Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса. Ранг матрицы. Теорема Кронекера Капели

Программа профильного собеседования по направлению магистратуры
«Математика»

Определители. Их свойства и вычисление.
Матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица.
Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса.
Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капели.
Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения. Достаточные условия приводимости матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Базис. Аффинные и прямоугольные системы координат.
Скалярное произведение и его свойства.
Векторное и смешанное произведения. Их свойства.
Прямая на плоскости.
Прямая и плоскость в пространстве.
Кривые второго порядка. Их приведение к каноническому виду (без доказательства).
Поверхности второго порядка.
Предел последовательности. Свойства пределов. Число е.
Предел функции. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций.
Непрерывность функций. Точки разрыва. Свойства непрерывных функций.
Производная и дифференциал. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Роля, Лагранжа, Коши.
Раскрытие неопределенностей по методу Лопиталя.
Формула Тейлора.
Возрастание и убывание функций. Условия экстремума. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.
Неопределенный интеграл и первообразная. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
Определенный интеграл. Достаточные условия интегрируемости. Свойства определенного интеграла. Формула среднего значения.
Формула Ньютона—Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Функции нескольких переменных и их геометрическое представление. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
Частные производные и дифференциал функций нескольких переменных. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент. Производная неявной функции.
Касательная к неявной кривой. Касательная плоскость к поверхности.
Частные производные и дифференциалы высших порядков для функций нескольких переменных. Формула Тейлора.
Экстремумы функций нескольких переменных.
Двойной интеграл. Его геометрический смысл. Сведение двойного интеграла к повторному.
Геометрические и физические приложений двойных интегралов.
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Формула Грина и условия независимости криволинейного интеграла от пути.
Тройные интегралы.
Поверхностные интегралы.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Общее и частное решения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Определитель Вронского.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Метод вариации постоянных. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Подбор частного решения.
Числовые ряды, сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Признак сравнения рядов с положительными членами. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора.
Ряды Фурье.
Частота события и вероятность. Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Условные вероятности. Независимые события. Формула полной вероятности и формула Байеса.
Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Предельные теоремы Пуассона и Лапласа (локальная и интегральная).
Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Равномерное и нормальное распределения.
Системы случайных величин. Независимые случайные величины. Совместное распределение случайных величин. Ковариация.
Выборки и их описание. Вариационный ряд. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Эмпирические оценки параметров распределения.