5-9э. Импульс тела изменился под действием короткого удара и стал равным , как показано на рисунке. В каком направлении действовала сила?

а) 1

б) 2

в) 3

г) 4


5-10э. Импульс тела изменился под действием короткого удара и скорость тела стала равной , как показано на рисунке. В каком направлении могла действовать сила?

а) 2, 3, 4 б) 1 в) только 4 г) 1, 2

5-11э. Теннисный мяч летел с импульсом в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью 0,1 с. Изменившийся импульс мяча стал равным (масштаб указан на рисунке). Найти среднюю силу удара.

а)30 Н б) 5 Н в) 50 Н

г) 0,5 Н д) 0,1 Н


5-12э. Теннисный мяч летел с импульсом (масштаб и направление указаны на рисунке). В перпендикулярном направлении на короткое время = 0,1 с на мяч подействовал порыв ветра с постоянной силой F = 40 Н. Какова стала величина импульса p₂ после того, как ветер утих?

а) 5 б) 0,5 в) 43

г) 50 д) 7

6. Динамика вращательного движения твердого тела.
Закон динамики вращательного движения твердого тела в проекции на ось вращения z: , где I_z – момент инерции тела относительно оси вращения, – проекция углового ускорения на ось вращения, – сумма проекций внешних моментов сил, – проекция момента импульса твердого тела.

,

где – радиус вектор точки приложения силы . , , – проекции момента силы. Модуль момента силы или , где  – угол между силой и радиусом-вектором .

6-1. Тонкий однородный стержень массы m = 1 кг и длины l= 1 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. В оси действует момент сил трения М_тр. = 1 Нм. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Найдите угловое ускорение в начальный момент времени. g = 10 м/с².

Ответ: 12 рад/с²
6-2. Тонкий однородный стержень массы m и длины l может вращаться в вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень располагают а) под углом  к горизонту;

б) под углом  к вертикали и отпускают без толчка. Найдите его угловое ускорение в начальный момент времени. m = 1 кг, l = 1 м,  = 30, g = 10 м/с².

Ответы: а) 13 рад/с²; б) 7,5 рад/с²

6-3. Тонкий однородный стержень массы m= 1 кг и длины l = 1 м может вращаться в горизонтальной плоскости без трения вокруг вертикальной оси С, проходящей через середину стержня. К концу стержня в плоскости вращения под углом  = 30 к стержню прикладывают силу =1 Н. Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.

Ответ: 3 рад/с²

6-4. Тонкий однородный стержень массы m и длины l может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси С, проходящей через середину стержня. В оси действует момент силы трения М_тр. К концу стержня в плоскости вращения перпендикулярно стержню прикладывают силу . Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.

m = 1 кг, l = 1 м, F = 3 Н, М_тр = 1 Нм.

Ответ: 6 рад/с²

6-5. Тонкая однородная пластина в виде квадрата со стороной b может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс С. Момент инерции пластины относительно оси С равен I. К середине стороны квадрата приклеили маленький грузик массы m и отпустили без толчка. В начальный момент сторона квадрата была вертикальна. Найдите угловое ускорение получившейся фигуры в начальный момент времени. m = 1 кг, I = 1 , b = 1 м, g = 10 м/с².

Ответ: 4 рад/с²

6-6. Тонкая однородная прямоугольная пластина со сторонами b и a может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс С. Момент инерции пластины относительно оси С равен I. К середине стороны пластины приклеили маленький грузик массы m и отпустили без толчка. В начальный момент сторона пластины была вертикальна. Найдите угловое ускорение получившейся фигуры в начальный момент времени.

m = 1 кг, I = 1 , b = 1 м, a = 2 м, g = 10 м/с².

Ответ: 5 рад/с²

6-7. Тонкий однородный стержень длины l может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. К концу стержня приложена сила . Чему равна проекция момента силы относительно точки С на ось z.

l = 1 м, A = 1 Н, В = 2 Н, D = 3 Н. Ответ: –0,5 Нм

6-8. Маленький шарик поместили в точку с радиусом-вектором . В некоторый момент на шарик подействовали силой

а) ; б) ; в) . Найти модуль момента силы относительно начала отсчета.

A = 1 м, В = 2 м, С = 3 м, D = 4 Н, .

