Выставка исследовательских и творческих работ «Твоя профессиональная карьера»

«Известная и неизвестная теорема Пифагора»

Ковальчук Анастасия Сергеевна

Россия, город Краснознаменск

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Гимназия №2, 8 «Б» класс

Научный руководитель: Чембулатова Людмила Валентиновна

Выставка исследовательских и творческих работ «Твоя профессиональная карьера»

«Известная и неизвестная теорема Пифагора»

Ковальчук Анастасия Сергеевна

Россия, город Краснознаменск

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Гимназия №2, 8 «Б» класс

Научный руководитель: Чембулатова Людмила Валентиновна

Краткая аннотация

Данная работа посвящена теореме Пифагора – одной из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Цель:

• 
  История возникновения теоремы Пифагора
  
• 
  Исследовать способы доказательства теоремы Пифагора
  
• 
  Применить теорему Пифагора к решению различных задач
  

Задачи:

• 
  Изучить теорему Пифагора и различные ее доказательства
  
• 
  Рассмотреть задачи, решение которых основано на теореме Пифагора
  
• 
  Разработать рекомендации по решению задач на теорему Пифагора
  
• 
  Создать пакет задач на теорему Пифагора для учащихся 8-ого класса
  

Методы исследования:

• 
  Теоретические:
  

1. 
   Изучение литературы по теории
   
2. 
   Анализ и обобщение изученной теории
   

• 
  Эмпирические
  

1. 
   Решение задач
   
2. 
   Подбор задач для пакета заданий
   
3. 
   Создание пакета заданий и рекомендации по их решении
   

VI Выставка исследовательских и творческих работ «Твоя профессиональная карьера»

«Известная и неизвестная теорема Пифагора»

Ковальчук Анастасия Сергеевна

Россия, город Краснознаменск

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Гимназия №2, 8 «Б» класс

Научный руководитель: Чембулатова Людмила Валентиновна

Аннотация

Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b².

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.(рис.1,2,3)

Научная статья

Пифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист. Родился на острове Самос.

Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

Получил хорошее образование. По преданию Пифагор, чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет и прожил там 22 года. Хорошо овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. Предания приписывают Пифагору посещение и Индии. Это очень вероятно, так как Иония и Индия тогда имели торговые связи. Возвратившись на родину (ок. 530 г. до н. э.), Пифагор попытался организовать свою философскую школу. Однако по неизвестным причинам он вскоре оставляет Самос и селится в Кротоне (греческая колония на севере Италии). Здесь Пифагору удалось организовать свою школу, которая действовала почти тридцать лет. Школа Пифагора или пифагорейский союз, была одновременно и философской школой, и политической партией, и религиозным братством.

Статут пифагорейского союза был очень суровым. Каждый, кто вступал в него, отказывался от личной собственности в пользу союза, обязывался не проливать крови, не употреблять мясной пищи, беречь тайну учения своего учителя.

Открытие того факта, что между стороной и диагональю квадрата не существует общей меры, было самой большой заслугой пифагорейцев. Этот факт вызвал первый кризис в истории математики. Пифагорейское учение о целочисленной основе всего существующего больше нельзя было признавать истинным. Пифагору приписывают еще ряд важных в то время открытий, а именно: теорему о сумме внутренних углов треугольника; задачу о делении плоскости на правильные многоугольники (треугольники, квадраты и шестиугольники). Есть сведения, что Пифагор построил "космические" фигуры, т. е. пять правильных многогранников. Но вероятнее, что он знал только три простейших правильных многогранника: куб, четырехгранник, восьмигранник. Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Самое большее, что известно сейчас народонаселению об этом уважаемом древнем греке, укладывается в одну фразу: "Пифагоровы штаны на все стороны равны". Авторов этой дразнилки явно отделяют от Пифагора века, иначе бы они дразниться не посмели. Потому что Пифагор - вовсе не квадрат гипотенузы, равный сумме квадратов катетов. Это знаменитый философ.

Он первый дал название своему роду деятельности. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. В его философии много космического. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучать алгебру с геометрией, музыку и астрономию. Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески "математикой". Что касается пресловутого треугольника с его гипотенузой и катетами, то это, согласно великому греку, больше, чем геометрическая фигура. Это "ключ" ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".

Он был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди называли себя гордо и несколько высокомерно - мудрецами, что означало - человек, который знает. Пифагор же назвал себя философом - тем, кто пытается найти, выяснить.

