Проект содержания учебной дисциплины

«Теоретическая механика»

в блоке естественнонаучных дисциплин

федеральной компоненты

(модульный вариант)

“Теоретическая механика” – фундаментальная самостоятельная естественнонаучная дисциплина, которая является основой современной техники. На материале теоретической механики базируются дисциплины (или разделы дисциплин) “Сопротивление материалов”, “Прикладная механика”, “Теория механизмов и машин”, “Детали машин”, “Строительная механика”, “Гидравлика”, “Теория упругости и пластичности”, “Гидродинамика и аэродинамика”, «Теория колебаний», «Теория управления движением», «Мехатроника», «Робототехника», а также большое число специальных инженерных дисциплин, посвященных изучению динамики и управления машин и различных видов транспорта, методов расчета, сооружения и эксплуатации высотных зданий, мостов, тоннелей, плотин, гидромелиоративных сооружений, трубопроводного транспорта. Изучение теоретической механики дает также тот минимум фундаментальных знаний, на основе которых будущий специалист сможет самостоятельно овладевать новой информацией, с которой ему придется столкнуться в производственной и научной деятельности.

Целью теоретической механики является изучение механико-математических моделей, которые описывают движение и равновесие материальных тел и возникающие при этом взаимодействия между телами.

В итоге изучения курса теоретической механики студент должен знать основные по­нятия и законы механики и вытекающие из этих законов методы изучения равновесия и дви­жения материальной точки, твердого тела и механической системы, понимать те методы ме­ханики, которые применяются в прикладных дисциплинах, уметь прилагать полученные зна­ния для решения соответствующих конкретных задач техники, самостоятельно строить и ис­следовать математические и механические модели технических систем, квалифицированно применяя при этом основные алгоритмы высшей математики и используя возможности со­временных компьютеров и информационных технологий.

Студент должен получить представление о предмете теоретической механики, во­з­можностях ее аппарата и границах применимости ее моделей, а также о междисциплинарных связях теоретической механики с другими естественнонаучными, общепрофессиональными и специальными дисциплинами. Он должен приобрести навыки решения типовых задач по статике, кинематике и динамике, а также начальный опыт компьютерного моделирования таких задач.

Базовый вариант изложения «Теоретической механики» (вариант 1) включает разделы, кинематики, статики, динамики и представляет собой минимально возможный курс теоретической механики, в котором рассматриваются вопросы:

1. 
   Кинематика.
   
   1. 
      Векторный, координатный и естественный способы задания движения точки.,
      
   2. 
      Скорость и ускорение точки, теорема о сложении скоростей,
      
   3. 
      Понятие об абсолютно твёрдом теле.
      
   4. 
      Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
      
   5. 
      Плоское движение твёрдого тела и движение плоской фигуры в её плоскости.
      
   6. 
      Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки или сферическое движение.
      
   7. 
      Общий случай движения свободного твёрдого тела.
      
   8. 
      Абсолютное и относительное движение точки.
      
   9. 
      Сложное движение твёрдого тела.
      

2. 
   Динамика и элементы статики. Предмет динамики и статики.
   
   1. 
      Законы механики ГалилеяНьютона. Задачи динамики.
      
   2. 
      Свободные прямолинейные колебания материальной точки.
      
   3. 
      Относительное движение материальной точки.
      
   4. 
      Механическая система. Геометрия масс системы материальных точек.
      
   5. 
      Дифференциальные уравнения движения механической системы.
      
   6. 
      Количество движения материальной точки и механической системы.
      
   7. 
      Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси.
      
   8. 
      Кинетическая энергия материальной точки и механической системы.
      
   9. 
      Понятие о силовом поле.
      
   10. 
       Система сил. Аналитические условия равновесия произвольной системы сил.
       
   11. 
       Центр тяжести твёрдого тела и его координаты.
       
   12. 
       Принцип Даламбера для материальной точки.
       
   13. 
       Дифференциальные уравнения поступательного движения твёрдого тела.
       
   14. 
       Определение динамических реакций подшипников при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
       
   15. 
       Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки
       
   16. 
       Элементарная теория гироскопа.
       
   17. 
       Связи и их уравнения. Принцип возможных перемещений. Обобщённые координаты системы.
       
