Минимум о тензорах

Тензоры и тензорные операции

Введение

В предыдущем параграфе мы впервые столкнулись с новым геометрическим объектом -- тензором. До сих пор таких геометрических объектов было два: скаляр и вектор. Пример скаляра -- плотность массы , пример вектора -- скорость перемещения .

Плотность массы -- это некоторое число. Компонента вектора в некотором базисе тоже число. Является ли компонента вектора скаляром? Нет, не является. Почему же одно число -- скаляр, а другое -- нет? Дело, разумеется, не в числах, как таковых, а смысле, которым мы наделяем те или иные объекты, принимающие численные значения. Так, имеет смысл плотности массы, а имеет смысл компоненты вектора относительно выбранного базиса. Последнее указание является определяющим: если есть плотность массы безотносительно к какому-либо базису, то без ссылки на выбранный базис теряет смысл компоненты вектора. При этом сам вектор имеет смысл скорости перемещения независимо от того выбран базис или нет. И и существуют сами по себе (в рамках той или иной задачи). Системы же координат, базисы и прочее тому подобное, нам требуются лишь для того, чтобы иметь возможность описывать векторы и более сложные объекты числами, и свести работу с этими объектами к работе с характеризующими их числами. Однако, эти числа являются характеристиками наших объектов лишь относительно заранее выбранных отсчетных (базисных, реперных) объектов, а не сами по себе.

Изучая скорость изменения скаляра , мы обнаружили, что производные являются компонентами вектора в координатном базисе . При исследовании скорости изменения вектора мы получили набор величин . В том же координатном базисе они являются компонентами нового геометрического объекта -- тензора . По аналогии с названием вектора , тензор называется градиентом вектора . В силу того, что -- двухиндексная величина, она называется компонентой тензора 2-го ранга, а сам тензор представляется матрицей

Как и другие геометрические объекты, тензор не зависит от выбора системы координат, т.е. существует сам по себе. Действительно, запишем еще раз скорость изменения , воспользовавшись формулой Эйлера (3.9)

(4.1)

В левой части этого равенства стоит величина, инвариантная по отношению (т.е. безразличная) к замене базиса, следовательно такой же должна быть и правая часть. Первое слагаемое в правой части не зависит от выбора базиса. Значит, таким же должно быть и второе. Вектор скорости , как и скалярное произведение, не чувствительны к замене базисных векторов. Таким образом, градиент также не должен от него зависеть.

Не все величины, снабженные индексами, являются компонентами каких-либо тензоров. Например, символы Кристоффеля. Подробности см. в [13].

Тензор 2-го ранга и его компоненты

Что же все-таки такое тензор? Есть разные способы осмысления этого понятия.²⁸ Будем пользоваться следующим определением.

Тензором 2-го ранга будем называть линейное отображение векторного пространства в себя, т.е. преобразование векторов векторного пространства в векторы того же пространства.

Например, если и  -- векторы некоторого векторного пространства и  -- тензор, отображающий в , то

(4.2)

Линейность как обычно означает, что для каждого отображения , всяких векторов и и всяких чисел и выполняется равенство:

т.е. можно раскрывать скобки и выносить числовые множители за знак тензора.

Определяя в векторном пространстве базис , мы ставим в соответствие векторам наборы чисел (компонент): и . При этом свой набор компонент получает и тензор. А именно, подставим в (4.2) разложение вектора по базису. Получим

В силу линейности тензора, полученное выражение можно записать так

Выражение в скобках, как следует из определения тензора, есть некий новый вектор . Его, как и любой другой вектор, можно представить в виде разложения по базису , после чего цепочка равенств принимает вид

В последнем равенстве введено новое обозначение

Компоненты и определяют вектора и относительно базиса однозначно. Следовательно, числа так же однозначно задают преобразование (4.2), т.е. тензор . Эти числа называются компонентами тензора относительно базиса . Количество их равно квадрату размерности пространства, поэтому тензор удобно записывать в виде квадратной матрицы. Если теперь записать векторы и в виде столбцов, то выражение (4.2) примет вид

Умножая матрицу на вектор, для -ой компоненты вектора получим . Это произведение называется сверткой тензора с вектором и в бескоординатной форме часто записывается так . Такая конструкция симметрична: и, значит, .

