АЛЕКСЕЙ МЯКИШЕВ


ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРЯМЫХ

ЭЙЛЕРА И НАГЕЛЯ


Москва

2008

1. 
   Действующие лица
   
   1. 
      Прямая Эйлера
      

В любом треугольнике его ортоцентр(точка пересечения высот) Н, центроид(точка пересечения медиан) G, и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причем (точка G лежит внутри отрезка НО)¹.

Мы сразу докажем этот красивый факт, если рассмотрим гомотетию с центром в точке пересечения медиан G и коэффициентом .

Действительно, так как медианы делятся центроидом G в отношении 2:1, считая от вершин, указанная гомотетия переводит треугольник АВС в его серединный треугольник . Кроме того, очевидно, что центр О описанной около треугольника АВС окружности совпадает с ортоцентром серединного треугольника. Но гомотетия, являясь преобразования подобия, переводит соответствующие элементы треугольника в соответствующие - в частности, ортоцентр переходит в ортоцентр: .

2. 
   Точка Нагеля и прямая Нагеля
   

Имеется и еще одна прямая, очень схожая с предыдущей – прямая Нагеля. Прежде чем сформулировать соответствующую теорему (доказательство которой будет полностью аналогично предыдущему, но потребует несколько больших усилий), необходимо только напомнить, что такое точка Нагеля.

Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания соответствующих вневписанных окружностей с его сторонами, называют точкой Нагеля N.

То, что эта точка действительно существует, несложно показать с помощью теоремы Чевы.

В любом треугольнике его точка Нагеля N, центроид G, и центр вписанной окружности I лежат на одной прямой, причем (точка G лежит внутри отрезка NI).

Достаточно убедиться в том, что гомотетия с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом переводит точку Нагеля в центр вписанной окружности.

Иначе говоря, достаточно показать, что прямая, соединяющая вершину А треугольника с соответствующей точкой касания вневписанной окружности перейдет при этой гомотетии в прямую, проходящую через центр вписанной окружности I (потому что дальше мы точно также сумеем показать, что и образы двух других чевиан, проходящих через точку Нагеля, будут проходить через центр вписанной окружности, а точка пересечения прямых должна переходить в точку пересечения их образов).

Стало быть, образ нашей прямой есть некоторая прямая, проходящая через середину стороны ВС – точку (поскольку рассматриваемая гомотетия вершину треугольника переводит в середину противолежащей стороны), причем параллельно исходной прямой. (образ прямой, не проходящей через центр гомотетии есть параллельная ей прямая).

Заметим еще, что прямая, соединяющая вершину треугольника А с точкой касания вневписанной окружности со стороной ВС, проходит через точку , диаметрально противоположную точке касания вписанной окружности со стороной ВС (т.е. симметричную ей относительно центра вписанной окружности) – что сразу следует из рассмотрения гомотетии с центром в А, переводящей вписанную окружность во вневписанную: точка переходит в точку.

Отсюда мы заключаем, что образ прямой есть средняя линия в треугольнике (точки касания вписанной и описанной окружности со стороной ВС симметричны относительно ее середины), и потому проходит через центр вписанной окружности.

3. 
   Добавочные точки и прямые Нагеля
   

Обратим теперь внимание на то, что центр вписанной окружности I имеет три родственные ей точки - центры окружностей вневписанных, обладающих схожими свойствами. Такие точки Джон Конвей обозвал слабыми (weak points), а «одинокие» точки (к числу которых, например, относятся центроид, ортоцентр, и центр описанной окружности) – сильными (strong points). Строгое определение и разные свойства сильных и слабых точек можно найти на сайте Стива Сигура² [4].

Оказывается, слабой является и точка Нагеля.

Пусть– точка касания вписанной окружности со стороной ВС, – точка касания вневписанной окружности с центром в с продолжением стороны ВА, а – точка касания вневписанной окружности с центром в с продолжением стороны СА. Тогда прямые пересекаются в одной точке. Ее называют первой добавочной точкой Нагеля и обозначают N_a . Две другие добавочные точки определяются аналогично.