   18. 
       Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщённых координатах или уравнения Лагранжа второго рода.
       
   19. 
       Принцип ГамильтонаОстроградского.
       
   20. 
       Явление удара. Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе
       

В продвинутом варианте изложения «Теоретической механики» к базовому курсу добавляются вопросы

1. Угловая скорость твёрдого тела, пара вращений, теорема Эйлера о поле скоростей движущегося твёрдого тела,

2. Поле скоростей и ускорений тела с одной неподвижной точкой,

3. Кинематический винт.

4. Кинематические уравнения Эйлера.

5. Кинематические уравнения Пуассона.

4. Уравнения движения материальной точки в декартовых и естественных осях,

5. Теоремы динамики точки, первые интегралы уравнений движения.

6. Движение под действием центральной силы, законы Кеплера,

7. Движение по поверхности и кривой (точка со связью), реакции связей.

8. Теорема об изменении энергии для несвободной точки, относительное движение и относительное равновесие точки со связью, вес тела на Земле.

9. Динамика систем точек: связи и их классификация, обобщенные координаты и обобщенные силы, принцип виртуальных перемещений для неосвобождающих связей, принцип ДаламбераЛагранжа для систем с идеальными связями, силы внутренние и внешние,

10. Теоремы динамики систем, формулы Кёнига, первые интегралы уравнений движения и законы сохранения.

10. Динамика твёрдого тела: моменты инерции; эллипсоид инерции; динамические уравнения Эйлера;

11. Уравнения движения свободного твёрдого тела; уравнения движения тяжелого твёрдого тела с одной неподвижной точкой; первые интегралы; случаи их интегрируемости: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.

12. Аналитическая механика: уравнения Лагранжа второго рода, циклические и позиционные координаты, уравнения Рауса для систем с циклическими координатами.

13. Малые колебания; собственные частоты и собственные колебания; нормальные координаты. Поведение собственных частот при изменении жёсткости или инерционности системы и при наложении новой связи;

14. Канонические уравнения Гамильтона, скобки Пуассона; теорема ЯкобиПуассона о первых интегралах; канонические преобразования; производящая функция и её различные формы;

15. Уравнение ГамильтонаЯкоби; метод Якоби интегрирования канонических уравнений;

16. Принципы Гамильтона и Якоби;

17. Принцип Гаусса;

18. Уравнения Аппеля.

Примерный образец программы полного курса

I. Содержание лекций

Предмет и аксиомы статики. Понятие об абсолютно твёрдом теле. Виды связей и замена связей их реакциями. Элементарные операции над системами сил. Теорема о приведении произвольной системы сил к двум силам при помощи элементарных операций. Момент силы относительно точки и оси. Главный вектор и главный момент системы сил. Пара сил. Теорема Пуансо о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил. Силовой винт. Уравнения равновесия абсолютно твёрдого тела под дейст­вием произвольной системы сил в пространстве и на плоскости. Статически определимые и статически неопределимые системы. Центр системы параллельных сил. Центр тяжести твёрдого тела и его координаты. Способы нахождения центра тяжести твёрдого тела. Аксиомы Амонтона – Кулона о трении скольжения; конус трения. Трение качения и верчения. Равновесие твёрдых тел с учётом сил сухого трения.

Предмет кинематики. Способы задания движения точки: векторный, координатный, естественный. Закон движения точки и её траектория. Скорость и ускорение точки, их опре­деление при различных способах задания движения точки. Определение компонент вектора скорости в криволинейных координатах; параметры Ламе. Задача о сближении движущихся точек.