Все известные нам теперь геометрические объекты -- скаляры, векторы, тензоры -- можно считать тензорами различных рангов. Ранг тензора соответствует количеству индексов у его компонент. Так скаляр -- тензор 0-го ранга, а вектор -- тензор первого ранга.

Алгебраические тензорные операции

Математические действия с тензорами, в результате которых получается тензор, называются тензорными операциями. Вот список алгебраических тензорных операций.

1. 
   Сложение тензоров одинакового ранга; осуществляется покомпонентно; результат -- тензор того же ранга:
   
2. 
   
   
3. 
   Умножение тензора на число; умножается покомпонентно; результат -- тензор того же ранга:
   
4. 
   
   
5. 
   Свертка по паре индексов; ранг результата на два меньше суммы рангов сворачиваемых тензоров:
   
6. 
   
   
7. 
   Скалярное произведение (определено для тензоров одинакового ранга); результат -- скаляр:
   
8. 
   
   
9. 
   Тензорное произведение; ранг результата равен сумме рангов сомножителей:
   

Легко видеть, что перечисленные тензорные операции -- это хорошо известные действия с векторами и квадратными матрицами: сложение, умножение на число, произведение матриц и вычисление следа произведения. Знакомый пример пятой операции -- это произведение вектора-столбца на вектор-строку. Результат -- квадратная матрица.

Дифференциальные тензорные операции

Кроме алгебраических тензорных операций есть и другие. Градиент или ковариантная производная -- пример дифференциальной тензорной операции.

1. 
   Градиент. Ранг результата на единицу больше ранга исходного тензора. Например,
   
   1. 
      градиент скалярной функции есть вектор вида
      

2. 
   градиент векторнозначной функции есть тензор 2-го ранга с компонентами в базисе следующего вида:
   

Если базис декартов, то ковариантные производные равны частным и предыдущее выражение записывается так:

2. 
   Дивергенция. Ранг результата на единицу меньше ранга исходного тензора. Например,
   
   1. 
      дивергенция вектора есть скаляр вида
      

2. 
   дивергенция тензора 2-го ранга есть вектор с компонентами
   

3. 
   Если базис декартов, ковариантные производные в обоих случаях заменяются на частные. Дивергенция часто рассматривается как свертка вектора с соответствующим тензором или вектором. В последнем случае свертка эквивалентна скалярному произведению, чем часто пользуются при записи дивергенции вектора, т.е. пишут
   
4. 
   
   
5. 
   Однако нужно иметь в виду, что  -- дифференциальный оператор, а не настоящий вектор. По этой причине выражение теряет одно из важных свойств скалярного произведения -- симметричность, т.е.
   
6. 
   
   
7. 
   Действительно, из определения дивергенции следует, что  -- скаляр, в то время как  -- дифференциальный оператор. Другое дело, если используется выражение вида . Здесь оба сомножителя в скалярном произведении полноценные векторы, и симметрия имеет место, т.е. .
   

Выражения, в которых тензоры или тензорные компоненты комбинируются только при помощи этих операций, называются тензорными выражениями. Тензорные выражения удобны тем, что они справедливы в любом базисе.

Некоторые специальные тензоры

Кроме тензоров общего вида, существует несколько тензоров, обладающих специальными свойствами.

1. 
   Нулевой и единичный тензоры.
   Отображение, которое переводит любой вектор в нулевой вектор, называется нулевым тензором и обозначается символом . Матрица нулевого тензора в любом базисе равна нулевой матрице.
   Тождественное отображение называется единичным тензором и обозначается символом . В любом базисе матрица единичного тензора есть единичная матрица, и компоненты единичного тензора равны , т.е. символам Кронекера.²⁹
   Для всех векторов данного векторного пространства, таким образом, верны равенства
   

2. 
   Обратный тензор.
   Если тензор взаимно однозначен, то он обратим, т.е. существует тензор , называемый обратным, такой, что
   

Нулевой тензор -- пример необратимого (или вырожденного) тензора. Если тензоры и обратимы, то их свертка также обратима и

Кроме того,

Если -- число, то

3. 
   Транспонированый тензор.
   Пусть -- ортонормированный базис, и , и . Рассмотрим скалярное произведение векторов и :
   

   (4.3)

4. 
   
