МОУ «Лицей №3»
Тема реферата:
Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.
Выполнил: Димитров Денис Валерьевич,
ученик 11«А» класса.
Научный руководитель: Шабунина Е.И.,
учитель математики МОУ «Лицей №3».
Коды авторов: №SC-4785 и №SC-4786.
г. Саров, 2011 год.
Оглавление.
Введение. 2
Основная часть. 3
Глава I. Теоремы Чевы и Менелая [4]. 3
Глава II. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применение этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач [2], [5]. 4
I блок задач (замечательные точки треугольника). 5
II блок задач (пропорциональные отрезки). 11
III блок задач (отношение площадей). 17
Заключение. 25
Список используемой литературы. 25
Введение.
В курсе геометрии седьмых, восьмых и девятых классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс.
Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике, о том, что биссектрисы (медианы, высоты) треугольника пересекаются в одной точке. А ведь эти свойства являются следствиями из теорем Чевы и Менелая.
Теорема Менелая красива и проста. В школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем она входит в золотой фонд древнегреческой математики. Эта теорема дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского.
Теоремы Чевы и Менелая в школь ном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением ма тематики. Между тем, эти теоремы по зволяют легко и изящно решить целый класс задач. Многие задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью именно этих теорем.
Цель работы – изучить теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению планиметрических задач.
Задачей работы стало сравнение и выявление эффективности применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.
Основная часть.
Глава I. Теоремы Чевы и Менелая [4].
Теорема Чевы. Если через вершины
проведены прямые 
, 
, 
, пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках 
, 
, 
, то для того чтобы эти прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (см. рис.1):
Теорема Менелая. Если на сторонах
или на их продолжениях отмечены точки , , так, что лежит на 
, – на 
и – на 
, то эти точки будут лежать на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено условие (см.рис.2):
Доказательства соотношений (*) и (**), а также исторические справки о Джованни Чева и Менелае Александрийском содержатся в Приложении1
Глава II. Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применение этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач [2], [5].
Теоремы Чевы и Менелая в школь ном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением ма тематики. Между тем, эти теоремы по зволяют легко и изящно решить целый класс задач. Многие задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью именно этих теорем.
На примере следующих задач (задач на замечательные точки треугольника, на пропорциональные отрезки и на отношение площадей) покажем эффективность применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.
I блок задач (замечательные точки треугольника).
Задача 1.
Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Дано:
, 
– биссектрисы .
Доказать, что биссектрисы
и 
пересекаются в одной точке – точке 
.
Решение.
I способ (без использования теоремы Чевы)
-
Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.
ТЕОРЕМА.
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
-
Дано:
, 
– биссектриса , 
– произвольная точка на биссектрисе , 
.
Доказать, что
.
Доказательство.
-
Сделаем дополнительное построение: проведём перпендикуляры
и 
к лучам и 
соответственно (рис. 13).
-
Рассмотрим прямоугольные
и 
(
, так как 
и 
).
– общая гипотенуза;
, так как по условию – биссектриса .
Следовательно, прямоугольные 
по гипотенузе и острому углу.
Значит, 
как соответственные элементы в равных треугольниках, то есть .
Доказано.
-
Дано:, т. лежит во внутренней области , 
, 
, , , .
Доказать, что
– биссектриса .
Доказательство.
Рассмотрим прямоугольные и (, так как и ).
– общая гипотенуза;
, так как по условию .
Следовательно, прямоугольные по гипотенузе и катету.
Значит,
как соответственные элементы в равных треугольниках, и – биссектриса по определению биссектрисы угла.
Доказано.
-
Итак, теперь докажем следствие из этой теоремы, то есть то, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
-
Рассмотрим произвольный. Обозначим точкой точку пересечения его биссектрис 
и 
. Биссектрисы и пересекаются, так как 
.
Сделаем дополнительные построения: проведём
, 
, 
(рис. 14).
-
По доказанной теореме
и 
( и – биссектрисы ). Поэтому 
, то есть точка равноудалена от сторон 
и, значит, лежит на биссектрисе этого угла.