Поскольку слабые точки ходят «четверками», любая теорема, в формулировке которой они фигурируют, имеет трех «сестер».

Есть три сестры и у прямой Нагеля.

Отрезок с концами в добавочной точке Нагеля и соответствующей ей центре вневписанной окружности, содержит центроид G и делится им в отношении 2:1.

(Доказать это утверждение, естественно, можно посредством все той же гомотетии ).

2. 
   Постановка задачи
   

Попробуем сравнить прямые Эйлера и Нагеля и ответить на вопрос, который, будучи поставлен неформально, может звучать приблизительно так:

- которая прямая «лучше», «мощнее»?³

Неформальные же соображения отдают пальму первенства прямой Эйлера.

Во-первых, точки, определяющие прямую Эйлера, «более замечательны» - если центры вписанной и описанной окружности сопоставимы и примерно равны по «степени замечательности», то точка Нагеля явно проигрывает ортоцентру (более сложная конструкция).

Во-вторых, как показывает практика (под этим словом подразумевается изучение классического наследия автором статьи по книжкам Прасолова и Шарыгина), в задачах прямая Эйлера появляется чаще, чем прямая Нагеля.

Ну, а в-третьих (уж если быть совсем неформальным), сами имена собственные подсказывают ответ: ведь они явно принадлежат математикам разных весовых категорий, и нетрудно сообразить, кто тут тяжеловес.

Однако все эти соображения ⁴ носят ярко выраженный «гуманитарный» характер⁵ (каков вопрос, таков ответ).

Но можно попробовать перевести сам вопрос на язык математики. Например, спросим так:

Верно ли, что из факта существования прямой Эйлера для произвольного треугольника следует факт существования прямой Нагеля? Верно ли обратное утверждение?

А это уже – вполне содержательные геометрические задачи.

Как будет установлено в разделе 7, прямая Эйлера действительно «сильнее» прямой Нагеля (см. утверждение 7.1, 7.3) в некотором математическом смысле. Однако, если к прямой Нагеля добавить ее «добавочных» родственников, они все вместе «уравновесят» прямую Эйлера. А именно, в разделе 7 будет также доказана основная теорема:

В любом треугольнике существует прямая Эйлера в любом треугольнике существуют прямые Нагеля.

Ее доказательство и является целью нашей работы.

В самом доказательстве будут использованы разнообразные теоремы и задачи элементарной геометрии, и мы начнем с того, что напомним о них.

3. 
   Вспомогательные утверждения
   

1. 
   Барицентрические координаты
   

Пусть на плоскости зафиксирован некоторый треугольник АВС. Выберем произвольную точку Р плоскости. Оказывается, вершины этого треугольника можно «нагрузить» (т.е. поместить в вершины материальные точки (возможны как положительные, так и отрицательные массы) таким образом, что центр масс этой системы совпадет с точкой Р.

Сами массы (определенные с точностью до умножения на отличную от нуля константу) называют барицентрическими координатами точки Р относительно (или, как часто говорят, в базисе) треугольника АВС.

Ниже укажем некоторые факты из области барицентрического исчисления. (Их доказательства можно посмотреть в [1] и в [2] – глава 14).

Факт 3.1.1. – координаты некоторых замечательных точек.

Обозначим стороны и углы данного треугольника АВС стандартным образом: . Кроме того, буквой обозначим полупериметр треугольника. Тогда координаты перечисленных ниже замечательных точек (в базисе треугольника АВС) имеют следующий вид (как функции сторон или углов):

Точка пересечения медиан (центр тяжести, центроид, барицентр).

Точка пересечения высот (ортоцентр)

.

Центр описанной окружности

.

Центр вписанной окружности .

Центр вневписанной окружности .

Точка Нагеля .

Добавочная точка Нагеля.
Факт 3.1.2 Лемма о трех точках и доказательство сущестования прямых Эйлера и Нагеля с помощью барицентрических координат.

Лемма о трех точках.

