МАТЕМАТИКА
Программа вступительных испытаний

Общие указания
Вступительный экзамен по математике сдается в письменной форме.

В настоящей программе приводится перечень понятий, фактов и методов, которыми должен владеть абитуриент при выполнении письменной работы по математике.

Объем знаний и степень владения материалом, описанным в программе, соответствуют курсу математики средней школы. Поступающий может пользоваться всем арсеналом средств из этого курса, включая и начала анализа. Однако для решения экзаменационных задач достаточно уверенного владения лишь теми понятиями и их свойствами, которые перечислены в настоящей программе. Поступающий также может использовать объекты и факты, не изучаемые в общеобразовательной школе, но при условии, что он способен их пояснить и доказать.


1. Основные математические понятия и факты

Арифметика, алгебра и начала анализа

Натуральные числа (n). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

Целые числа (z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.

Действительные числа (r),их представление в виде десятичных дробей.

Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.

Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.

Логарифмы, их свойства.

Одночлен и многочлен.

Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.

Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции. Функция, обратная данной.

График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной у = ах² +bх = с, степенной у = ахⁿ (n N), y=k/x , показательной у = а^x, а > 0 , логарифмической, тригонометрических функций (y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx), арифметического корня у = √ х .

Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.

Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных неравенствах.

Система уравнений и неравенств. Решения системы.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).

Преобразование в произведение сумм sin а ± sin ß; cos а ± cos ß.

Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.

Производные функций (у = sinх, y = cosx, y = tgx, у = ах^п (n Z), у = lnх).
Геометрия

Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.

Примеры преобразования фигур, виды симметрий. Преобразования подобия и его свойства.

Векторы. Операции над векторами.

Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.

Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.

Центральные и вписанные углы.

Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.

Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур. Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.

Параллельность прямой и плоскости.

Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.

Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.

Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы; пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.

Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.

Формула объема параллелепипеда.

Формула площади поверхности и объема призмы.

Формула площади поверхности и объема пирамиды.

Формула площади поверхности и объема цилиндра.

Формула площади поверхности и объема конуса.

Формула объема шара.

Формула площади сферы.

2. Основные формулы и теоремы

Алгебра и начала анализа

Свойства функции y = kx + b и ее график.

Свойства функции у = к/х и ее график.

Свойства функции у = ах² + bх = с и ее график.

Формула корней квадратного уравнения.

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Свойства числовых неравенств.

Логарифм произведения, степени, частного.

Определение и свойства функций у = sinх у = cos х и их графики. Определение и свойства функции у = tgx и ее график. Определение и свойства функции у = ctgx и ее график. Решение уравнений вида sin х = a, cos х = а, tg х = а. Формулы приведения.

Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Тригонометрические функции двойного аргумента. Производная суммы двух функций.

Уравнение касательной к графику функции.
ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ ЗАДАНИЙ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ В 2009 ГОДУ
Московский университет МВД России

Вариант № 1

1. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Сумма крайних членов равна 252, а сумма средних составляет 60. Найдите эту прогрессию.
2. Решите уравнение: √ Зх - 5 = 3 - √ х - 2 .

3. Решите уравнение: sin х * cos 5х = sin 9х * cos Зх

4.Решите уравнение: ₂log x2*₅log₃x ₌₄₀₀

5.Найдите производную функции: у =3√ х * sin (1 + 8х) + е^x

6.Найдите все первообразные функции: у = cos3x +х + 1

√ х