Программа

вступительных испытаний в ГОУ ВПО НГПУ

по математике
Организационно-методические указания
Вступительные испытания при приеме абитуриентов в государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский государственный педагогический университет» по математике проводятся с целью определения способностей и возможностей поступающих абитуриентов осваивать основную программу высшего профессионального образования по данной специальности.
Требования к владению материалом, способностям профессионального характера.
На экзамене по математике поступающий в высшее учебное заведение должен показать:

- четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных программой, умение доказывать эти теоремы;

- умение точно и сжато выражать математическую мысль в устном и письменном изложении, использовать соответствующую символику;

- уверенное владение математическими знаниями и навыками, предусмотренными программой. Умение применять их при решении задач.

1. 
   Основные математические понятия и факты
   

Арифметика. Алгебра и начала анализа.

1. 
   Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.
   
2. 
   Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
   
3. 
   Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание. Умножение, деление. Сравнение рациональных чисел.
   
4. 
   Действительные числа (R). Их представление в виде десятичных дробей.
   
5. 
   Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
   
6. 
   Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.
   
7. 
   Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.
   
8. 
   Логарифмы и их свойства.
   
9. 
   Одночлен и многочлен.
   
10. 
    Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.
    
11. 
    Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений. Функция, обратная данной.
    
12. 
    График функции. Возрастание и убывание функции. Периодичность, четность, нечетность.
    
13. 
    Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
    
14. 
    Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной , степенной , показательной , , логарифмической, тригонометрических функций (,, ), арифметического корня .
    
15. 
    Уравнения. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
    
16. 
    Неравенства. Решение неравенств. Понятие о равносильных неравенствах.
    
17. 
    Системы уравнений и неравенств. Решение систем.
    
18. 
    Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.
    
19. 
    Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
    
20. 
    Преобразование в произведение сумм , .
    
21. 
    Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
    
22. 
    Производные функций ,, , , .
    

Геометрия

1. 
   Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.
   
2. 
   Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразование подобия и его свойства.
   
3. 
   Векторы. Операции над векторами.
   
4. 
   Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
   
5. 
   Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами прямоугольного треугольника.
   
6. 
   Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
   
7. 
   Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.
   
8. 
   Центральные и вписанные углы.
   
9. 
   Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
   
10. 
    Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.
    
11. 
    Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
    
12. 
    Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
    
13. 
    Параллельность прямой и плоскости.
    
14. 
    Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
    
15. 
    Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.
    
16. 
    Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная призма; пирамида. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.
    
17. 
    Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
    
18. 
    Формула объема параллелепипеда.
    
19. 
    Формулы площади поверхности и объема призмы.
    
20. 
    Формулы площади поверхности и объема пирамиды.
    
21. 
    Формулы площади поверхности и объема конуса.
    
22. 
    Формулы объема шара и его частей.
    
23. 
    Формулы площади сферы.
    
24. 
    Формулы площади поверхности и объема цилиндра.
    

2. 
   Основные формулы и теоремы
   

Алгебра и начала анализа

1. 
   Свойства функции и ее график.
   
2. 
   Свойства функции и ее график.
   
3. 
   Свойства функции и ее график.
   
4. 
   Формула корней квадратного уравнения.
   
5. 
   Разложение квадратного трехчлена на множители.
   
6. 
   Свойства числовых неравенств.
   
7. 
   Логарифм произведения, степени, частного.
   
8. 
   Определение и свойства функций , и их графики.
   
9. 
   Определение и свойства функции и ее график.
   
10. 
    Решение уравнений вида , , .
    
11. 
    Формулы приведения.
    
12. 
    Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
    
13. 
    Тригонометрические функции двойного аргумента.
    

Геометрия

1. 
   Свойства равнобедренного треугольника.
   
2. 
   Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
   
3. 
   Признаки параллельности прямых.
   
4. 
   Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.
   
5. 
   Признаки параллелограмма.
   
6. 
   Окружность, описанная около треугольника.
   
7. 
   Окружность, вписанная в треугольник.
   
8. 
   Измерение угла, вписанного в окружность.
   
9. 
   Признаки подобия треугольников.
   
10. 
    Теорема Пифагора.
    
11. 
    Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
    
12. 
    Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
    
13. 
    Признак параллельности прямой и плоскости.
    
14. 
    Признак параллельности плоскостей.
    
15. 
    Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.
    
16. 
    Перпендикулярность двух плоскостей.
    
17. 
    Теорема о параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
    
18. 
    Теорема о трех перпендикулярах.
    

3. Основные умения и навыки

Экзаменующийся должен уметь:

1. 
   Производить арифметические действия над числами, заданными в виде десятичных обыкновенных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты вычислений; пользоваться калькуляторами или таблицами для произведения вычислений.
   
2. 
   Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные выражения, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
   
3. 
   Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрической функций.
   
4. 
   Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие уравнений и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
   
5. 
   Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.
   
6. 
   Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости.
   
7. 
   Использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии – при решении геометрических задач.
   
8. 
   Проводить на плоскости операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться свойствами этих операций.
   
9. 
   Пользоваться понятием производной при исследовании функций на возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков функций.