Работа №2 измерение ускорения свободного падения

РАБОТА № 2

ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

Приборы и принадлежности:	электромагнит, набор основных и добавочных грузов, машина Атвуда, электронный блок с источником питания, компьютер
Цель работы:	определение ускорения свободного падения.

ВВЕДЕНИЕ

Ускорение свободного падения g можно определить, измерив время падения t тела с высоты h. Как известно, эти величины связаны равенством

(1),

откуда:

(2).

Очевидно, что погрешность g будет определяться главным образом погрешностью измерения времени. Поэтому, чтобы погрешность была наименьшей, нужно использовать либо большие высоты (так действовал Галилей, измеряя время падения тел с высокой башни), либо уметь измерять времена падения с малой высоты, порядка 1 – 2 метров, с высокой точностью. Действительно, пусть высота падения h=1 м. Тогда время падения составит:

Следовательно, если мы хотим получить относительную погрешность измерения времени не выше 1%, мы должны измерять время с точностью порядка 0,005 с. Ясно, что для таких измерений необходимо применение автоматического секундомера соответствующей точности. Такой секундомер можно получить, используя обычный персональный компьютер, который позволяет производить отсчёты времени с точностью до 0,001 с. Именно таким способом измеряется время в данной работе.

Другая возможность определения g состоит в измерении времени движения двух связанных тел с различными массами. В этом случае можно заставить тела двигаться с малым ускорением, значительно меньшим g. Этот второй способ также описан в данной работе.

ИЗМЕРЕНИЕ g МЕТОДОМ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

Установка, на которой вы будете определять ускорение свободного падения, схематически изображена на рис. 1. На этом рисунке:

Рис. 1
М – электромагнит

Ш – стальной шарик

К – пара электрических контактов

ЭСУ – электронная схема управления

ПК – персональный компьютер

Работа сводится к измерению времени падения шарика Ш с высоты h. В начальный момент шарик удерживается электромагнитом. По команде компьютера электронная схема управления отключает электромагнит. В этот момент внутренний таймер компьютера начинает отсчёт времени падения шарика. В момент падения шарик замыкает контакты К, в результате чего электронной схемой управления вырабатывается сигнал для остановки таймера. Интервал времени между запуском и остановкой таймера компьютера определяется с погрешностью порядка 0,001 секунды, что обеспечивает достаточную точность измерений.

ИЗМЕРЕНИЕ g НА МАШИНЕ АТВУДА

Рис. 2
Машина Атвуда (см. рис.2) состоит из прикрепленного к стене металлического стержня, на верхнем конце которого имеется легкий алюминиевый блок Б, вращающийся с малым трением. Через блок перекинута тонкая нить с грузами одинаковой массы. Груз (шарик) Ш может удерживаться электромагнитом М. Масса другого груза может быть увеличена добавочным грузом (перегрузком). В этом случае система придет в движение с ускорением a<g. Измерив это ускорение, можно определить и ускорение свободного падения g. В самом деле, пусть масса перегрузка равна m₁. Так как нить нерастяжима, то величины ускорений обоих грузов будут одинаковы. Если, кроме того, пренебречь трением в оси блока Б и его инерционностью, то силы натяжения нити будут одинаковы слева и справа от блока. Тогда уравнения движения грузов будут следующими:

ma = T – mg

(m+m₁)a = (m+m₁)g – T,

где a – ускорение грузов, T – сила натяжения нити, m – масса каждого груза, m₁– масса перегрузка.

Складывая уравнения, найдем a :

(3).

Итак, если известно ускорение a, то из (3) можно найти ускорение свободного падения g.

Ускорение a можно определить, измерив время t, за которое груз Ш поднимется на высоту h:

(4).

Из (3) и (4) получаем выражение для

(5).

Соотношение (5) позволяет определить g по измеренным t и h.

Достоинство этого метода измерения g состоит в том, что время движения оказывается большим, порядка нескольких секунд, поэтому большая точность измерения времени здесь не нужна. Достаточно измерять время с точностью порядка 0,1 секунды, тогда при времени движения порядка 5-10 секунд получим относительную погрешность измерения времени порядка 1-2%.

Управление магнитом и измерение времени производятся также с помощью таймера компьютера, как и в первом методе.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Рис. 3
При использовании любого из описанных методов измерения g вам необходимо будет проделать ряд измерений времени движения для различных значений высоты h. Нахождение ускорения движения удобнее всего производить графическим методом. Суть метода состоит в использовании соотношения (4). Обозначим

тогда (4) запишется таким образом:

h=ax.

Если изобразить зависимость h от x графически, то получится прямая линия, угловой коэффициент наклона которой равен ускорению а (рис. 3). В реальном эксперименте вы получите систему точек, которые с определённой точностью должны располагаться вдоль прямой.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Включите компьютер и запустите программу «Секундомер». На экране появится стартовое окно программы (Рис.4).

Рис. 4

Нажмите кнопку ПУСК, после чего появится новое окно (Рис. 5). Введите в окно вашу фамилию и инициалы.

Рис. 5

Нажмите Ok, вызвав основное окно программы (Рис. 6).

Рис. 6

Дальнейшие действия опишем применительно к первому способу измерения g, для второго способа порядок действий тот же самый.

Установите электромагнит (см. рис. 1) на расстоянии 50 см от воронки с контактами. Закрепите его в этом положении. Поднесите к магниту шарик. Он должен притянуться магнитом. Если этого не происходит, проверьте, включено ли питание электромагнита. Для помощи в этих манипуляциях позовите лаборанта.
Запишите значение высоты в окно редактирования Высота. Вы это можете сделать либо с помощью кнопок со стрелками в этом окне, либо записав с клавиатуры в окно значение высоты.
Нажмите кнопку Старт. Питание магнита автоматически отключится, и шарик упадёт в воронку, замкнув контакты. Время падения отобразится в окошке справа. Вы можете записать этот результат в таблицу, нажав на кнопку Записать (эта кнопка станет активной после нажатия на кнопку Старт), либо не записывать этот результат и вновь повторить опыт, нажав на кнопку Повтор. Лучше всего несколько раз повторить опыт, наблюдая за его результатами, но, не записывая их в таблицу. При каждом опыте внимательно следите за ударом шарика о контакты в приёмной воронке. В идеале шарик должен падать точно в центр воронки, замыкая при ударе контакты. Однако, при неточном положении воронки относительно траектории падения шарика, он может несколько раз удариться о стенки воронки, прежде чем замкнёт контакты (будет дребезжать). В результате дребезга шарика измеренное время может оказаться заметно больше истинного времени падения. Для исключения такой ошибки вы и должны убедиться в надлежащей точности ваших измерений. Если вы видите, что шарик падает не в центр воронки, то слегка сдвиньте её в сторону падения шарика, чтобы добиться падения шарика в центр. Чем точнее установлена воронка, тем меньшее время будет измерено таймером. Добившись нужного положения воронки, проделайте 5 измерений времени падения, не меняя высоты h. Записывайте ваши результаты в таблицу, нажимая кнопку Записать.
Как только будет записано пятое измерение, так в следующие две нижние ячейки таблицы будут занесены среднее значение измеренного времени падения <t> и погрешность измерения t (в окне программы обозначено как Dt).
Если какой-либо из полученных и записанных в таблицу результатов вас по какой-либо причине не устраивает, и вы хотели бы повторить это измерение, то вы должны:

щёлкнуть на той ячейке таблицы, где записан этот результат,
повторить измерение, нажав Повтор, затем Старт, и записать результат, нажав кнопку Записать,
продолжить измерения, щёлкнув на той ячейке, в которую следует занести результат очередного измерения.

Передвиньте магнит в новое положение, установив высоту h = 80–90 см. Запишите в окошке Высота это новое значение высоты h. Повторите опыт, обеспечив сначала необходимую точность.
Проделайте последующие опыты, каждый раз увеличивая высоту на 30-40 см.
Когда все ячейки таблицы будут заполнены, активизируется кнопка График. Нажав её, вы увидите в правой части рабочего окна программы, там, где был портрет Г. Галилея, график (см. Рис. 7). На этом графике будут изображены точки с координатами (<x_i>,h_i) и прямая, проведённая по этим точкам (не забудьте, что ).
Одновременно с этим результаты сохранятся в файле Секундомер.bmp, который находится на Рабочем столе Windows.

Рис. 7

Распечатайте ваши результаты, нажав кнопку Печать.
Если печать по какой-либо причине невозможна, то вы можете распечатать файл Секундомер.bmp позже, с помощью любого графического редактора.
Предъявите результаты лаборанту или преподавателю для проверки.
Рис. 8
По наклону графика определите величину ускорения свободного падения g.
Для оценки погрешности определения g необходимо найти погрешность в определении углового коэффициента наклона графика. Для этого можно поступить следующим образом. Изобразите на графике в виде горизонтальных отрезков ошибки измерений x_i, отложив эти отрезки вправо и влево от соответствующих значений x_i^¹. Вы получите картину, типа изображенной на рис. 8.

Проведите на графике еще одну прямую через точки (x₁ x₁) и (x₅+x₅) и определите ее угловой коэффициент наклона g₁. Разность g=|<g>–g₁| можно принять в качестве погрешности определения величины g. Можно оценить, разумеется, g, если провести прямую через точки x₁+x₁ и x₅–x₅ и в качестве g взять разность g=|<g>–g₂|, где g₂ –угловой коэффициент наклона этой прямой. Если вы верно нашли <g>, то определение g и первым и вторым способом даст величины одного порядка. Запишите результаты эксперимента в виде

Мы в наших рассуждениях не учитывали погрешность в определении высоты. Строго говоря, её следует учесть, однако, большого смысла в этом нет, т.к. вы измеряете высоту с погрешностью не более 1 см, что составляет относительную погрешность не более 1-2%. Погрешность же в определении времени того же порядка или более. Таким образом, порядок величины погрешности g можно оценивать лишь по величине погрешности времени.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какими процессами может определяться наличие погрешности измерения времени, если таймер компьютера работает с точностью 0,001 с? Иными словами, откуда при такой точности измерения времени может появиться ошибка?
Надо ли учитывать сопротивление воздуха при падении шарика? При падении с какой высоты сила сопротивления воздуха будет играть роль? Надо ли было Галилею учитывать силу сопротивления воздуха, если он производил свои опыты, бросая тела с Пизанской башни, высота которой порядка 50 м?
Как влияют на результаты определения g на машине Атвуда сила трения и инерция блока?
Что нужно делать для уменьшения влияния сил трения и инерционности блока – уменьшать или увеличивать массу перегрузка m₁?
Как оценить пределы, в которых должна находиться масса перегрузка m₁, с тем, чтобы точность измерения была наибольшая?

1 Как связаны погрешности t и x смотрите в разделе сборника ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