенной из вершины прямого угла.
Дано изображение квадрата, точки и прямой, лежащих в одной плоскости. Построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Дано изображение правильного треугольника. Построить изображение прямоугольной трапеции с острым углом в , высотой, равной высоте треугольника, и меньшим основанием, равным стороне треугольника.
Дано изображение правильного треугольника. Построить изображение ортоцентра треугольника, вписанного в треугольник.

Домашнее задание.

Дано изображение равностороннего треугольника и произвольного треугольника, лежащих в одной плоскости. Построить изображения высот второго треугольника, центра его описанной окружности.
Дано изображение квадрата , точки – середины , точки – пересечения и . Построить изображение ортоцентра треугольника , перпендикуляра, проведенного из точки к .
Дано изображение равнобедренного прямоугольного треугольника. Построить изображение квадрата, сторона которого равна: а) катету треугольника;
б) гипотенузе треугольника.

Занятие 2. Построения на изображениях плоских фигур.

Цель занятия: Научиться выполнять построения на изображениях плоских фигур, используя свойства параллельного проектирования.

Вопросы для обсуждения:

Дано изображение треугольника. Какие точки плоскости могут служить изображением: а) ортоцентра; б) центра описанной окружности; в) центра вписанной окружности оригинала?
Какое изображение называется полным, метрически полным?
Что можно сказать о полноте изображения плоской фигуры?
Когда изображение плоской фигуры будет метрически полным?

Задачи

Дано изображение остроугольного треугольника и его ортоцентра. Построить треугольник, подобный оригиналу.
Дано изображение равнобедренного треугольника с вершиной , медиана которого равна основанию, и изображение прямой , лежащей в плоскости треугольника. Построить изображения точек прямой , удаленных от на расстояние, равное высоте треугольника.
Дано изображение равнобедренного треугольника, высота которого в два раза меньше основания. Построить изображение квадрата, вписанного в треугольник так, что две его вершины лежат на основании.
Дано изображение треугольника, стороны которого относятся как . Построить изображение центра вписанной окружности треугольника.
Дано изображение треугольника, стороны которого относятся как . Построить изображение ортоцентра этого треугольника.
Дано изображение треугольника, его ортоцентра, прямой и точки, лежащих в плоскости треугольника. Построить изображение перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.
Дано изображение равнобедренного треугольника, высота которого равна основанию. Построить изображение центра описанной окружности треугольника.

Домашнее задание.

Дано изображение прямоугольного треугольника с острым углом . Построить изображение квадрата, вписанного в треугольник так, что две его вершины лежат на гипотенузе.
Дано изображение ромба с острым углом . Построить изображение высоты, проведенной из вершины тупого угла.

Занятие 3. Изображение окружности и ее комбинаций с многоугольниками.

Задачи

Дано изображение окружности. Построить изображение:

а) правильного треугольника, вписанного в окружность;

б) правильного треугольника, описанного около окружности;

в) квадрата, вписанного в окружность, описанного около окружности;

г) правильного восьмиугольника, вписанного в окружность, описанного около окружности;

д) правильного шестиугольника, вписанного в окружность, описанного около окружности;

е) прямоугольного треугольника с острым углом , вписанного в окружность;

ж) равнобедренного треугольника с углом при вершине , вписанного в окружность.

Дано изображение треугольника, вписанного в окружность. Построить изображение его ортоцентра, центра окружности, вписанной в треугольник.
Дано изображение окружности. Построить изображение: а) прямоугольника, вписанного в окружность, стороны которого относятся как ;
б) равнобедренной трапеции с острым углом , описанной около окружности.

Домашнее задание.

ИДЗ Работа №1. Построения на изображениях плоских фигур, [6].

Занятие 4-6. Построение сечений в многогранниках.

Рассматриваются задачи, демонстрирующие различные способы задания секущей плоскости и различные приемы построения сечений.

Домашнее задание.

ИДЗ. Работа №2. Построение сечений в многограннике, цилиндре, конусе, [6].

Занятие 7. Построение сечений плоскостями, параллельными данным прямым или плоскости.

Задачи

Построить сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно противолежащему боковому ребру.
Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку на боковом ребре параллельно двум скрещивающимся ребрам.
Через середину высоты четырехугольной пирамиды провести плоскость параллельно двум скрещивающимся ребрам.
Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку на боковом ребре параллельно скрещивающимся диагоналям двух смежных граней.

Домашнее задание.

Построить сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку, делящую в отношении отрезок, соединяющий центры оснований, параллельно диагонали параллелепипеда и скрещивающейся с ней стороне основания.
Построить сечение пятиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.
Построить сечение пятиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки в двух смежных гранях параллельно общему ребру этих граней.

Занятие 8-9. Перпендикулярные прямые и плоскости.

Задачи

Построить общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.
Доказать, что плоскость, проходящая через концы ребер куба, выходящих из одной вершины, перпендикулярна диагонали куба, проходящей через эту вершину.
В кубе построить общий перпендикуляр к прямым: а) и ; б) и ; в) и , где – середина ; г) и ; д) и ; е) и , где .
Дано изображение правильного тетраэдра. Построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки боковой грани на другую боковую грань.
построить изображение точек поверхности куба , равноудаленных а) от точек и ; б) от концов диагонали куба; в) от центра грани и середины ; г) от точки и центра грани ; д) от точки и середины ; е) от точек и .
На поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой в два раза больше высоты пирамиды, найти точки, равноудаленные от концов бокового ребра.
На поверхности правильной треугольной призмы , все ребра которой равны между собой, найти точки, равноудаленные: а) от и середины ребра ; б) от и середины ; в) от середин ребер и ; г) от плоскостей и .
На поверхности правильной треугольной пирамиды, апофема которой в два раза длиннее высоты основания, найти точки, равноудаленные от концов апофемы.

