ГЛАВА 14. ТЕРМОДИНАМИКА ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
14.1. Модель течения и основные допущения, уравнения энергии, Бернулли, неразрывности и состояния для одномерного стационарного потока.
Непрерывное течение газа рассматривается в термодинамике как равновесный процесс. Принимается, что течение – пространственно одномерное, т.е. параметры потока газа: давление р, температура Т, скорость w и плотность и др. изменяются только в направлении течения и, что течение - стационарное (установившиеся), т.е. параметры не изменяются во времени ; расход газа G=const();

Принимается также, что течение - адиабатное, т.е. =0, изоэнтропийное, т.е. ds=0, что техническая работа не совершается и что пьезометрическая высота не изменяется (dy=0).

Для определения параметров потока (W, p, T, ) в каждом поперечном сечении по длине канала f_x решается при сделанных допущениях следующая система уравнений:

- уравнение энергии (уравнение 1-го закона термодинамики):

; (1)
- уравнение движения (Бернулли):
; (2)
- уравнение неразрывности (уравнение расхода):

; (3)
- уравнение состояния для газа:
,

и для несжимаемой жидкости: . (4)

Уравнения энергии (1), Бернулли (2) и неразрывности (3) справедливы для жидкостей и газов. Запись уравнения состояния (4) определяет в каком состоянии: жидком или газообразном, находится ТС. Из сопоставления уравнений (1) и (2) следует, что
, (5)

т.е. с ростом скорости W в адиабатном потоке газа его энтальпия h, температура Т и давление р уменьшаются.

14.2. Уравнение обращения воздействий. Сопла и диффузоры
Это уравнение отражает воздействие на параметры потока формы канала. Для его вывода рассмотрим стационарное течение в канале (G=const). Из уравнения расхода:
, или , (1)
после его дифференцирования имеем:
. (2)
Разделим выражение (2) на уравнение (1) почленно.
Тогда имеем:
, или . (3)
Из уравнения адиабатного процесса
, (4)
после дифференцирования получим:
,
или . (5)
Разделим выражение (5) на . Тогда:
. (6)
где ; а – скорость звука, м/с; - vdp=WdW – уравнение Бернулли. После подстановки выражения (6) в уравнение (3) имеем:
, (7)
или
, (8)

где - число Маха. Правая часть уравнения обращения воздействий для адиабатного изоэнтропийного течения идеального газа (8) содержит основные параметры потока: число Маха и изменение скорости , а левая часть – отражает воздействие на течение среды изменения площади поперечного сечения канала df, т.е. формы канала.

Рассмотрим воздействие формы канала df на адиабатное течение в соплах и диффузорах. Сопла – это каналы, в которых происходит расширение газа и увеличение скорости его движения. В диффузорах происходит сжатие газа и уменьшение скорости его движения.
Течение в соплах

Для течения в соплах, где газ расширяется и скорость растет dW>0. При этом знак df будет одинаковым со знаком скобки (М²-1) уравнения (8).

Если на входе в сопло число Маха M<1 и разность (М²-1) – отрицательна, то сопло является суживающимся, т.е. df<0.

Если на входе в сопло число Маха М>1, то разность (М²-1) – положительна и df>0, т.е. сопло – расширяющееся. Увеличение скорости течения при М>1 происходит за счет увеличения площади поперечного сечения канала.

Течение в диффузорах

В диффузорах, где происходит сжатие газа и уменьшение скорости его движения, dW<0 и знак df противоположен знаку выражения (М²-1). При M>1 df<0, т.е. диффузор суживающийся. При M<1 df>0, т.е. диффузор расширяющийся.

Таким образом, один и тот же канал в зависимости от величины скорости газа на входе в канал может работать и как диффузор и как сопло. В суживающемся сопле нельзя достичь скорости газа, большей, чем местная скорость звука. Для получения скорости истечения большей скорости звука должны применяться комбинированные сопла – сопла Лаваля.

14.3. Параметры торможения
Для конечного участка потока 1-2 уравнение энергии имеет вид:
, (1)
где h* - полная энтальпия, или энтальпия адиабатного торможения при скорости потока W=0. Таким образом, при движении газа его полная энергия, состоящая из кинетической энергии видимого движения и энергии, выражаемой энтальпией h=u+pv, остается постоянной. Всякое изменение кинетической энергии вызывает соответствующее изменение его энтальпии, а, следовательно, и температуры. В соплах скорость увеличивается, а температура уменьшается. В диффузорах скорость уменьшается, а температура увеличивается.