Следовательно, все три биссектрисы
– – пересекаются в точке .
Доказано.
II способ (с использованием теоремы Чевы).
-
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Так как по условию
– биссектриса , то:
Так как по условию – биссектриса , то:
Так как по условию – биссектриса , то:
-
Перемножая получившиеся равенства (3), (1) и (2), получаем, что:
Отсюда по теореме Чевы, биссектрисы пересекаются в одной точке – точке .
Доказано.
Задача 2.
Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Дано:
, – медианы .
Доказать, что:
-
медианы и пересекаются в одной точке – точке ;
-
.
Решение.
I способ (без использования теорем Чевы и Менелая).
-
Рассмотрим произвольный. Обозначим точкой точку пересечения его медиан и . Медианы и пересекаются, так как .
Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок
(рис. 16).
Так как и – медианы , то точки 
и 
являются серединами сторон и соответственно, то есть 
, 
.
Отсюда, по определению средней линии треугольника (средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон) отрезок является средней линией .
Так как средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны, то отрезок 
и 
.
-
Рассмотрим
и 
.
как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и (
по доказанному) секущей ;
как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по доказанному) секущей .
Следовательно, 
по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны.
Итак, 
– коэффициент подобия:
Но по доказанному ; 
, поэтому и 
, 
. Таким образом, точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении 
, считая от вершины.
-
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении , считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой .
Итак, все три медианы
пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины.
Доказано
II способ (с использованием теорем Чевы и Менелая).
-
Так как по условию – медианы , то , , 
, поэтому:
Итак,
Отсюда по теореме Чевы, медианы пересекаются в одной точке – точке .
-
Рассмотрим
.
Прямая
пересекает две стороны (
, 
) и продол жение третьей (
– луч, 
), значит, по теореме Менелая:
И, значит,
-
Рассматривая теорему Менелая для
и секущей , а также для 
и секущей , мы получим, что:
Итак, все три медианы пересекаются в точке и делятся ею в отношении , считая от вершины.
Доказано.
II блок задач (пропорциональные отрезки).
Задача 3.
В на стороне взята точ ка 
так, что 
. На продолжении стороны за точку 
взята точка так, что 
. Пря мая 
пересекает сторо ну в точке 
. Найти отношение 
.
Дано:
, 
, , – луч, 
, , 
.
Найти отношение
.
Решение.
I способ (без использования теоремы Менелая).
Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок 
(рис. 18).
Пусть 
, тогда по условию (): 
; пусть 
, тогда по условию (): 
.
-
Рассмотрим
и 
.
– общий угол для и ;
как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых 
и ( по дополнительному построению) секущей , 
.
Следовательно, 
по двум углам.
Итак, 
– коэффициент подобия:
И, значит,
-
Рассмотрим
и 
.
как вертикальные углы;
как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , , 
.
Следовательно, 
по двум углам.
Итак, 
– коэффициент подобия:
Но, так как по доказанному:
то мы получаем, что:
Ответ:
.
II способ (c использованием теоремы Менелая).
Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию (): .
Прямая пересекает две стороны (
, 
) и продол жение третьей ( – луч, 
), значит, по теореме Менелая:
И, значит,
Ответ:
.
Задача 4.
На стороне 
взята точка , а на стороне 
взята точка 
, причём 
. Точка пересечения отрезков 
и 
делит в отношении 
, считая от точки 
. Найти отношение 
.
Дано:
, 
, 
, 
, 
, 
.
Найти отношение
.
Решение.
I способ (без использования теоремы Менелая).
Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок 
(рис. 20).
Пусть 
, тогда по условию (): 
; пусть 
, тогда по условию ( ): 
.
-
Рассмотрим
и 
.
– общий угол для и ;
как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых 
и ( по дополнительному построению) секущей , .
Следовательно, 
по двум углам.
Итак, – коэффициент подобия:
И, значит,
-
Рассмотрим
и 
.
как вертикальные углы;
как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , 
.
Следовательно, 
по двум углам.
Итак, – коэффициент подобия:
Но, так как по доказанному:
то мы получаем, что:
Ответ:
.