Известно, что точки имеют следующие координаты относительно треугольника :

.

Тогда эти точки лежат на одной прямой, и , причем точка расположена внутри отрезка , если суммы масс имеют одинаковый знак, и вне – в противном случае.

Доказательство леммы:

По условию, центр масс системы находится в точке . Разобьем эту систему на две подсистемы : с центром масс в точке и суммарной массой , и с центром масс в точке и суммарной массой . По правилу группировки, центр масс этой системы из двух точек по-прежнему совпадает с точкой . Затем воспользуемся правилом рычага.

□

Теперь, если рассмотреть координаты точек как функции сторон, из леммы о трех точках немедленно будет следовать существование прямых Нагеля.

В отличие от геометрических доказательств (ссылка), доказательство существования прямой Эйлера методом барицентрических координат посложнее, чем аналогичное для прямых Нагеля. Однако и тут все быстро получится из леммы о трех точках, если выразить координаты через углы следующим образом: , где ; и использовать справедливое для треугольника равенство .

2. 
   Аффинные преобразования
   

Напомним определение и некоторые свойства аффинных преобразований (подробности см. в [2], глава 29).

Аффинное преобразование плоскости – это такое преобразование, которое любую прямую переводит в прямую.

В частности, любое подобие есть аффинное преобразование.

Аффинное преобразование есть ничто иное, как параллельная проекция одной плоскости на другую (тень, отбрасываемая фигурой представляет собой ее аффинный обаз).

Перечислим основные свойства аффинных преобразований.

Свойство 3.2.1

Сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Свойство 3.2.2

Сохраняется отношение площадей фигур.

Свойство 3.2.3

Параллельные прямые переходят в параллельные.

Свойство 3.2.4

Существует ровно одно аффинное преобразование, переводящее произвольный треугольник АВС в произвольный треугольник А₁В₁С₁ (так, что ).

При этом любая точка Р и ее образ Р₁ имеют одинаковые барицентрические координаты (относительно треугольника АВС и А₁В₁С₁ соответственно).

3. 
   Ортотреугольник и его углы
   

Треугольник с вершинами в основаниях высот исходного треугольника, называют ортотреугольником.

Утверждение 3.3.1

Пусть - ортотреугольник остроугольного треугольника АВС. Тогда углы этих треугольников связаны соотношениями:

, , .

Доказательство:

Как обычно, обозначим ортоцентр буквой Н.

Так как четырехугольник составлен из двух прямоугольных треугольников, то около него можно описать окружность с центром в точке - середине отрезка ВН. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны и потому .

Из тех же соображений окружность можно описать и около четырехугольника , откуда следует, что .

Значит, .

Два других равенства проверяются аналогично.

□

Утверждение 3.3.2

Пусть - ортотреугольник тупоугольного треугольника АВС, с тупым углом при вершине А. Тогда углы этих треугольников связаны соотношениями:

, , .

Доказательство:

Очевидно, что в этом случае будет также и ортотреугольником треугольника НСВ (с ортоцентром в точке А). Углы треугольника НСВ несложно выразить через углы треугольника АВС:

.

.

.

Теперь же воспользуемся предыдущим утверждением, считая исходным треугольником треугольник HCB.

Тогда получим:

.

.

.

□

Замечание 3.3.1.

В прямоугольном треугольнике ортотреугольник вырождается в высоту, проведенную из вершины прямого угла. Заметим, что при непрерывной деформации тупоугольного треугольника (двигая, например, вершину А) в остроугольный (и наоборот), в момент прохождения прямого угла точка переходит в точку (и наоборот). Из предельных соображений мы можем в этом случае считать, что ,(остроугольный треугольник)(тупоугольный треугольник), (остроугольный треугольник)(тупоугольный треугольник).

И в прямоугольном треугольнике как раз .

4. 
   Треугольники, образованные центрами вневписанных и описанной окружностей, и их углы
   

Треугольник с вершинами в центрах вневписанных окружностей исходного треугольника АВС назовем вневписанным.