При полном торможении потока (w=0) температура принимает наибольшее значение и называется температурой полного торможения Т*. Для идеального газа с_р=const, h=c_pT и h*=c_pT*. Тогда из уравнения (1) следует, что:

c_pT*=c_pT+, или , (2)
где Т – статическая температура (температура движущейся среды). В уравнении (2) второй член правой части преобразуем к следующему виду:
,
где R=c_p-c_v по уравнению Майера; c_p=кc_v, M=W/a – число Маха; a²=кRT;
а – скорость звука. Тогда окончательно получим выражение для расчета скорости торможения:
Т*=Т. (3)
Расчет давления торможения проводится по формуле:
. (4)
Плотность заторможенного потока будет равна:
. (5)
Для расчета параметров можно использовать таблицы газодинамических функций, которые облегчают решение задач. При этом вводится приведенная скорость , где критическая скорость , а . Тогда получим:
и газодинамическая функция .
Функция .
Функция .
Располагая таблицами, в которых для каждого значения или М указаны значения функций , можно быстро переходить от действительных (термодинамических) параметров потока к параметрам торможения и обратно. Выбор для расчета чисел М или определяется удобствами применения в каждом конкретном случае. Для определения расхода газа через произвольный канал по известной площади проходного сечения f, числу М или и по параметрам заторможенного потока можно воспользоваться газодинамической функцией , которая возрастает с ростом числа М при М<1, достигает максимума q_max=1 при М==1 и снова убывает при M>1.

Тогда уравнение расхода можно записать в виде , где и , где , т.е. . Для воздуха к=1,4, R=297 Дж/кгК, m=0.3965.

Например, при определении изменения параметров потока газа по длине сопла, принимая р₁=р* и Т₁=Т* при заданном значении показателя адиабаты к и известных геометрических размерах сопла и расхода G можно определить изменение массовой скорости по длине сопла, величину а_кркр и функцию q. Далее по таблицам при заданном к можно определить функции и величины и .

14.4. Расчет располагаемой работы, скорости истечения и расхода газа
Рассмотрим истечение газа из сосуда неограниченной емкости. В этом случае параметры на входе в сопло равны параметрам торможения , а скорость W₁=0. Скорость на выходе из сопла с площадью поперечного сечения f₂ равна скорости истечения W₂=W, а давление газа на выходе из сопла – давлению окружающей среды р₂. Схема сопла представлена на следующем рисунке:

1. 
   Расчет располагаемой работы
   

Располагаемая работа при адиабатном течении газа в сопле идет на увеличение кинетической энергии потока газа:

.
В p-v координатах располагаемая работа равна:
.

В h-s координатах: l₀=h₁-h₂

В T-s координатах:

Располагаемая работа при течении в сопле несжимаемой жидкости (v=const) равна:
.

2. 
   Расчет скорости истечения газа
   

Скорость истечения газа определяется из выражения . Тогда , при . Тогда имеем: , м/с, или , м/с.
Скорость истечения газа зависит от состояния газа на входе в сопло и глубины его расширения, т.е. от отношения давлений газа р₂/р₁.

Если выразить располагаемую работу через изменение энтальпий газа, то получим

, м/с.
Таким образом, скорость истечения газа зависит от значений энтальпий газа перед соплом и на выходе из него.

Максимальная скорость истечения газа будет при его истечении в вакуум, т.е. при р₂=0:

.
Скорость истечения несжимаемой жидкости определяется по формуле:
, м/с.

3. 
   Расчет секундного расхода газа
   

Расход:, где .

Тогда . (1)

Подставим в (1) скорость истечения . Тогда получим:
, кг/с (2)
Таким образом, секундный расход газа G зависит от площади выходного сечения сопла f₂, начального состояния газа на входе в сопло (p₁, v₁, T₁) и глубины расширения газа (от отношения давления на выходе из сопла к давлению газа на входе в сопло р₂/р₁).

Если изобразить график зависимости расхода газа от отношения давлений р₂/р₁=, то он будет иметь вид:

где ab0 – теоретическая зависимость (2); abc – действительная зависимость, полученная опытным путем; I – подкритическая область истечения (дозвуковая):; II – надкритическая область истечения (сверхзвуковая): .

В точке «b» скорость истечения газа равна местной скорости звука W=a, и скорость распространения возмущений вверх по потоку , т.е. волны возмущений не проходят вверх по потоку от среза сопла при дальнейшем уменьшении величины =р₂/р₁.
14.5. Особенности истечения газа через суживающиеся сопла

На этом рисунке показан характер изменения параметров потока газа вдоль сопла. При этом изменение энтальпии газа преобразуется в кинетическую энергию потока:

.
При уменьшении отношения давлений =р₂/р₁ скорость истечения растет, а скорость звука уменьшается. При р₂=р_к скорость истечения W_к=а₂, где р_к – критическое давление; W_к – критическая скорость.