   
5. 
   Действие тензора на вектор в компонентной записи сводится к умножению матрицы на вектор-столбец. По существующей договоренности, первый индекс матричного элемента нумерует строку, а второй -- столбец. По правилам же умножения матриц, элемент результата есть сумма произведений элементов строки матрицы на соответствующие элементы столбца второго сомножителя. Для того чтобы в (4.3) поменять местами порядок суммирования и записать все это в матричной нотации с сохранением правил умножения матриц, нам требуется ввести новую матрицу с теми же компонентами, что и у матрицы , но стоящими в другом порядке: строки и столбцы меняются местами. Новая матрица называется транспонированой по отношению к матрице . Соответствено, тензор, матрицей которого в базисе является , называется транспонированым по отношению к тензору . Таким образом, имеем
   
6. 
   
   
7. 
   Легко проверяются следующие свойства операции транспонирования:
   
   
   
   Если -- обратимый тензор, то .
   
8. 
   Симметричный и антисимметричный тензоры.
   Если
   

то тензор называется симметричным. Матрица такого тензора симметрична относительно главной диагонали, т.е. .

Аналогично, если

то тензор называется антисимметричным, а его матрица антисимметрична относительно главной диагонали, т.е. .

Если у матрицы тензора 2-го ранга общего вида в трехмерном пространстве число независимых компонент равно 9-ти, то у любого симметричного тензора оно сокращается до 6-ти (три над- или поддиагональных элемента + три элемента на диагонали), а у антисимметричного -- до 3-х (диагональный элемент должен быть равен самому себе с обратным знаком: единственный вариант -- нуль).

Упpажнение. Сколько независимых компонент у тензора 2-го ранга: а) общего вида, б) симметричного и в) антисимметричного в 4-хмерном пространстве; в -мерном пространстве?

9. 
   Ортогональный тензор.
   Введение в рассматриваемое векторное пространство дополнительной структуры -- скалярного произведения, позволяет определить, наряду с прочим, длину вектора . Тензор называется ортогональным,если он сохраняет длину вектора, т.е.
   

   (4.4)

10. 
    
    
11. 
    В этом случае . Действительно, в силу (4.3) и (4.4) верна цепочка равенств (здесь над знаками равенства указаны номера формул, в силу которых равенства выполняются)
    
12. 
    488#13
    
13. 
    но , следовательно, . Поскольку, по определению , значит .
    
14. 
    Положительно определенный тензор.
    Симметричный тензор называется положительно определенным, если для любого ненулевого вектора имеет место неравенство
    

Задача на собственные значения

Тензор второго ранга преобразует один вектор в другой. Рассмотрим действие какого-нибудь обратимого тензора на произвольный ненулевой вектор . Результатом такого действия будет новый вектор , в общем случае не совпадающий с вектором , т.е. отличной от него длины и повернутый относительно него на некоторый угол.

Будем плавно менять направление вектора , например, вращать его по часовой стрелке. Поскольку вектор линейно зависит от вектора , его направление также будет плавно меняться. Однако скорость этого изменения и его направление могут быть иными. По этой причине после поворота вектора на некоторый угол направления векторов и могут совпасть или стать противоположными. В обоих случаях результирующий вектор оказывается пропорциональным исходному вектору . Математически такая ситуация записывается в виде следующего равенства

(4.5)

где  -- некоторое число, и если она реализовалась, то направление вектора называется собственным направлением тензора , а сам вектор -- собственным вектором этого тензора. Действие тензора на собственный вектор сводится, как мы видим, к растяжению/сжатию его в раз и отражению, если . Число называется собственным числом (значением) тензора .

Собственные значения и собственные векторы -- важные характеристики тензоров. Для их отыскания требуется решить задачу (4.5), которая в этом случае называется задачей на собственные значения. Каждому собственному числу соответствует бесконечно много собственных векторов. Действительно, если -- собственный вектор, т.е. вектор, удовлетворяющий равенству (4.5), любой другой вектор где -- какое-то число, также удовлетворяет этому равенству.

Собственные числа положительно определенного тензора положительны.Действительно, если тензор положительно определен и вектор его собственный вектор, т.е. , тогда