Утверждение 3.4.1

Пусть - вневписанный треугольник треугольника АВС. Тогда углы этих треугольников связаны соотношениями:

, , .

Доказательство:

Вершины вневписанного треугольника – точки пересечения внешних биссектрис исходного треугольника (и они же лежат на соответствующих внутренних биссектрисах).

А так как внутренняя и внешняя биссектрисы при вершине угла – перпендикулярны, то треугольник АВС является ортотреугольником остроугольного треугольника .

Тогда, согласно утверждению 3.3.1,

.

Два других соотношения получаются аналогично.

□

Треугольник с вершинами в центе вписанной и двух вневписанных окружностей исходного треугольника АВС назовем первым добавочным вневписанным.

Утверждение 3.4.2

Пусть - первый добавочный вневписанный треугольник треугольника АВС. Тогда углы этих треугольников связаны соотношениями:

, , .

Доказательство:

Как нетрудно заметить, в этом случае треугольник АВС является ортотреугольником тупоугольного треугольника . Тогда, согласно утверждению 3.3.2,

.

.
.



□

5. 
   Треугольники Жергонна и их углы
   

Треугольник с вершинами в точках касания вписанной окружности исходного треугольника АВС с его сторонами назовем треугольником Жергонна.

Утверждение 3.5.1

Пусть - треугольник Жергонна треугольника АВС. Тогда углы этих треугольников связаны соотношениями:

, , .

Доказательство:

Как обычно, обозначим ортоцентр буквой I.

Так как четырехугольник составлен из двух прямоугольных треугольников, то около него можно описать окружность с центром в середине отрезка ВI. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны и потому (BI – внутренняя биссектриса угла В).

Из тех же соображений окружность можно описать и около четырехугольника , откуда следует, что .

Значит, .

Два других равенства проверяются аналогично.

Из этих равенств также вытекает, что треугольник Жергонна – всегда остроугольный.

□

Треугольник с вершинами в точках касания вневписанной окружности (с центром в ) со стороной ВС и с продолжениями двух других сторон исходного треугольника АВС называется первым добавочным треугольником Жергонна.

Утверждение 3.5.2

Пусть - первый добавочный треугольник Жергонна треугольника АВС. Тогда углы этих треугольников связаны соотношениями:

, , .

Доказательство:

Как и в предыдущем случае, нетрудно усмотреть три описанных четырехугольника.

Тогда, рассматривая четырехугольник , получим:

( – внешняя биссектриса угла В).

А рассмотрев четырехугольник и рассуждая точно также, придем к равенству

.

Значит, .

Кроме того, треугольник - равнобедренный (отрезки касательных, проведенные из точки С, равны), поэтому . Четырехугольник - описанный, значит ( - внутренняя биссектриса угла А).

-.

Наконец, равенство можно получить либо из аналогичных соображений, либо вычтя сумму уже найденных углов из .

□

6. 
   Тангенциальный треугольник и его углы
   

Треугольник, образованный касательными к описанной около исходного треугольника окружности в его вершинах, называют тангенциальным.

Утверждение 3.6.1

Пусть - тангенциальный треугольник остроугольного треугольника АВС. Тогда углы этих треугольников связаны соотношениями:

, , .

Доказательство:

Понятно, что в этом случае треугольник АВС является треугольником Жергонна треугольника .

Тогда, согласно утверждению 3.5.1,

.

Два других соотношения получаются аналогично.

□

Утверждение 3.6.2

Пусть - тангенциальный треугольник тупоугольного треугольника АВС, с тупым углом при вершине А. Тогда углы этих треугольников связаны соотношениями:

, , .

Доказательство:

В этом случае исходный треугольник является для тангенциального первым добавочным треугольником Жергонна, и все сразу следует из утверждения 3.5.2

□

Замечание 3.5.1.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности, поэтому касательные в ее концах к описанной окружности параллельны и тангенциальный треугольник вырождается в «бесконечный» - термин вполне уместный, особенно если вспомнить, что на проективной плоскости параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке (см.[1] – стр.7, [2] – стр.561) Из предельных соображений мы можем в этом случае считать (если, например, угол при вершине А – прямой), что

, ,

3. 
   Доказательство основной теоремы
   

Итак, покажем, наконец, что из существования прямой Эйлера следует существование прямых Нагеля, и наоборот.