Скорость истечения газа, равная местной скорости звука, называется критической скоростью. Критическая скорость W_к – это максимальная скорость, которую может иметь газ при истечении через суживающееся сопло W_к=f(p₁, v₁). Критическая скорость наступает при критическом отношении давлений . Величина определяется из равенства:

, (1)
т.е.: .
Отсюда имеем:
. (2)
Учитывая соотношение между параметрами в адиабатном процессе:
, (3)
и приравнивая правые части уравнений (2) и (3), получим:

. (4)
После преобразований (4) окончательно получим:
. (5)
Критическое отношение давлений зависит от показателя адиабаты к. При к=1,66 , при к=1,4 , при к=1,3 .

Для идеального газа . Следовательно, можно сделать вывод, что при истечении газа через суживающиеся сопла его давление не может уменьшиться более, чем в два раза, т.е. р₂ р₁.

При этом формулы для расчета критических параметров имеют вид:

- критическая температура

, ;
- критическая плотность

;
- критическая скорость истечения

или .
Рассмотрим три характерных случая истечения через суживающиеся сопла.

1.В первом случае наблюдается полное расширение от начального давления р₁ на входе в сопло до давления среды р₂, а скорость истечения меньше скорости звука (W<a). Скорость истечения рассчитывается по формуле:

, м/с,
т.е. . Чем больше удельная газовая постоянная R и выше температура Т₁ и чем меньше , тем больше скорость истечения.

Для расчета расхода газа G используется формула:

, кг/с

т.е. G~.

Во втором случае наблюдается полное расширение газа от р₁ до р₂, а скорость истечения равна критической скорости:
, м/с.
Секундный расход газа при этом равен:
, т.е. .

В этом случае сопло работает на полной своей производительности и при дальнейшем понижении давления р₂ скорость истечения и расход газа не будут изменяться (W=W_к, G=G_max).

В третьем случае не наблюдается полного расширения газа и газ истекает в среду, имея давление , где р₂ – давление окружающей среды (). Это наглядно видно из следующих рисунков:

где площадь а1ba=l₀ – располагаемая работа; площадь bсb – потерянная работа

14.6. Истечение газа из сопла Лаваля. Расчетные и нерасчетные режимы работы
При давлении на выходе из сопла Лаваля р₂<р_к , скорость истечения W=W₂>a₂, где a₂ – местная скорость звука в выходном сечении сопла. При этом отношение давлений и весь перепад давлений от давления р₁ на входе в сопло до давления р₂ на выходе из сопла идет на увеличение кинетической энергии струи газа, вытекающей из сопла Лаваля.

Характер изменения параметров вдоль сопла Лаваля и изображение процесса истечения из этого сопла в p-v и T-s координатах изображены на следующих рисунках:

При расчете сопла Лаваля задаются параметры газа на входе в сопло: р₁, v₁, T₁, расход газа G и давление окружающей среды р₂. При этом скорость истечения определяется по обычной формуле:

, м/с.
Затем определяется площадь критического сечения сопла по формуле для расчета расхода газа:
, кг/с .
Площадь выходного сечения сопла f₂ определяется, используя обычную формулу для расчета расхода газа:
, кг/с .
График изменения скорости истечения газа и его расхода в зависимости от отношения давлений представлен на следующем рисунке

где .

Действительная скорость истечения меньше теоретической скорости истечения w из-за потерь энергии на трение: , где - коэффициент скорости, определяемый из опыта. Коэффициент связан с кпд сопла формулой:
.
Понятие о расчетных и нерасчетных режимах сопла Лаваля

На расчетном режиме давление на срезе сопла – р_с.расч равно давлению на заданной расчетной высоте у-р_у, т.е. р_с.расч=р_у. При этом все падение давления от p_кс до р_у происходит в сопле Лаваля, где р_кс – давление газа в камере сгорания ЖРД (на входе в сопло). Тогда тяга ЖРД будет равна: R=GW_c, [H], где скорость истечения, м/с, R_уд – удельная тяга двигателя в международной системе единиц измерения СИ; G, кг/с – секундный расход газа через сопло.

На нерасчетном режиме работы сопла с недорасширением газа давления р_с.расч больше давления на нерасчетной высоте . При этом на срезе сопла устанавливаются расчетные параметры состояния и скорость истечения, а падение давления от р_с.расч до происходит вне сопла и тяга ЖРД равна: .

На нерасчетном режиме с перерасширением газа давление р_с.расч меньше давления на нерасчетной высоте , т.е. .

При этом возможны два случая:

1) при процесс расширения газа в сопле расчетной, а за пределами сопла происходит скачок давления до величины . Величина - отрицательна;

2) при скачок давления проникает внутрь сопла и сопровождается отрывом потока от стенок, а формула для расчета тяги ЖРД – недействительна.