Пифагорейцы пытались применять математические открытия Пифагора к умозрительным физическим построениям, что приводило к любопытным результатам. Они полагали, что любая планета, обращаясь вокруг Земли, проходя при этом сквозь чистый верхний воздух, или "эфир", издаёт тон определённой высоты. Высота звука меняется в зависимости от скорости движения планеты, скорость же этого движения зависит от расстояния до Земли. Сливаясь, небесные звуки образуют то, что мы называем "гармонией сфер", или "музыкой сфер".Пифагорейцы были увлечены построением правильных геометрических фигур с помощью циркуля и линейки. Увлечённые этим "строительством" они выстроили фигуры вплоть до правильного пятиугольника и озадачились тем, как с помощью всё тех же циркуля и линейки построить следующую правильную фигуру - семиугольник? Надо сразу же сказать, что это им не удалось.

Не тут-то было! Эта задачка пифагорейцев оставалась неразрешимой более двух тысячелетий! Решил её только в 1796 г. 19-летний(!) немецкий юноша Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855), прозванный позже королём математиков.

Несколько доказательств теоремы Пифагора

• 
  На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, она является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
  
• 
  Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).
  

Доказательство, основанные на использовании понятия равновеликости фигур

Пусть имеется два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников.(рис.4)

Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b, то останутся равные площади, т. е. c² = a² + b². Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Векторное доказательство

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах.(рис.5).Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a

откуда имеем

c = a - b

возводя обе части в квадрат, получим

c²=a²+b²-2ab

Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда

c²=a²+b² или c²=a²+b²

Ч.Т.Д!

Доказательство теоремы индийским математиком Бхаскари-Ачарна

Пусть сторона большого квадрата (она же — гипотенуза прямоугольного треугольника) равна с.(рис.6)

Пусть также два его катета равны соответственно a и b.

Тогда, в согласии с чертежом, (a − b)2 + (4ab)/2 = с2, то есть с2 = a2 + b2.

Следовательно, если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов его катетов действительно равна квадрату гипотенузы.

Доказательство №4

Площадь прямоугольного треугольника: S=½*a*b или S=½(p*r) (для произвольного треугольника);

p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности.

r = ½*(a + b - c) - радиус вписанной в любой треугольник окружности.

½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c);

a*b = (a + b + c)*½(a + b - c);

a + b=x;

a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x2-c2)

a*b = ½(a2 + 2*a*b + b2 - c2)

a2 + b2 - c2 = 0, значит

a2 + b2 = c2

Доказательство №5

Дано: ΔАВС - прямоугольный треугольник, AJ - высота, опущенная на гипотенузу BCED - квадрат на гипотенузе ABFH и ACKJ - квадраты построенные на катетах.(рис.7)

Доказать: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (Теорема Пифагора).

Доказательство:1. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, ΔABD=ΔBFS (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBS=ABD).Но! SΔABC=½SBJLD, т.к. у ΔABC и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SΔFBS=½SABFH (BF-общее основание, AB - общая высота). Отсюда, учитывая, что SΔABD= SΔFBS, имеем: SBJLD=SABFH.2.Аналогично, используя равенство треугольника ΔBCK и ΔACE, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKJ=SBJLD + SBCED.

Формулировка обратной теоремы

• 
  Теорема, обратная к теореме Пифагора, также справедлива. Она позволяет проверить, является ли тот или иной треугольник прямоугольным. Этим пользовались землемеры и строители Древнего Египта: они размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков.
  
• 
  Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5(рис.5) называется «египетским», а тройки (a, b, c) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению c²=a²+b², т.е. служащие длинами сторон прямоугольных треугольников, Пифагоровыми
  

Применение на практике теоремы Пифагора

№1. Высота, опущенная из вершины В Δ АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см.

Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см (рис.8).

Дано:

Δ АВС, BD – высота,

АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см.

Найти: ВС.

Решение:

1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ CBD – прямоугольные.

2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ² = AD² + BD², отсюда

BD² = AB² – AD²,

BD² = 202 – 162,

BD² = 400 – 256,

BD² = 144,

BD = 12.

3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС² = ВD² + DС², отсюда

BC² = 12² + 9²,

BC² = 144 + 81,

BC² = 225,

BC = 15.

О т в е т: сторона BC равна 15 см.

№2. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см,

боковая сторона - 5см.

Найти медиану треугольника.

Решение

ВD - медиана треугольника, поэтому АD=DC=3см.

BD-высота треугольника, поэтому треугольник

АВD-прямоугольный.

