Объемы тел вращения

ПЛАН УЧЕБНОГО ПРОЕКТА

Тема: Объемы тел вращения

Автор учебного проекта: Кислая В. В. – учитель математики КОШ №124.

Учебный предмет: геометрия 11 класс.

Цели:

- доказательство формул объема цилиндра, конуса, шара, усеченного конуса;

- формировать у учащихся умение находить объем цилиндра, конуса, шара, усеченного конуса;

- показать практическое применение объемов тел в искусстве, литературе, экономике, истории, физике, астрономии;

- воспитывать в учащихся умение ориентироваться в информационном пространстве и самостоятельно конструировать свои знания;

Наглядность: модели тел вращения, таблицы, дидактические карты с прикладными задачами, фотоматериалы.

Тип проекта: информационно-исследовательский.

Вид проекта: групповой, межпредметный, средней продолжительности (один месяц).

Результат проекта: презентация.

Планирование проекта:

I этап

Происходит презентация темы будущего проекта, обсуждаются основные аспекты его реализации, а именно – формируются группы по интересам, обсуждаются источники информации.

Ученики по желанию объединяются в четыре группы (по пять или по шесть человек в группе), каждая группа получает свое задание.

Первая группа «Объем цилиндра»

Вторая группа «Объем конуса»

Третья группа «Объем шара»

Четвертая группа «Объем усеченного конуса»

II этап

Учащиеся работают с источниками информации для раскрытия выбранной подтемы. Работа происходит индивидуально, в парах и с коллективным обсуждением информации, полученной из научной литературы или Интернета.

На этом этапе учитель проводит консультации с членами групп. Происходит коррекция и последующий поиск информации.

III этап

Проводится оформление материалов, обобщение полученных данных. В группах проходит обсуждение результатов работы каждого члена команды. Сообщение к конференции готовится с учетом наглядности и заинтересованности учеников.

ОБЪЕМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ.

Презентации ученических работ.

Вступительное слово учителя.

Название нашего проекта: «Объемы тел вращения»

Формула: «Все, что я познаю – я знаю, зачем мне это надо, где и как я могу эти знания применить».

Архимед, Кавальери, Евклид, Герон – творчество этих ученых неразрывно связано с фигурами вращения. Достижениями в этой области они больше всего гордились. Хотелось бы, чтобы они вдохновили вас войти в храм науки без робости и с жаждой дерзания. На протяжении месяца вы готовились к уроку: доставали информацию в библиотеке и в Интернете, исследовали математические связи с другими науками и в конце приготовили свои презентации. Сегодня мы увидим результат вашей большой работы. На защиту проекта мы пригласили ученицу 10 класса, которая систематизированный материал по данной теме и подает в виде опорных сигналов.

Учащаяся 10 класса выступает с опорными сигналами «Повторение».

«С телами вращения мы знакомы еще с 9 класса, учились находить объемы этих фигур. Но эти тела рассматривали без математических определений. Вводились понятия радиус, высота, образующая и их обозначения, определялась связь между ними с использованием теоремы Пифагора. Сделаем небольшой экскурс по опорным сигналам».

ОПОРНЫЙ СИГНАЛ «ПОВТОРЕНИЕ, 9»

9 класс

Формула

Конус – тело вращения

M

H l

O R A
l₁

H – высота

l₁ – ось

R – радиус

l – образующая

V - ?
M

26

B O 10 A
l₁

M

8

O 5 A
l₁

ОПОРНЫЙ СИГНАЛ «ПОВТОРЕНИЕ, 9»

Цилиндр – тело вращения

Шар – тело вращения

Формула: V=πR²H

Формула:

Н l

R

l₁

d

R

l₁

V - ?

D C

12

A B

8

В С

8

A 12 D

I группа с информацией «ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА»

I ученик рассказывает «Факты и научные открытия», демонстрирует модель цилиндра.