Изобразим эти режимы для сопла Лаваля на следующем рисунке:

Для дозвукового сопла эти режимы имеют вид:

14.7. Адиабатное дросселирование газа и пара
Процесс течения газа или пара через местное гидравлическое сопротивление, например, диафрагму в трубопроводе при отсутствии теплообмена () называется адиабатным дросселированием газа или пара. Этот процесс течения газа представлен на следующем рисунке:

При дросселировании скорость газа в узком сечении диафрагмы увеличивается, а температура уменьшается. После прохождения диафрагмы скорость и температура в сечении II-II восстанавливаются. При этом скорость , а температура Т₂ для идеального газа Т₂=Т₁ и для реальных газов и паров Т₂Т₁. Тогда из уравнения 1-го закона термодинамики имеем изменение энтальпии при дросселировании:

, т.е. .
Таким образом, процесс дросселирования газа 1-2 является изоэнтальпийным (h=const), как показано на следующем рисунке:

В процессе 1-2 происходят необратимые явления (трение, вихреобразование) и энтропия растет: .

Из объединенного выражения 1-го и 2-го законов термодинамики: , при dh=0 имеем: .

Поскольку и , то , т.е. давление при дросселировании газа может только уменьшаться, а его удельный объем – увеличиваться, т.е. .

Величина потерь давления в процессе дросселирования газа зависит от природы и состояния газа, а также от его скорости, относительного сужения канала и других параметров. Функция убывающая и ее производная при величина отрицательная, т.е. . Таким образом, можно сделать вывод, что при дросселировании газа: , а температура газа либо увеличивается, либо уменьшается, либо остается неизменной (для идеального газа и для точек инверсии в случае реального газа Т₂=Т₁).
14.8. Эффект Джоуля-Томсона
Эффект Джоуля-Томсона – это явление изменения температуры газа при адиабатном дросселировании, когда происходит расширение газа без совершения внешней работы и без теплообмена за счет преодоления гидравлического сопротивления . При этом затрачивается работа проталкивания :

Получим дифференциальное уравнение эффекта Джоуля-Томсона. Для этого запишем функцию состояния - энтальпию в виде: .

Ее дифференциал – полный дифференциал, равный:
. (1)
Удельная теплоемкость при p=const по определению равна:
. (2)
Производную , входящую в (1), получим из объединенного выражения 1-го и 2-го законов термодинамики:
. (3)
Разделим уравнение (3) на величину dp при Т=const. Тогда получим уравнение , в котором заменим , используя уравнения Максвелла (дифференциальные соотношения взаимности). Тогда получим:
. (4)
Подставим в уравнение (1) значения производных из выражений (2) и (4), учитывая, что dh=0:
, (5)
или при h=const:
. (6)
Уравнение (6) является дифференциальным уравнением эффекта Джоуля-Томсона, которое позволяет определить характер изменения температуры в процессе дросселирования. В уравнении (6) величина называется дифференциальным температурным коэффициентом дросселирования. Для определения величины требуется знать термическое уравнение состояния и теплоемкость с_р для данного вещества.

Поскольку величина dp отрицательна , то знак величины dT в уравнении (6) противоположен знаку числителя этого уравнения. Для идеального газа термическое уравнение состояния: pv=RT. Тогда производная и числитель уравнения (6) равен , т.е. коэффициент . Для реальных газов и паров возможны три случая в зависимости от начального состояния газа перед дросселированием:

1. . Тогда ;

2. . Тогда - уравнение инверсии;

3. . Тогда .

Точка, в которой dT=0, есть точка инверсии (перестановки). Температура Т₂=Т₁=Т_инв – температура инверсии. В критической точке для всех веществ и , т.е. реализуется 1-ый случай. Проиллюстрируем эти случаи дросселирования с помощью паровой диаграммы T-v для изобары (p=const):

где х – степень сухости пара; tg.

1-ый случай: Если начальное состояние вещества перед дросселированием определяется точкой А, то отрезок на графике MN= является первым слагаемым числителя выражения (6), а отрезок МО=MN-ON= является числителем выражения (6), так как MN>ON.

Таким образом, для этого случая и , т.е. газ при дросселировании охлаждается.

2-ой случай: Если начальное состояние перед дросселированием определяется точкой В, то отрезок M₁N₁<ON₁ и М₁О=M₁N₁-ON₁.

Тогда, согласно уравнению (6), и газ при дросселировании нагревается.

3-ий случай: Если начальное состояние вещества перед дросселированием определяется точками С₁ и С₂,то отрезок М₂0=0 и согласно уравнению (6), , т.е. температура газа не изменяется при дросселировании (точка М₂ совпадает с началом координат). Точки С₁ и С₂ – точки инверсии. Для любой изобары реального газа имеются две точки инверсии С₁ и С₂, где С₁ – в области жидкости и С₂ – в области перегретого пара.

Реальный газ или пар можно путем дросселирования перевести в жидкое состояние в том случае, если его начальная температура перед дросселированием будет меньше температуры инверсии Т_инв2. Положительный эффект Джоуля-Томсона используется в холодильной технике для получения холода.