4 класс

1. 
   На собачью выставку привели 101 далматинца. У 56 из них есть черное пятно на левом ухе, а у 65 есть пятно на правом ухе, а у 29 - уши белые. У скольких собак пятна на обоих ушах?
   

2. 
   В суде судят Питера, Бена и Рауля. Известно, что один из них украл бочку. Вот, что они говорили на суде:
   Питер: «Бочку украл Бен».
   Рауль: «Бен не крал бочку».
   Бен: «Бочку украл я».
   Известно, что правду сказал только один, и это был не вор. Кто же украл бочку?
   

3. 
   Петя и Катя живут в одном доме, на каждом этаже которого расположено 4 квартиры, а в каждом подъезде одинаковое число этажей. Петя живет на 5 этаже в квартире №83, а Катя - на З этаже в квартире №169. Сколько этажей в доме? Какой номер подъезда у Кати? 
   

4. 
   Есть 6 карточек с цифрами 1,2,3,4,5 и 6. Используя их, можно составить два трехзначных числа, например, 645 и 321. Вася составил эти числа так, что их разность оказалась самой маленькой из всех возможных. Чему равна эта разность? 
   

5. 
   Разрезать квадрат на 6, 7, 8, 9 и 10 квадратов. 
   

Квадраты 6, 7, 8, 9 уонна 10 квадраттарга араар.

Ответ: Достаточно показать.

1. 
   Каждый из 9 сидящих за круглым столом сказал: «Мои соседи – лжец и рыцарь». Кто за столом, если рыцари говорят только правду, а лжецы - всегда лгут?
   
2. 
   Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?
   
3. 
   Начнем считать пальцы на руке следующим образом: пусть 1-м будет большой, 2-м – указательный, 3-м – средний, 4-м – безымянный, 5-м – мизинец, 6-м – снова безымянный, 7-м – средний, 8-м – указательный, 9-м – большой, 10-м – указательный и т.д. Какой палец будет 2009-м?
   
4. 
   Квадратный кусок бумаги со стороной 0,5 м разрезают на квадраты площадью 25 квадратных сантиметров. Каждый квадрат разрезают на 4 треугольника. Сколько получится треугольников?
   
5. 
   Группа туристов должна прибыть на вокзал в 5 ч. К этому времени с турбазы за ними должен был прибыть автобус. Однако, прибыв на вокзал в 3ч15мин, туристы, не ожидая автобуса, пошли пешком на турбазу. Встретив по дороге автобус, они сели в него и прибыли на турбазу на 15мин раньше предусмотренного времени. С какой скоростью шли туристы до встречи с автобусом, если скорость автобуса 60 км/ч?
   

1. 
   Тегурук остуол тула олорор 9 киьиттэн хас биирдиилэрэ: «Мин аттыбар сымыйаччы уонна кырдьыксыт олороллор» диэн кэпсиир. Остуол Тула кимнээх олороллорун быьаар.
   
2. 
   Кыьыл, хара, халлаан куех уонна от куех шариктары кэккэлэьиннэрэ араастаан хаста ууруохха себуй?
   
3. 
   Илиибитигэр тарбахтарбытын маннык аа5ан керуеххэ: 1-нан – тойон эрбэх, 2-нэн – семуйэ, 3-нэн – ортоку Тарбах, 4-нэн – аата суох, 5-нэн – ылгын чыныйа, 6-нан – эмиэ аата суох, 7-нэн – ортоку, 8-нан – семуйэ, 9-нан – тойон эрбэх, 10-нан – эмиэ семуйэ,.. Онтон сал5ыы итинник бэрээдэгинэн бара турдахха 2009-с миэстэ5э ханнык тарбахпыт тубэьэрий?
   
4. 
   0,5 м еруттээх квадрат быьыылаах кумаа5ыны 25 квадратнай сантиметр иэннэрдээх тэн квадраттарга кырыйталаабыттар.Олору барыларын 4-туу ус-муннуктарга быстахтарына хас иус-муннук буолуой?
   
5. 
   Туристары 5 чааска вокзалтан автобус турбаза5а илдьээри ыла кэлэригэр баар буолуохтаахтар эбит. Онуоха кинилэр 3ч 15 мун вокзалга кэлэн баран 5 чааьы кэтэспэккэ автобустарыгар утары сатыы бара турбуттар. Аара суолга автобустарын керсен олорсубуттар уонна турбазаларыгар тиийиэхтээх бириэмэлэриттэн 15 мун иннинэ кэлбиттэр. Автобус тургэнэ 60 км/ч буолла5ына сатыы теье тургэннээхтик хаампыттарый?
   

