Мы знаем, что ряд Маклорена функции
имеет вид
.
Для того чтобы находить ряды Маклорена различных функций, нужно уметь вычислять их производные. Проще всего вычисляются производные функции
.
Ряд Маклорена функции
. Все производные функции 
равны и, значит,
при любом
. Поэтому ряд Маклорена для выглядит следующим образом
.
При
эта формула дает следующее представление для числа 
.
Ряд Маклорена функции
. Производные косинуса тоже легко вычисляются – это
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
–1 |
0 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
1 |
Мы видим, что значения производных при 
периодически повторяются (с периодом 4), и можем записать ряд Маклорена для косинуса
.
Ряд Маклорена функции
. Производные синуса тоже легко вычисляются – это
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
1 |
Мы видим, что значения производных при тоже периодически повторяются, и можем записать ряд Маклорена для синуса
.
Его первые шесть слагаемых дают следующую картинку. На отрезке 
отличие от синуса меньше, чем 10–11.
Ряд Маклорена степени
. Здесь производные тоже легко вычисляются, это –
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Значит,
.
Вот важные частные случаи
Ряд Маклорена функции
. Здесь
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
–1 |
2 |
–3! |
|
|
Отсюда
.