Кинематика абсолютно твёрдого тела. Задание движения твёрдого тела. Распределение скоростей точек абсолютно твёрдого тела в произвольном его движении; формула Эйлера для поля скоростей движущегося твёрдого тела. Вектор угловой скорости твёрдого тела и его независимость от выбора полюса. Теорема Грасгофа о проекциях скоростей двух точек твёрдого тела на прямую, их соединяющую. Поступательное движение твёрдого тела. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Плоское движение твёрдого тела и движение плоской фигуры в её плоскости. Сферическое движение твёрдого тела (движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки); поле скоростей и поле ускорений тела с одной неподвижной точкой. Общий случай движения свободного твёрдого тела. Распределение ускорений при произвольном движении твёрдого тела; формула Ривальса. Формула для дифференцирования вектора в подвижной системе координат (формула Бура). Абсолютное и относительное движение точки. Скорость и ускорение точки в сложном движении (теорема о сложении скоростей, теорема Кориолиса). Сложное движение твёрдого тела; пара вращений. Кинематические уравне­ния Эйлера. Элементы теории конечных поворотов. Матрица направляющих косинусов и её свойства. Выражение матрицы направляющих косинусов через углы Эйлера–Крылова. Однородные координаты в кинематике систем твёрдых тел.

Предмет и аксиомы динамики. Законы механики Галилея–Ньютона. Две основные задачи динамики материальной точки. Уравнения движения материальной точки в декартовых и естественных осях. Первые интегралы уравнений движения. Движение материальной точки под действием центральной силы, законы Кеплера. Движение материальной точки по поверхности и кривой (точка со связью); реакции связей. Дифференциальные уравнения движения матери­альной точки в неинерциальной системе отсчёта (динамика относительного движения материальной точки). Переносная и кориолисова силы инерции. Относительное равновесие точки со связью. Вес тела на Земле; зависимость веса тела от широты места. Невесомость. Идея метода инерциальной навигации. Свободные прямолинейные колебания материальной точки. Движение точки переменной массы. Уравнение Мещерского.

Динамика системы материальных точек. Силы внутренние и внешние. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Общие теоремы динамики (для точки и системы). Масса системы. Количество движения материальной точки и системы материальных точек. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси. Кинетический момент системы материальных точек; формула Кёнига для кинетического момента. Теоремы об изменении кинетического момента механической системы. Первые интегралы уравнений движения механической системы и законы сохранения. Общие теоремы динамики в подвижных осях.

Динамика абсолютно твёрдого тела. Дифференциальные уравнения поступательного движения твёрдого тела. Момент инерции твёрдого тела относительно оси. Дифференциальные уравнения вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения плоского движения твёрдого тела. Оператор (тензор) инерции твёрдого тела и его свойства. Главные оси инерции. Эллипсоид инерции. Кинетический момент твёрдого тела с одной неподвижной точкой. Определение динамических реакций в подшипниках при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой; динамические уравнения Эйлера. Кинематические уравнения Пуассона. Случай Эйлера и геометрическая интерпретация Пуансо для этого случая; регулярная прецессия динамически симметричного твёрдого тела в случае Эйлера. Первые интегралы уравнений движения тяжелого твёрдого тела с одной неподвижной точкой. Случай Лагранжа; первые интегралы для этого случая. Элементы прецессионной теории гироскопов. Теорема Резаля. Гироскопический момент. Важнейшие гироскопические явления (действие кратковременной силы на гироскоп, регулярная прецессия тяжёлого гироскопа; вынужденная прецессия гироскопа). Случай Ковалевской. Уравнения движения свободного твёрдого тела.
Аналитическое задание связей и их классификация; уравнения связей. Возможные и действительные перемещения. Обобщённые координаты механической системы; обобщённые скорости. Конфигурационное пространство механической системы. Работа и мощность системы сил. Мощность системы сил, приложенных к твёрдому телу. Обобщённые силы. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы; теорема Кёнига (формула Кёнига для кинетической энергии). Принцип Даламбера для материальной точки и системы материальных точек. Главный вектор и главный момент сил инерции для системы материальных точек. Принцип Даламбера–Лагранжа для систем с идеальными связями; общее уравнение динамики. Принцип возможных (виртуальных) перемещений для неосвобождающих связей. Метод кинетостатики. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщённых координатах (уравнения Лагранжа второго рода).

Потенциальная энергия материальной точки и механической системы; понятие о силовом поле. Теоремы об изменении кинетической и полной механической энергии. Область возможности движения. Теорема об изменении энергии для несвободной материальной точки. Уравнения Лагранжа для систем с потенциальными силами; функция Лагранжа. Интеграл Якоби. Диссипативная функция Рэлея и её механический смысл. Циклические и позиционные координаты, уравнения Рауса для систем с циклическими координатами. Понятие об устойчивости равновесия. Теорема Лагранжа–Дирихле. Малые свободные колебания механической системы и их свойства. Собственные частоты и собственные колебания; коэффициенты формы. Нормальные координаты; поведение собственных частот при изменении жёсткости или инерционности системы и при наложении новой связи. Принцип Гамильтона–Остроградского как пример вариационных принципов механики.