Слово «цилиндр» произошло от греческого слова «кюлиндрос», означающий «валик, каток». В XI книге «Начал» Евклид дает определение цилиндра, исходя из вращения прямоугольника около одной из его сторон. Для доказательства формулы объема цилиндра Евклид, Архимед использовали метод исчерпывания, который изобрел Евдокс. Архимед дает механическую интерпретацию связи объема цилиндра, конуса и шара. Цилиндр и шар – это символы геометрических открытий Архимеда.

II ученик демонстрирует таблицу «Объем цилиндра» и выступает с научной информацией.

«ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА»
Фигура	Формула объема	Метод доказательства
		метод исчерпывания
y y O a b x		метод интегрирования

III ученик решает прикладные задачи

Прикладная задача «Чистая математика»

Радиус цилиндрического куска мыла уменьшился на 10%, а длина на 20%. Какой процент мыла использовали?

Ответ: 35%.

Прикладная задача «Ошибочный бидон»

Бидон для молока имеет цилиндрическую форму. При вычислении объема бидона, высота которого в 2 раза больше диаметра основания, Марийка перепутала высоту с радиусом основания. Что девочке необходимо сделать со своим результатом, чтобы получить правильный ответ?

V-?

H

R

Ответ: разделить на 4.

Решение 1
Пусть кусок мыла имеет размеры R, H. то V=πR²H.

Использованное мыло имеет размеры 0,9R; 0,8H, то

V₁=π·(0,9R)²·0,8H= π·0,81R²·0,8H≈0,65 πR²H

Значит

Следовательно, использовали 35% мыла.

Ответ: 35%.

Решение 2
Пусть d – диаметр бидона, то Н=2d.

Находим объем бидона для молока: .

«Ошибочный» бидон:

r = 2d, H=

.

Следовательно, необходимо разделить на 4

Ответ: разделить на 4.

IV ученик выступает с информацией «Цилиндр в архитектуре».

Вернисаж «Цилиндр в архитектуре».

Архитектурная форма – точка соприкосновения массы и пространства. «… Кубы, конусы, сферы, цилиндры, пирамиды – великие первичные формы, выгодно освещенные предстают перед нами в отчетливом, осязаемом недвусмысленном образе. Поэтому они прекрасны, необычайно прекрасны» (Ле Корбюзье). При вращении или продолжении в пространстве первичных геометрических фигур образуются объемные фигуры, конкретные, правильные, легко узнаваемые.

Цилиндр является благоприятной формой для восприятия человеческого глаза. Покажем те архитектурные сооружения, которые имеют цилиндрическую форму.

Одним из таких сооружений является церковь Santo Volvo (Приложение А), которая была открыта в декабре 2006 года в Турине, архитектор Марио Ботта. Она была построена на старом индустриальном участке сталелитейных заводов. Возле этой церкви стоит башня, которая раньше была старым дымоходом сталелитейного завода. Башня эта сохранена и была обернута символической структурой металла, которая значит «восхождение наверх». На верхушке этого строения шестидесятиметровый серебряный крест, освещаемый ночью и представляющий собой мощный религиозный маяк.

Архитектор Тичино сделал попытку конструирования здания, отвечающего потребностям винного завода. Такой завод Петры создан (Приложение Б), это футуристическое строительство и оно идеально вписывается в окружающий пейзаж. Этот «собор вина» охватывает 8000м² земли и производит 800тыс. бутылок в год.

Постройка имеет высокопластический образ, состоящий из каменного цилиндра, пересеченного наклонными линиями, параллельными склону.

Центральная цилиндрическая часть винного завода занята растительностью. И весь комплекс вписывается в пейзаж подобно огромному цветку, цветущему на холме.

V ученик выступает с информацией «Это любопытно».

Кто придумал цилиндр?