II способ (c использованием теоремы Менелая).
Пусть
, тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию ( ): .
Прямая пересекает две стороны 
(
, 
) и продол жение третьей (
– луч, 
), значит, по теореме Менелая:
И, значит,
Ответ:
.
III блок задач (отношение площадей).
Задача 5.
Пусть 
медиана . На медиане 
взята точка 
так, что 
. Прямая 
разбивает на два треугольника: 
и 
, причём 
. Найти отношение 
.
Дано:
, – медиана , 
, 
, – прямая, .
Найти отношение
.
Решение.
I способ (без использования теоремы Менелая).
Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок 
(рис.22).
Пусть 
, тогда по условию (
медиана ): 
; пусть 
, тогда по условию ( ): 
.
-
Рассмотрим и . Основания 
и 
лежат на одной прямой (прямой ), а вершина 
общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота 
, значит,
-
Рассмотрим
и 
.
– общий угол для и ;
как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых 
и ( по дополнительному построению) секущей , 
.
Следовательно, 
по двум углам.
Итак, – коэффициент подобия:
И, значит,
-
Рассмотрим
и 
.
как вертикальные углы;
как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей 
, 
.
Следовательно, 
по двум углам.
Итак, – коэффициент подобия:
Но, так как по доказанному:
то мы получаем, что:
-
Итак,
Ответ:
.
II способ (c использованием теоремы Менелая).
Пусть , тогда по условию ( медиана ): ; пусть , тогда по условию ( ): .
-
Рассмотрим и . Основания и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,
-
Прямая пересекает две стороны 
(
, 
) и продол жение третьей (
– луч, 
), значит, по теореме Менелая:
И, значит,
-
Итак,
Ответ:
.
Задача 6.
Биссектрисы 
и пересекаются в точке . Найти 
, если 
, 
, 
.
Дано:
; , – биссектрисы , 
, , , .
Найти
.
Решение.
I способ (без использования теоремы Менелая).
-
Пусть
, тогда по условию (, ):
-
Так как
– биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):
То есть, если 
, то 
-
Так как – биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):
То есть, если 
, то 
-
Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок
(рис.24).
-
Рассмотрими 
.
– общий угол для и ;
как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых 
и ( по дополнительному построению) секущей , .
Следовательно, 
по двум углам.
Итак, – коэффициент подобия:
И, значит,
-
Рассмотрим
и 
.
как вертикальные углы;
как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , 
.
Следовательно, 
по двум углам.
Итак, – коэффициент подобия:
Но, так как по доказанному:
то мы получаем, что:
То есть, если 
, то 
.
-
Рассмотрими 
.
и имеют общий угол – 
, поэтому площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих .
Итак,
Следовательно,
По условию задачи , поэтому,
-
Рассмотрими .
Основания
и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,
Ответ:
.
II способ (c использованием теоремы Менелая).
-
Пусть, тогда по условию (, ):
-
Так как – биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):
То есть, если , то
-
Так как – биссектриса по условию, то (биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника):
То есть, если , то
-
Прямая пересекает две стороны (
, 
) и продол жение третьей (
– луч, 
), значит, по теореме Менелая:
И, значит,
То есть, если , то .
-
Рассмотрими .
и имеют общий угол – , поэтому площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих .
Итак,
Следовательно,
По условию задачи , поэтому,
-
Рассмотрими .
Основания
и лежат на одной прямой (прямой ), а вершина общая. Поэтому у этих треугольников будет и общая высота , значит,
Ответ:
.
Заключение.
Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7–9 классов. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.
Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.
Я считаю, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в основной курс геометрии 7–9 классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.
Теоремы Чевы и Менелая также помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.
Список используемой литературы.
-
Аксёнова М. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика/ В. Володин. – М.: Аванта+, 2004. -
Атанасян Л.С. Геометрия, 7–9: Учебник для общеобразовательных учреждений/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. – М.: Просвещение, 1996. -
Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. –12–е издание.– М.: Просвещение, 2002. -
Мадер В.В. Полифония доказательств. – М.: Мнемозина, 2009. -
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть I. – M.: МЦНМО, 2001.