Пондеромоторные силы в электромеханических системах. Уравнения Лагранжа–Максвелла. Электромеханическая аналогия. Движение заряженной частицы в постоянном магнитном поле. Циклотронная частота.

Явление удара; коэффициент восстановления. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента механической системы при ударе. Применение уравнений Лагранжа для анализа ударных явлений. Удар диска о поверхность.

Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема Якоби–Пуассона о первых интегралах. Канонические преобразования; производящая функция и её различные формы. Уравнение Гамильтона–Якоби. Метод Якоби интегрирования канонических уравнений. Принцип Якоби. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения). Уравнения Аппеля и их вывод при помощи принципа Гаусса.

Темы расчётных заданий

1.Статика абсолютно твёрдых тел на плоскости.

Расчётное задание включает набор индивидуальных заданий по статике. Решение каждого задания предполагает решение системы алгебраических уравнений 6-го или 9-го порядка (что оказывается весьма затруднительным без использования компьютера).

2.Статика систем с неудерживающими связями.

Расчётное задание включает набор индивидуальных заданий по статике систем с неудерживающими связями. Решение каждого задания предполагает неоднократное решение системы алгебраических уравнений 9-го порядка (что оказывается весьма затруднительным без использования компьютера).

3.Кинематика плос­кого движения системы твёрдых тел.

Расчётное задание включает моделирование управляемого движения трёхзвенного робота-манипулятора и сводится к составлению и численному интегрированию (при помощи компьютера) алгебро-дифференциальной системы нелинейных уравнений с последующей проверкой полученных результатов.

4.Сложное движение точки.

Расчётное задание включает вычисление абсолютных значений скорости и ускорения точки, совершающей сложное движение.

5.Динамика машины с кулисным приводом.

Задание включает составление уравнений динамики машины с кулисным приводом в форме уравнений Лагранжа 2-го рода, после чего выполняется численное моделирование с помощью компьютера.

6.Динамика робота-манипулятора.

Расчётное задание включает моделирование динамики трёхзвенного робота-ма­ни­пу­ля­то­ра и сводится к составлению (при помощи метода кинетостатики) и численному интегрированию (при помощи компьютера) алгебро-дифференциальной системы нелинейных уравнений с последующей проверкой полученных результато

Литература
IX.1. Учебники
1.Бутенин И.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. СПб.: Лань, 1998. 736 .

IX.2. Учебные пособия
1.Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука, 1997. 320 .

2.Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. Т.1,2. М.: Нау­ка, 1997. Т.1 – 456 . Т.2 – 544 .

3.Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: , 1999. 572 .

4.Мартыненко Ю.Г. Аналитическая механика эле­к­тромеханических си­с­тем. М.: Изд-во МЭИ, 1984. 64 .

5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986. 448 .

6.Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика. М.: Физматлит, 2002. 384 .

7.Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчёты по теоретической меха­нике на базе ЭВМ. М.: Высшая школа. 1988. 136 .

IX.3. Методические пособия
1.Корецкий А.В., Осадченко Н.В. Методические указания по проведению практических занятий по курсу «Теоретическая механика» в классах ПЭВМ. М.: Изд-во МЭИ, 1993. 44 .

2.Корецкий А.В., Осадченко Н.В. Методические указания по работе студентов с обучающей программой по кинематике. М.: Изд-во МЭИ, 1995. 32 .

3.Динамика материальной точки: Методические указания к типовым расчётам по курсу «Теоретическая механика» / А.М.Александров, , Ю.Г.Мартыненко, . М.: Изд-во МЭИ, 1993. 19 .

4.Корецкий А.В., Осадченко Н.В., Устинов В.Ф. Методические указания по работе студентов с обучающими программами по динамике. М.: Изд-во МЭИ, 1996. 59

Председатель Научно-методического совета

по теоретической механике

Мартыненко Ю.Г.