Л Е К Ц И Я 9
СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ.

СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ
П л а н:
1. Способы преобразования проекций

2. Способ вращения. Вращение вокруг осей, перпендикулярных плоскостей проекций. Вращение точки

3. Вращение прямой

4. Вращение плоскости

1. Способы преобразования проекций
По чертежу фигуры общего положения нельзя судить о ее размерах. Для определения размеров фигуру необходимо пере­вести в частное положение — перпендикулярное или параллель­ное относительно плоскостей проекций. Такое преобразование чертежа можно осуществить двумя основными способами:

1) заданную фигуру перевести в частное положение отно­сительно неизмен­ной системы плоскостей проекций;

2) заданную фигуру оставить неподвижной, а плоскости про­екций заме-нить новыми, расположив их так, чтобы фигура ока­залась по отношению к ним в частном положении.

С помощью преобразования чертежа можно решать и неко­торые позиционн­ые задачи.

2. Способ вращения. Вращение вокруг осей,

перпендикулярных плоскостей проекций
Способ вращения заключается в том, что заданную геомет­рическую фигуру вращением вокруг какой-либо оси приводят в частное положение относительно плос­костей проекций – па­раллельное или перпендикулярное.

При вращении любой фигуры важно определить следующие элемен­ты: ось, плоскость, центр, радиус и угол вращения.

В качестве оси вращения обычно выбирают прямую, перпен­дикулярную или параллельную одной из плос­кос­тей проекций.


Вращение вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций
Вращение точки. Рассмотрим вращение точки А вокруг оси I, перпен­ди­ку­лярной плоскости Н (рис. 55). Ось враще­ния проецируется на плоскость Н в точку, а на плоскость V – в прямую, перпендикулярную оси ох. Траекторией движения точ­ки А будет окружность, лежащая в плоскости вращения, парал­лельной плоскости Н, центром вращения – точка 0₁ на оси, радиусом вращения – отрезок О₁А. Траектория движения точ­ки – окружность – спроецируется на плоскость Н без искаже­ния, а на плос­­­­­­кость V – в виде прямой, параллельной оси ох. Радиус окружности прое­цируется на плоскость Н в истинную ве­ли­чину.

Таким образом, при вра-щении точки А в про­странстве вокруг оси, пер­пендикулярной плоскости H, ее горизонтальная про­екция движется по окруж­ности, а фрон­таль­ная – по прямой, параллельной оси ох.

Для того чтобы по­вернуть точку А на угол , откладывают этот угол на горизон­тальной проекции (рис. 55) и получают горизонтальную про­екцию а₁ точки в новом положении А₁. Фронтальную проек­цию а₁' этой точки находят с помощью линии связи, которую проводят из точки а₁ до пересечения с прямой, проведенной из точки а' параллельно оси ох.

Аналогично выполняются построения при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости V. Только в этом слу­чае фронтальная проекция точки будет перемещаться по дуге окружности, а ее горизонтальная проекция – по прямой, парал­лельной оси ох.

3. Вращение прямой
Чтобы повернуть прямую линию на неко­торый угол, необходимо повер­нуть на этот угол две произволь­но взятые на ней точки.

На рис. 56 показано вращение отрезка прямой на угол  вокруг оси, перпендикулярной плоскости Н. Построение выпол­нено вращением на этот угол двух конечных точек отрезка – А и В. Для этого сначала на заданный угол перемещены их го­ризонтальные проекции а и b и найдена горизонтальная проек­ция а₁b₁ отрезка в положении А₁В₁. Затем проведены линии свя­зи до пересечения с прямыми, проведенными из точек а' и b' параллельно оси ох, и найдена фронтальная проекция а₁'b₁ это­го отрезка.

Поскольку точки А и В повернуты на одинаковый угол, то треугольник ia₁b₁ равен треугольнику iab и соответственно a₁b₁=ab, т. е. горизонтальная проекция отрезка в повернутом положении не изменила своей величины.

Следовательно, при вращении отрезка прямой вокруг оси, перпендику­ляр­ной какой-либо плоскости проекций, длина про­екции отрезка на этой плоскости остается неизменной.

Построение выполняется гораздо проще, если ось вращения проходит через одну из конечных точек отрезка прямой. Эта точ­ка при вращении оста­ет­ся непод­вижной, поэтому достаточно повернуть любую другую точку прямой, чтобы найти повернутое положение прямой. Например, чтобы определить длину отрез­ка АВ прямой общего положения (рис. 57), проводят ось вращения I через точку В перпендикулярно плоскости Н и пово­рачивают отрезок АВ так, чтобы он стал параллелен плоско­сти V. Точка В остается неподвижной.