Домашнее задание.

ИДЗ. Работа №3. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, [6].

Занятие 10-12. Изображение сферы с многогранниками.

Задачи

Около шара описать четырехугольную призму, в основании которой лежит прямоугольная трапеция с острым углом в .
Около шара описать куб.
Около шара описать правильную четырехугольную пирамиду, боковые грани которой составляют с плоскостью основания углы .
В шар вписать куб.
В шар вписать правильную четырехугольную пирамиду так, чтобы ее высота была равна диагонали основания.
В шар вписать правильную четырехугольную пирамиду, диагональное сечение которой – правильный треугольник.
В шар вписать четырехугольную пирамиду, основание которой – прямоугольник с углом между диагоналями , а высота равна диагонали основания и проходит через центр шара.
В шар вписать правильный октаэдр.
В шар вписать правильный тетраэдр.

Домашнее задание.

ИДЗ. Работа №4. Комбинации многогранников и тел вращения, [6].

Занятие 13-14. Аксонометрия.

Рассматриваются задачи, демонстрирующие различные способы задания в аксонометрии точек, прямых, плоскостей и приемы построения пересечений прямых и плоскостей.

Домашнее задание.

ИДЗ. Работа №5. Построение пересечения многогранников, [6].

Занятие 15. Школьникам о проективной геометрии.

Занятие 16. Предложение Штейнера.

Занятие 17. Элементы топологии

Занятие 18. Элементы топологии
Вариант контрольной работы

по проективной геометрии

На проективной плоскости постройте точку
Через данную точку и недоступную точку пересечения двух прямых провести прямую, пользуясь только линейкой.
Сформулируйте утверждение, двойственное к утверждению «Через любые две различные точки проходит единственная прямая».
Напишите уравнение проективной прямой, проходящей через точки и .
Найдите точку пересечения проективных прямых
Проверьте, лежат ли точки , , , на одной прямой. В случае положительного ответа найдите сложное отношение этих точек.
Найдите преобразование проективной прямой, при котором точки переходят соответственно в точки
Дано проективное преобразование проективной плоскости .

Найдите:

образ и прообраз точки
инвариантные точки преобразования.

Вопросы к экзамену

Проективное n – мерное пространство. Модели проективной прямой.
Проективное n – мерное пространство. Модели проективной плоскости.
Простейшие свойства проективной плоскости.
Проективный репер, проективные координаты. Задание проективного репера упорядоченной системой точек.
Однородные аффинные координаты.
Построение точек по проективным координатам на проективной плоскости.
Уравнение прямой на проективной плоскости. Принцип двойственности на проективной плоскости.
Теорема Дезарга, её применение к решению задач.
Геометрический смысл сложного отношения четырех точек расширенной прямой.
Гармонические четверки точек и прямых, их свойства, примеры.
Полный четырехвершинник, его свойства, применение к решению задач.
Проективные отображения прямых и пучков.
Проективные преобразования плоскости, их свойства. Предмет проективной геометрии.
Перспективное отображение прямой на прямую, его свойства. Сложное отношение четырех прямых пучка.
Линии второго порядка на проективной плоскости, их пересечение с прямой.
Классификация линий второго порядка на проективной плоскости.
Полюсы и поляры. Поляритет.
Касательная к линии второго порядка.
Овальная кривая. Теорема Штейнера, следствия.
Проективная модель аффинной плоскости.
Параллельное проектирование, его свойства.
Полнота и метрическая полнота изображений плоских фигур.
Полнота и метрическая полнота изображений пространственных фигур.
Построение сечений плоскостями, параллельными данным прямым или плоскостям.
Построение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.
Построение сечений плоскостями, перпендикулярными данной прямой.
Построение сечений многогранников, цилиндров, конусов.
Изображение сферы, построение меридианов.
Изображение сферы, построение параллелей.
Аксонометрия: изображение точек, прямых, плоскостей.
Метрические пространства.
Топологическое пространство, топологическое подпространство.
Замкнутые множества, их свойства.
Замыкание множества, свойства замыканий.
Внутренность множества, свойства внутренностей.
Непрерывные отображения, условие непрерывности отображения.
Гомеоморфизм топологических пространств. Предмет топологии. Связность как топологический инвариант.
Предмет топологии. Компактность как топологический инвариант.
Замкнутые поверхности в E₃. Эйлерова характеристика поверхности. Примеры вычисления Эйлеровой характеристики поверхности.
Замкнутые поверхности в E₃. Ориентируемость поверхности. Примеры ориентируемых и неориентируемых поверхностей.
Топологические свойства проективной плоскости.

Проективная геометрия

Аффинная плоскость из четырех точек и ее расширение.
Проективная плоскость из семи точек.
Обратная и двойственная теоремы к пространственной теореме Дезарга.
Решение конструктивных задач проективной геометрии (построение касательной к квадрике, построение квадрики по пяти точкам и др.)
Применение проективных фактов к решению элементарно-графических задач.

Изображение фигур на плоскости

Доказательство свойств параллельного и центрального проектирования.
Вопросы обоснования изображения цилиндра, конуса и сферы при параллельном проектировании.
Теорема Польке-Шварца и ее доказательство.
Построение сечений многогранников с выемками.

Литература

Учебно-методическое издание

Геометрия. Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета. Часть 2
Составители: