Муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Южно-Уральский профессиональный институт»

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по УР

____________ И.Л. Васильева

«___»_______________20__г.
Программа вступительного испытания

по предмету «Математика»

Программа вступительных испытаний по математике

для абитуриентов, поступающих

на направления подготовки 080100.62 «Экономика»,

080200.62 «Менеджмент»,

230100.62 «Информатика и вычислительная техника»

Челябинск

2012

ОДОБРЕНА на заседании кафедры «математики, информатики и вычислительной техники» Протокол № 5 от 30.01.2012 г. Зав. кaкафедрой: С.А. Кондаков	Составлена в соответствии с Порядком приема граждан в образовательные учреждения высшего профессионального образования и Правилами приема в МОУ ВПО ЮУПИ на 2012-2013 учебный год доцент, к.п.н.
Составитель: М.В. Булгакова	К. п.н., доцент, преподаватель кафедры математики и вычислительной техники МОУ ВПО «Южно-Уральского профессионального института»
Рецензенты: С.Ю. Коваленко	Старший преподаватель кафедры математики и вычислительной техники МОУ ВПО «Южно-Уральского профессионального института»

Пояснительная записка
Программа по математике составлена на основе базисного учебного плана среднего (полного) общего образования.

При изучении курса математики на базовом уровне продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики» водится линия «Начала математического анализа».

В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи:

• 
  систематизация сведений о числах;
  
• 
  изучение новых видов числовых выражений и формул;
  
• 
  совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе и его применение к решению математических и нематематических задач;
  
• 
  расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей;
  
• 
  изучение свойств пространственных тел, формирование умения применять полученные знания для решения практических задач;
  
• 
  развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления;
  
• 
  знакомство с основными идеями и методами математического анализа.
  

Вступительное испытание проводится в форме компьютерного тестирования в течение 60 минут. Тест содержит 20 заданий, каждое из которых оценивается 5 баллов.
Основное содержание предмета «Математика»
Алгебра
Корни и степени. Корень степени n>1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразования простейших выражений, включающих арифметические операции, а также операцию возведения в степень и операцию логарифмирования. Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования простейших тригонометрических выражений. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период. Показательная функция (экспонента), её свойства и график. Логарифмическая функция, её свойства и график. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой x = y, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Начала математического анализа. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Понятие о непрерывности функции. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной. Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.

Уравнения и неравенства. Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных и тригонометрических уравнений. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических задач с применением вероятностных методов.
Геометрия
Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Расстояния от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур.

Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Примеры симметрий в окружающем мире. Сечения куба, призмы, пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере.

Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Координаты и векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.

Перечень примерных вопросов/заданий

для подготовки к сдаче вступительных испытаний

по предмету «Математика»

1. Корень степени n>1 и его свойства.

2. Степень с рациональным показателем и ее свойства.

3. Понятие о степени с действительным показателем.

4. Свойства степени с действительным показателем.

5. Логарифм.

6. Логарифм числа.

7. Основное логарифмическое тождество.

8. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию.

9. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.

10.Преобразования простейших выражений, включающих арифметические операции, а также операцию возведения в степень и операцию логарифмирования.

11. Основы тригонометрии.

12. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла.

13. Радианная мера угла.

14. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

15. Основные тригонометрические тождества.

16. Формулы приведения.

17. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.

18. Синус и косинус двойного угла.

19. Формулы половинного угла.

20.Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.

21.Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

22. Преобразования простейших тригонометрических выражений.

23. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

24. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

25. Область определения и множество значений.

26. График функции.

27.Построение графиков функций, заданных различными способами.

28.Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность.

29.Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума.

30.Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

31.Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции.

32.График обратной функции.

33.Степенная функция с натуральным показателем, её свойства и график.

34.Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков.

35.Графики дробно-линейных функций.

36.Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период.

37.Показательная функция (экспонента), её свойства и график.

38.Логарифмическая функция, её свойства и график.

39.Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой x = y, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

40.Понятие о пределе последовательности.

41.Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

42.Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей.

43.Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

44.Понятие о непрерывности функции.

45.Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной.

46.Уравнение касательной к графику функции.

47.Производные суммы, разности, произведения, частного.

48.Производные основных элементарных функций.

49.Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

50.Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной.

51.Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции.

52.Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница.

53.Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах

54.Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком.

55. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

56. Вторая производная и ее физический смысл.

57.Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств.

58. Решение иррациональных и тригонометрических уравнений.

59.Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных.

60.Равносильность уравнений, неравенств, систем.

61.Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными.

62.Решение систем неравенств с одной переменной.

63.Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств.

64.Метод интервалов.

65.Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

66.Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.

67.Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

68. Табличное и графическое представление данных.

69. Числовые характеристики рядов данных.

70. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества.

71. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений.

72. Решение комбинаторных задач.

73. Формула бинома Ньютона.

74. Свойства биномиальных коэффициентов.

75. Треугольник Паскаля.

76. Элементарные и сложные события.

77.Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события.

78.Понятие о независимости событий.

79.Вероятность и статистическая частота наступления события.

80.Решение практических задач с применением вероятностных методов.

81.Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство).

82. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.

83. Угол между прямыми в пространстве.

84. Перпендикулярность прямых.

85.Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства.

86.Теорема о трех перпендикулярах.

87.Перпендикуляр и наклонная.

88.Угол между прямой и плоскостью.

89.Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства.

90. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

91. Расстояния от точки до плоскости.

92. Расстояние от прямой до плоскости.

93. Расстояние между параллельными плоскостями.

94. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

95. Параллельное проектирование.

96. Площадь ортогональной проекции многоугольника.

97. Вершины, ребра, грани многогранника.

98. Многогранные углы.

99. Выпуклые многогранники.

100.Теорема Эйлера.

101.Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность.

102. Прямая и наклонная призма.

103. Правильная призма.

104. Параллелепипед.

105. Куб.

106.Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность.

107.Треугольная пирамида.

108.Правильная пирамида.

109.Усеченная пирамида.

110.Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

111.Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная).

112.Примеры симметрий в окружающем мире.

113.Сечения куба, призмы, пирамиды.

114.Правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

115.Цилиндр и конус.

116.Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию

117.Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере.

118.Понятие об объеме тела.

119.Отношение объемов подобных тел.

120.Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.

121. Формулы объема пирамиды и конуса.

122. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса.

123. Формулы объема шара и площади сферы.

124. Декартовы координаты в пространстве.

125. Формула расстояния между двумя точками.

126. Уравнения сферы и плоскости.

127. Формула расстояния от точки до плоскости.

128. Векторы.

129. Модуль вектора.

130. Равенство векторов.

131. Сложение векторов и умножение вектора на число.

132. Угол между векторами.

133. Координаты вектора.

134. Скалярное произведение векторов.

135. Коллинеарные векторы.

136. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

137. Компланарные векторы.

138. Разложение по трем некомпланарным векторам.

Рекомендуемая литература

1. 
   Дадаян А.А. Математика. – М.: Форум,2004.
   
2. 
   Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. - М.Просвещение 2004.
   
3. 
   Атаносян Я.С.Геометрия 10-11 – М.: Просвещение 2003,2004,2005,2006.
   
4. 
   Красс М.С. «Математика для экономических специальностей» -М.: Инфра-М,1998.
   
5. 
   Турецкий В.Я. Математика и информатика. - : Инфра-М,2004.
   
6. 
   Глухов М.М. Алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Гелиос АРВ, 2005.
   
7. 
   Единый государственный экзамен. Математика-2006, под редакцией М.: «Интеллект-Центр» 2006.