На чертеже точку А поворачивают на угол , при этом гори­зонтальная проекция a₁b₁ повернутого отрезка АВ расположит­ся параллельно оси ох (рис. 57). В этом случае длина его фронтальной проекции a₁^'b₁^' будет равна длине отрезка АВ.

Одновременно находят угол α_н наклона прямой АВ к плос­кости H, так как при вращении прямой вокруг оси, перпенди­кулярной какой-либо плоскости проекций, угол наклона прямой к этой плоскости не меняется. Это видно из равенства тре­угольников ВАb и ВА₁b (рис. 57).

Длину отрезка прямой можно найти также вращением во­круг оси, распо­ло­жен­ной перпендикулярно плоскости V. При этом определяется и угол наклона a_V прямой к плоскости V (рис. 57).

4. Вращение плоскости
Вращая плоскость вокруг осей, перпен­дикулярных плоскостям проекций, можно привести ее в поло­жение, перпендикулярное или параллельное этим плоскостям, и тем самым определить углы ее наклона к ним, найти истин­ную величину плоской фигуры, выполнить в ней построения по заданным величинам и др.

При вращении плоскости, задан­ной следами, целесообразно ось вра­щения располагать в плоскости про­екций, так как в этом случае по­строения упро­щаются. Например, чтобы плоскость Р общего положе­ния преобразовать во фронтально-проецирующую (рис. 58 ось вра­щения I, перпендикулярную плоско­сти Н, располагают в плоскости V. Точка N пересечения оси со следом P_v останется неподвижной. При вращении следа Р_н вокруг оси I все его точки бу­­дут переме­щаться в плоскости H. При этом плоскость Р поворачивают на такой угол , при котором след Р_н становится перпендикулярен оси х. Для этого из точки i, как из центра вращения, прово­дят перпендикуляр im к Р_н.. Совместив вращением перпенди­куляр с осью ох, находят угол вращения  плоскости Р. Через повернутую точку т₁ проводят новый след Р_Н, перпен­дикулярно iт₁ и, значит, оси ох. Новый фронтальный след Pv₁ пройдет че­рез новую точку схода Р_Х1 и точку п'.

При вращении плоскости вокруг оси, перпендикулярной ка­кой-либо плоскости проекций, угол наклона вращаемой плоско­сти к этой плоскости проекций не меняется. Поэтому рассмот­ренное преобразование позволяет най­ти угол наклона плоско­сти Р к плоскости H, который определяется углом а_н между следом Pv₁ и осью ох.

Аналогично вращением вокруг оси, перпендикулярной плос­кости V, можно реобразовать плоскость общего положения в го­ризонтально-проецирующую и найти угол ее наклона к плос­кости V или решить другую задачу.

Плоскость общего положения преобразовать уровня можно только по­сле­до­­­ва­тельным вращением вокруг двух осей, перпендикулярных разным плос­кос­тям проекций.

Рассмотрим это преобразование на примере определения истин­ной вели­чины треугольника ABC (рис. 59). Чтобы определить ве­личину треугольника, необходимо расположить его параллельно одной из плоскостей, проекций, например Н, вращая сначала вокруг оси, перпендикулярной плоскости Н, а затем вокруг оси, перпендикуляр­ной плоскости V.

Вначале плоскость треугольника располагают перпендикулярно плоскости V. Для этого через вершину В треугольника проводят ось I₁, перпендикулярную плоскости H, и горизонталь BD в плоскости треугольника. Вра­щают треугольник вокруг выбранной оси до тех пор, пока го­ризонталь не станет фронтально-проецирующей прямой. Тогда горизонтальная проекция bd₁ горизонтали будет перпендикуляр­на оси ох. При вращении треугольника вокруг оси, перпендику­лярной плоскости Н, его горизонтальная проекция не изменяет своей величины. Построив новую горизонтальную проекцию a_{bc₁ треугольника, равную прежней abc, находят новую фрон­тальную его проекцию в виде прямой а₁'b'с₁'.

Затем треугольник ABC вращают вокруг оси I₂, перпендику­лярной плоскости V, до тех пор, пока его плоскость не станет горизонтальной. В новом положении фронтальная проекция – прямая а₂'b'с₁'– будет параллельна оси ох, а горизонтальная – треугольник а₂b₁с₁ – определит истинную величину треуголь­ника.