Как рассказывает В. Латышев, «Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на вопрос: «Верна ли великая теорема Ферма?». Не находит его и дьявол, изучив за 10 часов все без исключения разделы математики и потратив остаток времени на собственные изыскания, он, за 10 минут до истечения срока, появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает... Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос».
В действительности, однако, все было несколько иначе. Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма». С этими словами дьявол достал из кармана аккуратно сложенный лист бумаги и протянул его ученому. Флэгг уселся поудобнее в кресло у камина и стал читать.
«Пусть имеется три целых числа, удовлетворяющих уравнению:
|
zn = xn + yn |
(1) |
Известно, что три числа, удовлетворяющих уравнению (1), должны удовлетворять следующим условиям:
-
одно из чисел, например, z, должно быть четным, два других – нечетными; -
числа должны быть взаимно простыми, т.е. попарно не должны иметь общих множителей; -
никакие два числа не могут быть равны друг другу.
Предположим для определенности, что z > x > y.
Очевидно, что число z меньше суммы двух других чисел, т.е.
|
z < x + y |
(2) |
Пусть имеется три отрезка длиной z, x, y, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Известно, что треугольник, между сторонами которого имеет место соотношение (1), при n > 2 остроугольный.
Тогда для сторон этого треугольника имеет место соотношение, вытекающее из теоремы косинусов:
z2 = x2 + y2 – 2xycosα:
где α – угол между сторонами x и y.
Построим остроугольный треугольник ABC со сторонами AB = x, BC = y, AC = z. Опустим из точки A остроугольного треугольника ABC перпендикуляр на противолежащую сторону BC, как это изображено на рисунке.
Рис. 1. Остроугольный треугольник
Из треугольника BC1C находим cosα = m1 / BC = m1 / y. Подставляя значение cosα в (2), получим:
z2 = x2 + y2 – 2xym1 / y
|
z2 = x2 + y2 – 2xm1 |
(3) |
Таким образом, для одного и того же треугольника одновременно имеем два различных соотношения между его сторонами: (1) и (3). Тогда суть теоремы может быть выражена иначе: Требуется доказать, что никакие целочисленные решения уравнения (3) не являются таковыми для уравнения (1).
Умножим уравнение (3) на zn–2. Получим:
|
zn–2z2 = zn–2x2 + zn–2y2 – 2xzn–2m1 |
(4) |
Пусть zn–2 = xn–2 + a = yn–2 + b, где a и b – некоторые целые числа, обеспечивающие указанные равенства. Тогда, подставляя значение zn–2 в (4), получим:
zn = (xn–2 + a) x2 + (yn–2 + b) y2 – 2x(xn–2 + a)m1
|
zn = xn + ax2 + yn + by2 – 2x(xn–2 + a)m1 |
(5) |
Вычитая (1) из (5), получим:
|
0 = ax2 + by2 – 2x(xn–2 + a)m1 |
(6) |
Таким образом, если при каких-либо целочисленных значениях чисел x и y уравнение (6) окажется равным нулю, то решение этого уравнения (т.е. значения чисел x и y) будет одновременно решением уравнения (1).
Решая данное уравнение, получим:
by2 = 2x(xn–2 + a)m1 – ax2
by2 = x[2(xn–2 + a)m1 – ax]
Запишем для простоты вычислений 2(xn–2 + a)m1 – ax = k. Получим:
by2 = kx,
откуда следует:
y = √kx/b,
т.е. √x является одним из множителей числа y.
Таким образом, целочисленные решения уравнения (6) оказываются возможными только при условии, что √x является одним из множителей числа y, что противоречит начальным условиям задачи. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (6) не может быть равно нулю. Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (5) не может быть преобразовано в уравнение (1). Следовательно, ни при каких значениях чисел x и y, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (1) не может иметь каких-либо целочисленных решений. Это значит, что в остроугольном треугольнике, между сторонами которого имеет место соотношение (1), по крайней мере, одна из сторон не может быть выражена никаким целым числом. Что и требовалось доказать».
Флэгг задумался на мгновенье и неожиданно швырнул бумагу прямо в огонь. «Зачем Вы это сделали?» – воскликнул дьявол. «Я нахожу, что слишком дешево продал свою душу. Так пусть же никто больше не воспользуется этим доказательством!» – ответил Флэгг.
«В самом деле», подумал дьявол, «пусть математики еще поломают головы над доказательством этой теоремы».