Цилиндр — шляпа из шелкового плюша с небольшими твердыми полями — получил свое название благодаря геометрической фигуре. Прообразом цилиндра была круглая шляпа с высокой тульей, появившаяся в мужской моде еще в XV веке и продержавшаяся до XVIII. Новый головной убор в виде «трубы» на голове шляпного торговца Джона Гетерингтона стал для чопорных англичан сенсацией. Тогдашние газеты писали: «Действие шляпы на прохожих было ужасным. Многие женщины при виде этого странного предмета лишались чувства, дети кричали...». А сам Гетерингтон был арестован и доставлен к лорду-мэру, который за нарушение общественного порядка приговорил его к штрафу в 500фунтов стерлингов. Тем не менее эта прогулка по лондонской набережной 26 января 1797 года стала датой рождения нового направления моды. В начале XIX века цилиндр был исключительно аристократической принадлежностью, его не принято было оставлять в прихожей, что создавало определенные неудобства.

Появление в Париже в 30-х годах складного цилиндра — шапокляка, имеющего внутри специальный механизм, позволявший складывать шляпу в продольном направлении, решило эту проблему. В гостиные модники стали входить, держа его под мышкой в сложенном виде.

Одной из разновидностей цилиндра стала новая шляпа — боливар. Своим названием она обязана предводителю движения за независимость южно-американских колоний. Тогда же в моду вошел и «шутэ» — женский цилиндр, предназначенный главным образом для верховой езды.

II группа с информацией «ОБЪЕМ КОНУСА»

I ученик рассказывает «Факты и научные открытия», демонстрирует модель конуса.

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287-212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470-380 гг. до н. э.) - древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428-348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470-399 гг. до н. э.). Он в 387г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260-170 гг. до н. э.) - учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

II ученик демонстрирует таблицу «Объем конуса» и выступает с научной информацией.

«Объем конуса»
Фигура	Формула объема	Метод доказательства
p^/ p		метод исчерпывания
y y=kx R O H x		метод интегрирования

III ученик решает прикладные задачи

Прикладная задача «Авиационная бомба»

Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6м и глубиной 2м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1м³ имеет массу 1650кг?

A ^O B
AB=6м

OC=2м

P - ?

C

Ответ: 31т.

Старинная восточная легенда

Существует старинная легенда восточных народов, рассказанная А.С. Пушкиным в «Скупом рыцаре».

«... Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу.

И гордый холм возвысился,

И царь мог с высоты с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.»

Докажите геометрически, мог ли это быть «гордый» холм?

V = 20м³

V - ?
a = 45°

H

R 45⁰

Решение 1.

, R=3м, H=2м

(м³)

P=1650∙6π=1650∙6∙3,14≈31(т)

Ответ: 31т

Решение 2.

Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажем геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

1горсть≈литра=0,2 дм³

Войско в 100000 воинов считалось очень внушительным.

V = 0,2∙100000 = 20000дм³ = 20м³.

Угол откоса 45°, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45°

Так как H = R, то

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м (человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

IV ученик выступает с информацией «Это любопытно».

1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину (Приложение В).

2. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

3. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1000000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

4. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

Выход в природу

У растений есть такое понятие, как «конус нарастания». Корни чаще всего растут вниз. Как они чувствуют силу тяжести? Ученые выяснили, что главную роль в этом играет корневой чехлик. (Чехлик, колпачок или конус нарастания защищает от повреждений растущую верхушку корня).

Ещё Чарльз Дарвин обратил внимание на то, что корень, лишённый чехлика, «теряет ориентацию» в пространстве и начинает расти «куда попало». Дарвин назвал такой корень «обезглавленным». Он сделал интересное наблюдение: если положить растение набок, «обезглавить» корень, а затем вернуть растение в прежнее положение, то корень будет как бы «по памяти» расти под прямым углом (т.е. параллельно поверхности земли).

В клетках чехлика под микроскопом заметны крупные зёрна (т.е. крупинки) крахмала, своим давлением указывая направление действия силы тяжести.

III группа с информацией «ОБЪЕМ ШАРА»

I ученик рассказывает «Факты и научные открытия», демонстрирует модель шара.