Основная теорема

В любом треугольнике существует прямая Эйлера в любом треугольнике существуют прямые Нагеля.

Этот факт следует из следующих пяти утверждений:

Утверждение 7.1

В произвольном остроугольном треугольнике существует прямая Эйлера в любом треугольнике существует прямая Нагеля.

Утверждение 7.2

В произвольном тупоугольном треугольнике существует прямая Эйлера в любом треугольнике существуют добавочные прямые Нагеля.

Утверждение 7.3 (обратное к утверждению 7.1)

В любом треугольнике существует прямая Нагеля в произвольном остроугольном треугольнике существует прямая Эйлера.

Утверждение 7.4 (обратное к утверждению 7.2)

В любом треугольнике существуют добавочные прямые Нагеля в произвольном тупоугольном треугольнике существует прямая Эйлера.

Утверждение 7.5

Существование прямой Эйлера для прямоугольного треугольника вытекает как из утверждения 7.3, так и из утверждения 7.4 , являясь предельным случаем их обоих.

Последнее утверждение очевидно. Докажем остальные.

Доказательство утверждения 7.1

Пусть АВС – произвольный треугольник, а - его вневписанный треугольник. Согласно утверждению 3.4.1., вневписанный треугольник всегда остроугольный, и его углы связаны с углами исходного треугольника следующим образом:

, , .

Рассмотрим аффинное преобразование , отображающее треугольник на треугольник АВС . Это преобразование переводит прямые в прямые, и сохраняет барицентрические координаты точки (см. свойство 3.2.4).

Пусть и - соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника , а N и I – точка Нагеля и центр вписанной окружности треугольника АВС.

Тогда (см. 3.1.1) и .

Но

,

,

.

А также,

, ,

Однако, как известно (см.3.1.1),

и .

Таким образом, - и мы показали, что прямая Эйлера остроугольного треугольника аффинным преобразованием переводится в прямую Нагеля исходного треугольника АВС.

□

Доказательство утверждения 7.2

Пусть АВС – некоторый тупоугольный треугольник с тупым углом при вершине А, а - его первый добавочный вневписанный треугольник. Согласно утверждению 3.4.2., добавочный вневписанный треугольник всегда тупоугольный, и его углы связаны с углами исходного треугольника следующим образом:

. , ,

Рассмотрим аффинное преобразование , отображающее треугольник на треугольник АВС . Это преобразование переводит прямые в прямые, и сохраняет барицентрические координаты точки (см. свойство 3.2.4).

Пусть и - соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника , а и – первая добавочная точка Нагеля и центр соответствующей вневписанной окружности треугольника АВС.

Тогда (см. 3.1.1) и .

Но

,,.
.

А также,

, ,

.

Однако, как известно (см. 3.1.1),

и .

Таким образом, - и мы показали, что прямая Эйлера тупоугольного треугольника аффинным преобразованием переводится в добавочную прямую Нагеля исходного треугольника АВС.

□

Доказательство утверждения 7.3

Пусть АВС – некоторый треугольник, а - его тангенциальный треугольник. Согласно утверждению 3.6.1., его углы связаны с углами исходного остроугольного треугольника следующим образом:

, , .

Рассмотрим аффинное преобразование , отображающее треугольник на треугольник АВС . Это преобразование переводит прямые в прямые, и сохраняет барицентрические координаты точки (см. свойство 3.2.4).

Пусть и - соответственно точка Нагеля и центр вписанной окружности треугольника, а Н и О – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника АВС.

Тогда (см. 3.1.1.) и .

Но

,

,

.

А также,

,

,

.

Однако, как известно (см. 3.1.1),

и .

