Тесты на Гетероскедастичность

Н₀: гомоскедастичность

Н1: гетероскедастичность

Тест Голдфельда-Квандта

1. 
   Оцениваем регрессию _i = ₁ + ₂*X_i2 + … +_k*X_ik по всем имеющимся наблюдениям.
   
2. 
   Строим и анализируем график остатков. Может появиться предположение о том, что дисперсия возмущений увеличивается с некоторой переменной - X_j.
   
3. 
   Упорядочиваем все наблюдения по модулю переменной X_j, начиная с ее наименьшего значения и заканчивая наибольшим.
   
4. 
   Выкидываем m центральных переменных, а по первым n₁ и по последним n₂ наблюдениям оцениваем регрессию из (1). Обычно, если количество наблюдений велико, то m=n₁=n₂.
   
5. 
   Для регрессий по n₁ и n₂ наблюдениям получаем, соответственно, RSS₁ и RSS₂.
   
6. 
   Составляем F-статистику:
   

F_n1-k,n2-k = .

7. 
   Если F_n1-k,n2-k>F_крит, то гипотеза о гомоскедастичности отвергается, следовательно, в модели присутствует гетероскедастичность.
   

Тест Глейзера

1. 
   Строим уравнение регрессии _i = ₁ + ₂*X_i2.
   
2. 
   Для уравнения регрессии из (1) находим ряд остатков e_i=Y_i - _i.
   
3. 
   Оцениваем следующие модели:
   

|e_i| = α + β*X_i + ε_i;

|e_i| = α + β* + ε_i;

|e_i| = α + β*+ ε_i;

|e_i| = α + β* + ε_i.

4. 
   Для каждой из 4ех моделей тестируем значимость коэффициента β.
   

Н_о: β = 0

Н₁: β ≠ 0

5. 
   Если хотя бы в одной модели коэффициент β оказался значимым, то в модели присутствует гетероскедастичность. Если во всех моделях коэффициент β оказался незначимым, то имеет место гомоскедастичность.
   

Тест Бройша – Пагана

Пусть σ_i² = β₁ + β₂*Z_i2 +…. β_m*Z_im + ε_i

1. 
   Строим уравнение регрессии _i = ₁ + ₂*X_i2 + … +_k*X_ik.
   
2. 
   Для уравнения регрессии из (1) находим ряд остатков e_i=Y_i - _i.
   
3. 
   Находим оценку дисперсии случайного члена = .
   
4. 
   Создаем ряд p_i = e_i² / .
   
5. 
   Строим регрессию p_i = α₁ + α₂*Z_i2 +…. α_m*Z_im + ε_i.
   
6. 
   Для регрессии из (5) находим статистику χ²_m-1 = ESS/2.
   
7. 
   Если χ²_m-1 > χ²_крит, то гипотеза о гомоскедастичности отвергается, следовательно, в модели присутствует гетероскедастичность.
   

Тест Уайта

1. 
   Строим уравнение регрессии _i = ₁ + ₂*X_i2 + … +_k*X_ik.
   
2. 
   Для уравнения регрессии из (1) находим ряд остатков e_i=Y_i - _i.
   
3. 
   Оцениваем следующая регрессия = ₁ + ₂*X_i2 + … +_k*X_ik + _k+1* X_i2²+…+_2k-1*X_i2k-1² + .
   
4. 
   Получаем R² для регрессии из (3)
   
5. 
   Строим статистику χ²_m-1 = n* R², где
   

n – количество наблюдений,

m – количество параметров в модели (3)

6. 
   Если χ²_m-1 > χ²_крит, то гипотеза о гомоскедастичности отвергается, следовательно, в модели присутствует гетероскедастичность.
   

Тест Парка

1. 
   Строим уравнение регрессии _i = ₁ + ₂*X_i2 + … +_k*X_ik.
   
2. 
   Для уравнения регрессии из (1) находим ряд остатков e_i=Y_i - _i.
   
3. 
   Выбираем фактор пропорциональности и оцениваем вспомогательную регрессию
   

ln(e_i²) = α₁ + α₂*Z_i + ε_i

4. 
   Проверяем значимость α₂. Если коэффициент значим, то в модели присутствует гетероскедастичность.