В «Началах» Евклида шару и его поверхности уделяется сравнительно мало внимания. Там Евклид рассматривает такую задачу: «При наличии двух сфер около того же самого центра вписать в большую сферу многогранное тело, не касающееся поверхности меньшей сферы». В ходе решения этой задачи Евклид пользуется теоремой, что любое плоское сечение шара представляет собой круг. Если же секущая плоскость проходит через центр шара, то круг этот наибольший. Дальше Евклид доказал, что объемы двух шаров относятся как кубы их радиусов. Объема шара Евклид не вычисляет, он его не знал. Архимед первый открыл формулы объема цилиндра и шара, он дал строгое доказательство этих формул, показал связь между объемом шара и цилиндра, объемом шара и конуса.

II ученик демонстрирует таблицу «Объем шара» и выступает с научной информацией.

Фигура	Формула	Метод доказательства
X A C r M S(x) R X O B		метод интегрирования

III ученик решает прикладную задачу «Мороженное».

Прикладная задача «Мороженое»

Стаканчик мороженого конической формы имеет глубину 12см и диаметр верхней части 5см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

Решение

Находим объем стаканчика, который имеет коническую форму.

Н=12см, r=2,5см

(см³)

Две ложки мороженного в виде полушарий составляют шар. r=2,5см

(см³)

Значит объем стаканчика больше, чем объем мороженого.

Ответ: нет.

IV ученик выступает с сообщением «Математическое искусство Морица Эшера»

Среди современных художников в жанре "математического искусства" наиболее успешно выступает голландский художник Мориц Эшер (Приложение Г).

Мориц Эшер родился в 1898г. в Голландии. В юности учился в Школе архитектуры и орнамента в Гарлеме. В течение 10 лет жил в Риме. Покинув Италию в 1934г., Эшер провел 2 года в Швейцарии, 5 лет — в Брюсселе и затем поселился в голландском городе Барне, где жил до конца жизни.

Эшер изображал геометрические фигуры. Когда у Эшера спросили, почему среди его картин преобладают геометрические фигуры, он ответил, что с помощью этих фигур ему легче представить человеческую сущность: будь это человек острый как куб или же мягкий как, например, шар. «Каждый человек может найти в моих картинах что-то для себя», - говорил Мориц. «Что же касается сферических форм, то разве сама Вселенная не состоит из сфер?».

А поскольку тема нашей работы «Шар», то покажем некоторые его работы.

V ученик выступает с информацией «Это любопытно».

1. Шаровая молния... Так издавна называли светящиеся шаровидные образования, время от времени наблюдаемые во время грозы в воздухе, как правило, вблизи поверхности. Шаровая молния абсолютно не похожа на обычную молнию ни по своему виду, ни по тому, как она себя ведет. Обычная молния кратковременна.

Шаровая молния живет десятки секунд, минуты. Обычная молния сопровождается громом, шаровая совсем или почти бесшумна. В поведении шаровой молнии много непредсказуемого: неизвестно куда именно направится светящийся шар в следующее мгновение, как он прекратит свое существование (тихо или же с взрывом).

Будем считать, что шаровая молния - это шар или почти шар. Чаще всего шаровая молния имеет желтый, оранжевый или красноватый цвет. Обычно шаровая молния движется бесшумно. Но может издавать шипение или жужжание - особенно когда она искрит. Диаметр шаровых молний находится в диапазоне от долей сантиметра до нескольких метров. Чаще всего встречаются молнии диаметром 15...30 см.

2. Карты Таро.