Таким образом, - и мы показали, что прямая Нагеля треугольника аффинным преобразованием переводится в прямую Эйлера исходного остроугольного треугольника АВС.

□

Доказательство утверждения 7.4

Пусть АВС – некоторый тупоугольный треугольник с тупым углом при вершине А, и - его тангенциальный треугольник. Согласно утверждению 3.6.2., его углы связаны с углами исходного остроугольного треугольника следующим образом:

, ,.

Рассмотрим аффинное преобразование , отображающее треугольник на треугольник АВС . Это преобразование переводит прямые в прямые, и сохраняет барицентрические координаты точки (см. свойство 3.2.4).

Пусть и - первая добавочная точка Нагеля и центр соответствующей вневписанной окружности треугольника, а Н и О – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника АВС.

Тогда (см. 3.1.1) и .

Но

,

,

.

А также,

,

,

.

Однако, как известно (см. 3.1.1),

и .

Таким образом, - и мы показали, что добавочная прямая Нагеля треугольника аффинным преобразованием переводится в прямую Эйлера исходного тупоугольного треугольника АВС.

□

3. 
   Приложение: Кристиан Генрих фон Нагель (1803 – 1882)
   

(Christian Heinrich von Nagel)

Мы говорили о прямых, названных в честь двух математиков.

Великий Эйлер оставил после себя многотомное собрание сочинений, его творчеству и жизни посвящены разнообразные исследования – при желании их несложно найти и с ними ознакомиться. А вот о Нагеле известно совсем немногое. Краткие биографические сведения удалось почерпнуть на сайте Кимберлинга (см.[3]).

Нижеследующий фрагмент заимствован именно оттуда:

В1821 К. Г. фон Нагель приступил к изучению теологии в Тибингене. В 1825 он удостоен сана священника. Затем в течение четырех лет посещает лекции по математике и физике, которые читают в Университете Тибенгена Боненбергер (J. G. von Bohnenberger) и Рик (F. J. P. Riecke) .В декабре 1826 г. Он принят учителем математики и физики (natural science) в Лицей и Реальное Училище ( Realschule) Тибенгена и продолжает изучать математику в Университете. В 1830 получает докторскую степень (Ph.D.) (диссертация называлась «De triangulis rectangulis ex algebraica aequatione construendis» (название латинское – можно приблизительно понять, что речь идет о прямоугольных треугольниках и неких алгебраических соотношениях, с ними связанных), а научным руководителем был Боненбергер), и звание приват-доцента.

Начиная с 19830 занимает должность профессора математики в Гимназии города Ульма. В 1840 заканчивает 400-страничную книгу, озаглавленную «Die Idee der Realschule, nach ihrer theoretischen Begrundung und praktischen Ausfьhrung dargestellt»(что можно перевести с немецкого примерно так: « Реальные Училища -теоретическое обоснование и практическое воплощение»). В 1844 Нагель становится ректором Реального Училища в Ульме и после 25 лет безупречной службы удостаивается титула «почетный гражданин Ульма». В 1875 выходит в отставку.

Шесть работ Нагеля имеются в книге Peter Baptist, Die Entwicklung der Neueren Dreiecksgeometrie, Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1992. (П.Баптист, Развитие современной геометрии треугольника). В одной из этих работ Нагель приводит доказательство существования точек, которые ныне принято называть точками Нагеля и Жергонна. Однако прямую Нагеля сам Нагель, скорее всего, не открывал – во всяком случае, в дошедших до нас его работах она не упоминается. Как бы оно там ни было, прямая названа в честь Нагеля вполне заслуженно – ибо вклад этого ученого в элементарную геометрию весьма существенен.

Список литературы.

[1] Мякишев А. Элементы геометрии треугольника. М.: МЦНМО, 2002.

[2] Прасолов В. Задачи по планиметрии. М.: МЦНМО, 2007.

[3] Kimberling C. Biographical Studies.

[https://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/index.html]

[4] Sigur S. Triangle Geometry

https://www.paideiaschool.org/Teacherpages/Steve_Sigur/geometryIndex.htm