1. 
   ОТВЕТ: Либо все лжецы, либо 3 лжеца и 6 рыцарей.
   
2. 
   ОТВЕТ: 24.
   
3. 
   ОТВЕТ: Большой. Пальцы будут повторяться с периодом 8, поэтому достаточно рассмотреть остаток от деления на 8, т.е. 2009=251*8+1. Восьмым идет указательный палец, а следующим будет большой.
   
4. 
   ОТВЕТ: 400.
   
5. 
   ОТВЕТ: 5 км/ч. Т.к. на турбазу автобус прибыл на 15 мин раньше, то от места встречи его с туристами до вокзала он должен был ехать 1/8 ч (15 мин:2=7,5 мин=1/8 ч). За это время он проедет 7,5 км (60:8=7,5), а это значит, что туристы шли пешком 7,5 км. Такое расстояние они прошли за 1,5 ч (5-3,25=1,75; 1,75 – 0,25=1,5). Значит, их скорость 5 км/ч (7,5:1,5=5)
   

1. 
   Коробка яблок стоит 20 евро, коробка груш – 30 евро, коробка слив – 40 евро. Имеется 8 коробок фруктов общей стоимостью 230 евро. Сколько из них, самое большее, содержат сливы?
   
2. 
   За последние пять лет было награждено 27 работников предприятия. Причем в каждом последующем году награждалось больше, чем в предыдущем. В последний год было награждено в 3 раза больше, чем в первый. Сколько работников было награждено в третий год?
   
3. 
   Куб, длина ребра которого 0,5м, разрезан на кубики, ребро каждого из которых 2 мм. Полученные кубики выложили в один сплошной ряд. Какова длина этого ряда?
   
4. 
   Можно ли расставить по окружности 20 красных и несколько синих кубиков так, чтобы в каждой точке, диаметрально противоположной красному кубику, стоял синий и никакие два синих кубика не стояли рядом?
   
5. 
   Сто учеников, у каждого из которых на майке был номер, встали по окружности в такой последовательности своих номеров: 1, 2, 3, … , 100. По команде стали выходить так: с номером 1 на майке остается, с номером 2 выходит, с номером 3 остается, с номером 4 выходит и т.д. через одного по окружности до тех пор, пока не остался один ученик. Какой номер на майке у этого ученика?
   

1. 
   Дьааьыктаах яблоко сыаната 20 евро, дьааьыктаах груша – 30 евро, дьааьыктаах слива – 40 евро эбиттэр. Барыта 230 евро сыаналаах 8 дьааьык фрукта баар. Саамай элбээбитэ хас дьааьык слива баар буолуон себуй?
   
2. 
   Ааспыт 5 сылга тэрилтэттэн 27 киьи на5араадаламмыт. Хас сыл аайы инники сыллаа5ар элбэх киьи на5араада5а тиксибит. Бутэьик сылга бастакытаа5ар 3 тегул элбэх киьи на5араадаламмыт буолла5ына, уьус сылга хас киьини на5араадалаабыттарый?
   
3. 
   0,5 м еруттээх кубигы 2 мм еруттээх кубиктарга эрбээбиттэр уонна субуруччу биир эрээккэ уурталаабыттар. Теье уьуннаах эрээт буолбутуй?
   
4. 
   20 кыьыл уонна хас да халлаан куе5э дьуьуннээх кубиктары тегуруччу хас кыьыл кубик утары халлаан куех тубэьэрин курдук уонна икки халлаан куех кубиктар кэккэлэьэ турбаттарын курдук уурталыахха син дуо?
   
5. 
   Суус о5о маайкаларыгар баар 1, 2, 3, …, 100 диэн нуемэрдэринэн тегуруччу утуу –субуу турбуттар. Хамаанда бэриллибитигэр №1-дээх о5о хаалбыт, №2-дээх о5о туораабыт, №3 дээх о5о хаалбыт, №4-дээх о5о тахсыбыт… Ити курдук биир о5о кете-кете уочаратынан тахсан испиттэр. Бутэьик хас нуемэрдээх маайкалаах о5о хаалбытый?
   

1. 
   ОТВЕТ: 30
   
2. 
   ОТВЕТ: 5. Если в 1-й год награждено х работников, то в последний 3х, а за эти два года 4х. Подбором выясняем, что х=1 и х=2 не подходят, т.к. в каждом последующем году число награжденных увеличивается. Подходит х=3. Значит, в 3-й год награждено 5 работников.
   