По теореме Пифагора : ВD=

BD=

Ответ: ВD=4см

№3. Дан ΔАВС, в котором ∠В на 90^◦ больше, чем ∠А. Найти зависимость между а, b, c , если АВ = c; FC = b; BC = a;

Решение:

Проведем ВD ﬩ AB, тогда ∠А = ∠CBD(т.к. ∠CBA = ∠А + 90◦);

∠СВD - внешний угол ΔABD, т.е. ∠CDB = 90^◦ + ∠A, а значит,

∠CDB = ∠CBA,

ΔАВС~ ΔBDC по двум углам;

Из подобия треугольников следует, что a/CD = c/AB = b/a, откуда CD = a²/b;

BD = ac/b; AD = AC - CD = b² -a²/b.

Рассмотрим ΔABD, где ∠ABD = 90^◦ .

По теореме Пифагора, AD² = BD² + AB², откуда

(b² - a²)² = c²(a² + b²).

А также теорема Пифагора используется в жизни.

№4. Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)(рис.9)

Решение:

Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+AB
OB=r + x

ВС²+ОС²=ОВ² – Теорема Пифагора

Используя теорему Пифагора, получим

x = √r²+R² – r = 2,3 км.

Ответ: 2,3 км.

№5. Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.(рис.10)

Решение:

По теореме Пифагора :h²≥ a²+b², значит h≥√(a²+b²). Ответ :h≥√(a²+b²)

№6. При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF. (рис.11)

Решение:

Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:

А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,

Б) Из треугольника ABF:

№7.С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.(рис.12)

Решение:

По теореме Пифагора:

4x²+(0,75x*2)²=2000²

6,25x²=2000²

2,5x=2000

x=800

0,75x=0,75*800=600.

Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч.

№8.Исследуем пирамиду,(рис.13) такую в основании которой лежит квадрат, и высота которой проходит через центр квадрата. Пусть сторона квадрата a, а высота пирамиды h. Чему равна длина S боковых рёбер пирамиды?

Решение:

Эти рёбра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата, т.е. 1/2*(√ 2*a)². Вследствие этого имеем:

S²=h²+1/2*a².

Затем мы можем вычислить высоту h1 боковых граней. В прямоугольном треугольнике, один из катетов которого равен h, а другой - a/2, высота h1 будет гипотенузой. Поэтому:h₁²=h²+1/4*a². Ответ: h₁²=h²+1/4*a²

№9.

Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией; мы сейчас перейдём к пространственным телам и рассмотрим некоторые простейшие из них.

На рисунке 14 изображён куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, закрашенного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина этой диагонали равна √ 2*a). Отсюда имеем

d²=a²+ (√ 2*a)²

d²=a²+2*a²=3*a²

d=√ 3*a

№10.(рис.15,16)

Велика роль этой теоремы и в практической деятельности.

В зданиях романского и готического стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его весьма прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны 1)ширине окна b для наружных дуг и 2) половине ширины, т.е. b/2 -для внутренних. Остаётся ещё полная окружность, касающаяся четырёх дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то её диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т.е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. Тогда становится ясным и положение её центров.

В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; рассмотрим, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на этом рисунке.

Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R=b/2 и r =b/4. Радиус ρ внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображённого на рисунке пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+ρ, один катет равен b/4, а другой b/2-ρ. По теореме Пифагора имеем:

(b/4+ρ)²=(b/4)²+(b/2-ρ)²

или

b²/16+bρ /2+ρ²=b²/16+b²/4-bρ+ρ²,

откуда

b*ρ/2=b²/4 - bρ.

Разделив на b приводя подобные члены, получим:

3*ρ/2=b/4, ρ=b/6.

Вывод

В своей работе я рассмотрела 5 способов доказательств теоремы Пифагора. Они все разнообразны и интересные, но больше всего мне нравится векторное доказательство. Оно интересно тем, что доказательство очень простое, интересное и понятное. А также, в своей работе я систематизировала собрала задачи разных типов, которые решаются с помощью теоремы Пифагора. Я поняла как велика значимость теоремы Пифагора в математике, а также и в жизни.

Литература

1. 
   https://project68.narod.ru/Integ/2/632/start.htm
   
2. 
   https://moypifagor.narod.ru/index.htm#up
   
3. 
   https://th-pif.narod.ru/biograph.htm
   
4. 
   Большая советская энциклопедия. В 30 тт.
   
5. 
   Энциклопедический словарь. Брокгауз Ф.А., Ефрон И.А. В 86 тт.
   
6. 
   https://moypifagor.narod.ru/history.htm
   
7. 
   Учебник по геометрии 7-9 классы Погорелов
   

Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16