Flatik.ru

Перейти на главную страницу

Поиск по ключевым словам:

страница 1
Нули аналитической функции

Пример. 1. Определить порядок нуля в точке z = 0 функции

f(z) =
Решение

1. Чтобы определить порядок нуля z = 0, разложим функцию f(z)в ряд Тейлора по степеням z

= =


2. Поскольку в полученном разложении коэффициенты = = 0, а = 1/2¹0, точка z = 0 — нуль 2 – го порядка функции f(z).

Ответ: точка z = 0 — нуль 2 – го порядка функции f(z).
Пример. 2. Найти все нули функции

f(z) =


и определить их порядок.
Решение

1. Находим нули функции f(z), разложив многочлен на множители

f(z) =

Получаем

= i, = – i, = 1+i, = 1 – i.

2. Определяем порядок каждого нуля:

Представим f(z) в виде

f(z) =,


где = и ¹0. Согласно формуле (2), = i — нуль 4 – го порядка функции f(z).

Представим f(z)в виде

f(z) =

где = и ¹0. Согласно формуле(2), = – i — нуль 4 – го порядка функции f(z).

Представим f(z) в виде

f(z) = (z – (1 – i)),

где = и ¹0. Согласно формуле (2), = 1 – i — нуль 1 – го порядка (простой нуль) функции f(z).

Представим f(z) в виде

f(z) = (z – (1+i)),

где = и ¹0. Согласно формуле (2), = 1+i нуль 1 – го порядка(простой нуль) функции f(z).



Ответ:

точка = i — нуль 4 – го порядка функции f(z),

точка = – i — нуль 4 – го порядка функции f(z),

точка = 1+i — нуль 1 – го порядка функции f(z),

точка = 1 – i — нуль 1 – го порядка функции f(z).
Пример. 3. Найти нули функции

f(z) = 1+ch z



и определить их порядок.
Решение

1. Находим нули аналитической функции f(z), решая уравнение

1+ch z = 0.

Поскольку ch z = cos iz, имеем уравнение для определения нулей

cos iz = – 1.

Отсюда


= pi(2k+1), kÎZ.

2. Находим производные заданной функции и их значения в точках :

f'(z) = sh z,

f''(z) = ch z

= shpi(2k+1) = 0,

f''(z\s( ,k)) = chpi(2k+1) = – 1¹0.

Так как = = 0 и ¹0, то = ip(2k+1)являются нулями 2 – го порядка функции f(z) = 1+ch z.

Ответ: точки = ip(2k+1) — нули 2 – го порядка функции f(z).
Пример. 4. Определить порядок нуля функции

f(z) = EQ (e – 1 – z)sin z

в точке z = 0.
Решение.

1. Функция задана в виде произведения двух функций: EQ f(z) и EQ f(z), где

EQ f(z) = EQ e – 1 – z

EQ f(z) = EQ sin z.

2. Для первого сомножителя EQ f(z) вычисляем порядок нуля z = 0. Разложим EQ f(z) в ряд Тейлора, используя табличное разложение

EQ e = EQ \i\su(,, \f(z,n!))

Получаем

EQ f(z) = EQ e – 1 – z = EQ 1+z+ \f(z,2!) + \f(z,3!) +·... – 1 – z = EQ \f(z,2!) + \f(z,3!) + \f(z,4!)+...

Следовательно, z = 0 является нулем 4 – го порядка функции EQ f(z).

Точка z = 0 — нуль первого порядка функции sin z, так как EQ (sin z)'| = cos 0 = 1¹0. Поэтому z = 0 — нуль 5 – го порядка функции EQ f(z) = EQ sin z (см. замечание).

4. Поскольку EQ f(z) = EQ f(z)·f(z), точка z = 0 является нулем 9 – го порядка функции f(z) (см. замечание).

Ответ: точка z = 0 является нулем 9–го порядка функции f(z).
Пример. 5. Найти нули функции

f(z) = EQ \f(sin z,z)



и определить их порядок.
Решение

1. Функция

f(z) = EQ \f(sin z,z)

аналитическая для"z¹0 (f(z) не определена в точке z = 0). Находим нули функции, решая уравнение f(z) = 0 (z¹0).

Получаем

EQ z = pk, k = ±1, ±2, ±3, ....

Эти точки простые нули функции sin z, а поэтому нули 4–го порядка для функции EQ sin z. Поэтому для каждого нуля EQ z можно записать

EQ sin z = EQ (z – z)·(z) EQ (z)0

и, следовательно,

EQ \f(sin z,z) = EQ (z – z) \f((z),z) = EQ (z – z)·(z) EQ (z)0



Из этого заключаем, что точки EQ z = pk, k = ±1,±2,±3,... являются нулями 4 – го порядка функции f(z).

Ответ: точки EQ z = pk, (k = ±1, ±2, ±3, ...) — нули 4 – го порядка функции f(z).

Решение Чтобы определить порядок нуля z = 0, разложим функцию f(z)в ряд Тейлора по степеням z = =

Поскольку в полученном разложении коэффициенты = = 0, а = 1/2¹0, точка z = 0 — нуль 2 – го порядка функции f(z)

35.58kb.

12 09 2014
1 стр.


Формула тейлора. Вывод формулы тейлора

Если функция y=f(x) имеет в точке Х0 производную, то ее приращение можно представить в виде

81.21kb.

12 10 2014
1 стр.


1; Формула Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора

Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегралы группы четырех

42.85kb.

12 10 2014
1 стр.


Решение для косбазов дающее ненулевые спики. 2 Введение оператора спина. 2 Спин поля из пространства степени

В части 4 пункте 4 рассмотрено простейшее решение когда спики равны нулю. Теперь же рассмотрим случай когда косбазы в искривленном w не зависят от координат. Тогда зависят от коорд

33.77kb.

10 10 2014
1 стр.


Решение пункта d ( Основной скрипт программы)

Нужно что бы нормаль практически исходила из нуля, наверное, нужно изменить шаг. Не знаю, но это требование преподавателя

43.26kb.

05 09 2014
1 стр.


Решение квадратных неравенств графическим способом

Рассмотрим функцию, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх, т к

54.56kb.

23 09 2014
1 стр.


Руководство по эксплуатации гси зао "геостроиизыскания"

Символ вертикального угла sef указывается на месте вертикального отсчета, пока зрительная труба не пройдет через место нуля горизонтальной оси. Эта процедура устанавливает место ну

335.43kb.

13 10 2014
1 стр.


Изменяются ли Хартлэнд и Римлэнд в результате операции в Афганистане

Южная дуга Евразии тогда приобрела важную дуальную функцию: первая функция состояла в том, чтобы служить удобной платформой для угрозы Британской Индии; вторая функция заключалась

211.62kb.

15 12 2014
1 стр.