Существует легенда, что эти карты настолько могущественны, что могут изменить судьбу человека. Таро в Европе появились в пятнадцатом веке. Карты самой ранней из известных колоды Висконти-Сфорца назывались тогда "тароччи". Существует теория, что имя это принято колодой от названия реки Таро, притока знаменитой По в северо-центральной Италии, в долине которой и стали известными когда-то древние "тароччи". Структуру Таро можно представить как отражение взаимоотношений Бога, человека и вселенной, или иначе - связей между миром идей, сознанием человека и миром физическим. В этой диаграмме в центр помещен малый шар, изображающий человеческую душу, треугольник представляет тройственную сущность Бога, а квадрат символизирует явленный мир.

IV группа с информацией «ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА»

I ученик выступает с научной информацией «Объем усеченного конуса».

Объем усеченного конуса
R₂ h x R₁	формула
	Доказательство

II ученик решает прикладную задачу «Морской волчонок».

Прикладная задача «Морской волчонок»

В романе "Морской волчонок" Майн Рид повествует о юном любителе морских приключений, который не имея средств заплатить за проезд, пробрался в трюм незнакомого корабля и здесь неожиданно оказался закупоренным на всё время морского перехода. Роясь в багаже, заполнявшем его темницу, он наткнулся на ящик сухарей и бочку воды. "Мне необходимо было установить дневную порцию воды. Для этого нужно было узнать, сколько её содержится в бочке, и затем разделить на порции. Я знал, что бочку можно рассматривать как два усеченных конуса, сложенных своими большими основаниями". Что удалось измерить мальчику и как он вычислил объём бочки?

III ученик выступает с информацией «Это любопытно».

1. Игра с волчком

дрдрдрд

Всем известна старая игрушка – музыкальный волчок. Если его аккуратно раскрутить, то он стоит на полу ровно, как по струнке, ручкой смотрит в потолок, поёт и не бегает. Но если ударить по краю нашего кубаря прутиком, палочкой, сбить его с ровного стояния, волчок накренится и, не желая падать, пойдёт танцевать конусом, а ручка-ось начнёт выписывать круги. Такое круговое покачивание оси вращения физики называют прецессией.

Наша Земля тоже вертушка и, как все нормальные волчки, пока их не трогают, готова вечно крутиться, постоянно указывая своей осью на Полярную звезду. Но и на неё нашлись прутик и палочка — это Луна и Солнце. Своим притяжением они стремятся повернуть ось планеты, а Земля этому сопротивляется и... прецессирует. Волчок делает несколько десятков оборотов в секунду вокруг оси и один прецессионный круг за несколько секунд. Земля совершает 366 оборотов в год и прецессионный тур за 26 тыс. лет. При этом её ось описывает среди созвездий окружность радиусом 23,5° с центром в полюсе эклиптики, а этот полюс находится в созвездии Дракона.

2. Кто такой Литр?

Каждый из нас знает, что литр это мера объема, равная объему килограмма воды при температуре 4°С. Однако мало кому известно, что термин «литр» введен в честь француза Клода-Эмиля-Жана-Батиста Литра. Он жил в XVIII в. и занимался производством винных бутылок. К сожалению, о нем мало что известно. Считается, что Литр - первый из тех, кто стал производить лабораторную посуду, в частности он придумал градуированные стеклянные цилиндры. Известно, что его родители также занимались изготовлением винных бутылок. В 1763 г. на 47-м году жизни Литр предложил измерять объемы жидкости с помощью единицы, которую впоследствии и назвали литром. Это нововведение было официально утверждено уже после смерти его автора.

Заключительное слово учителя.

Тема раскрыта во всем объеме и полноте разработок, показана практическая направленность проекта. Ученики показали оригинальность материального воплощения проекта, межпредметные связи. В своих выступлениях учащиеся раскрыли свои деловые качества: четкость, конкретность, чувство реального времени, манеры поведения; показали, что умеют удерживать внимание аудитории,.

Итоговая оценка ставится как средняя рейтинговая оценка по формуле:

Рейтинговая оценка = (Групповая + Самооценка + Оценка преподавателя)/3

Приложение А
рпиопрао

Приложение Б
без имени-1

Приложение В
1111111111

Приложение Г
МОРИЦ ЭШЕР