3. 
   ОТВЕТ: 31км 250 м
   
4. 
   ОТВЕТ: невозможно. По условию задачи против красного кубика стоит синий, это значит, что синих тоже 20, причем цвет кубиков должен чередоваться. На полуокружности между красным и противоположному ему синему стоят 19 кубиков, значит, крайние из этих 19 кубиков – одноцветны, а они должны быть разноцветными, как соседние – одна – с красным, другой – с синим. Следовательно, такая расстановка невозможна.
   
5. 
   ОТВЕТ: 73. Когда выйдут с четными номерами, останется 50 учеников с нечетными номерами. Дальше выходят с номерами 3, 7, 11, …, 97. После чего останется 25 учеников. Т.к. 97=1+96= 1+4*(25-1), т.е. остаются номера 1, 5, 9, 13, …, 97. Дальше выходят номера 5, 13, … При этом выйдут 12 учеников, последний из которых имеет номер 93, т.к. 93= 5+8*(12-1), а останется 13. Их номера: 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97. Выходят 1, 17, 33, 49, 65, 81, 97. Дальше – 25, 57, 89, а затем 41 и 9. Остается 73.
   

1. Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

2. Вася и Митя играют в «морской бой» на поле размером 8 8 по следующим правилам. Митя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не соприкасались (даже углами). Каждым ходом Вася называет одну из клеток поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается уничтоженным. Докажите, что независимо от расстановки кораблей Вася за 4 хода сможет уничтожить хотя бы один корабль.

3. На каждом километре между селами Уолба и Баяга стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до села Уолба, на другой – расстояние до села Баяга. Останавливаясь у каждого столба, Сындыыс заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.

4
12 мм

3 мм
.Из 50 звеньев, одно из которых изображено на рисунке, просвет звена

равен 12 мм, а толщина звена 3мм. Какова длина цепи?

5. В сентябре Петя и Степа ходили на уроки музыки: Петя – по числам. кратным 4, а Степа – по числам, кратным 5. В спортивную секцию оба ходили по числам. кратным 7. Остальные дни провели на рыбалке. Сколько дней провели ребята на рыбалке?
Ответы и решения:

7 класс

1. 
   На тридцать седьмое место. Выясним, сколько мест могло быть в первом ряду. Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест. Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.
   
2. 
   Разрежем поле для игры на 16 квадратов размером 2 2. Заметим, что в каждом таком квадрате не может стоять более одного корабля (иначе корабли будут соприкасаться). Так как всего кораблей 16, то в каждом квадрате должен стоять корабль. Таким образом, Васе достаточно полностью «расстрелять» один из этих квадратов.
   
3. 
   49 км. Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров, так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0, то есть, сумма цифр будет больше 13. На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9, поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы). Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9. Числа 9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.
   
4. 
   606 мм.
   
5. 
   15.
   

1. На каждом километре между селами Томтор и Хочо стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние доТомтор, на другой – расстояние до Хочо. Гуляя по этой дороге, Аргыс для каждой таблички подсчитал наибольший общий делитель записанных на ней чисел. Оказалось, что среди полученных им чисел встретились только 1, 3 или 5 (каждое хотя бы по одному разу). Найдите расстояние между селами.

2. Двое играют в крестики-нолики на бесконечном листе клетчатой бумаги. Побеждает тот, кто первым сумеет поставить пять одинаковых значков подряд (по горизонтали или вертикали). Докажите, что второй может играть так, чтобы не проиграть.

3. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 32 градуса. Найти угол между основанием этого треугольника и высотой треугольника, проведенной из вершины угла при основании.

4. В некоторой стране 30 городов, причем каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый?

5. Пешеход, идущий к поезду, пройдя за первый час 3,5 км, рассчитал, что, двигаясь с такой скоростью, он опоздает на 1 час. Поэтому, он остальной путь проходит со скоростью 5 км/ч и приходит за 30 мин до отхода поезда. Определить, какой путь должен был пройти пешеход?

1. Из условия следует, что расстояние между селами должно делится на 3 и на 5. Значит, оно делится на 15. Если бы расстояние было больше 15, то числа, записанные с двух сторон на каждом пятнадцатом столбе, делились бы на 15, то есть, среди наибольших общих делителей встретилось бы и число 15.

2.Можно.

Разобьем лист на прямоугольники размером 2 1 так, как показано на рисунке. Заметим, что в любом горизонтальном или вертикальном прямоугольнике размером 5 1 обязательно содержится один из прямоугольников разбиения. Поэтому, второму достаточно ставить нолик в тот же прямоугольник 2 1, в который первый поставил крестик. Тогда пяти крестиков подряд не получится.

3. 74 град.

4. 30х29/2-29=406.