Ответы: а) 14,42 Нм; б) 12,65 Нм_{; в)} 8,94 Нм

6-9. Маленький шарик поместили в точку с радиусом-вектором . В некоторый момент на шарик подействовали силой . Найти проекцию момента силы относительно начала координат а) на ось х; б) на ось y; в) на ось z

A = 1 м, В = 2 м, С = 3 м, D = 3 Н, Е = 4 Н, G = 5 Н.

Ответы: а) –2 Нм; б) 4 Нм; в) –2 Нм

6-10. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной оси без трения. Его момент импульса относительно оси вращения зависит от времени по закону

а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Через время t =1 с тело имеет угловое ускорение . Найти момент инерции тела, если  =1 с. A = 1 ,  = 1 рад/с².

Ответы: а) 1 кгм²; б) 2 кгкг²; в) 3 кгм²; г) 4 кгм²; д) 5 кгм²

6-11. Тело вращается вокруг закрепленной оси с угловым ускорением, зависимость от времени которого задается графиком. Момент инерции тела относительно оси вращения равен I. Найти момент импульса тела в момент времени с, если с^–2. I = 1

Ответ: 1 Нмс

6-12. Тело вращается вокруг закрепленной оси с угловой скоростью, зависимость от времени которой задается графиком. Момент инерции тела относительно оси вращения равен I. Найти

а) отношение модулей моментов сил;

б) на сколько отличаются модули моментов сил,

действующих на тело в моменты времени с и с. с^–1, I = 1

Ответы: а) 0,5; б) 0,5

7. Момент инерции. Теорема Штейнера. Центр масс.

Момент инерции системы частиц относительно заданной оси , где – масса частицы, – расстояние от частицы до заданной оси.

Если масса тела непрерывно распределена в пространстве то ,

где – масса элементарного объема тела, – расстояние от этого объема до заданной оси.

Теорема Штейнера.

Момент инерции твердго тела относительно произвольной оси О равен сумме момента инерции этого тела относительно оси С, параллельной оси О и проходящей через центр масс тела, и произведения массы этого тела и квадрата расстояния между осями О и С.

Координата центра масс , где – координата материальной точки с массой или (случай непрерывного распределения).

Таблица моментов инерции некоторых фигур.

– кольца относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. – однородного шара относительно оси, проходящей через центр шара. – диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. – стержня относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему.

7-1. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс диска С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от точки А на краю диска. Точки О, С и А лежат на диаметре диска. Во сколько раз больше момент инерции диска , чем ?

m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м. Ответ: 1,72 раз

7-2. Перпендикулярно однородному тонкому стержню массы m и длиной l проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс стержня С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от его конца А. Во сколько раз больше момент инерции стержня , чем ? m = 1 кг, l = 1 м, х = 0,4 м

Ответ: 1,12 раз

7-3. Через однородный шар массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс шара С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от края шара A. Точки А, О и С лежат на диаметре шара. Во сколько раз больше момент инерции шара , чем ?

m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.

Ответ: 1,9 раз

7-4. Два одинаковых диска массой m и радиусом R каждый положили на плоскость и приварили друг к другу. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости дисков через точку О (см. рис.). R = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 11 кгм²

7-5. Два одинаковых диска массой m и радиусом R каждый положили на плоскость и приварили друг к другу. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости дисков через центр масс одного из дисков О. R = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 5 кгм²

7-6. Два одинаковых шара массой m и радиусом R каждый приварили друг к другу. Касательная к шару ось О проходит перпендикулярно линии, проходящей через центры шаров. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О. R = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 10,8 кгм²

7-7. Два одинаковых шара массой m и радиусом R каждый приварили друг к другу. Ось О проходит по диаметру шара перпендикулярно линии, соединяющей центры шаров. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О.

R = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 4,8 кгм²

7-8. Два одинаковых однородных тонких стержня массой m и длиной l каждый приварили концами перпендикулярно друг к другу. Через конец одного из стержней проходит ось О, перпендикулярная плоскости стержней. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О. l = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 1,677 кгм²

7-9. Два одинаковых однородных тонких стержня массой m и длиной l каждый приварили концами перпендикулярно друг к другу. Через центр одного из стержней проходит ось О, перпендикулярная плоскости стержней. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О. l = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 0,667 кгм²

7-10. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы m= 1 кг и радиуса R = 1 м проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс диска С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х = 0,4 м от точки А на краю диска. Точки О, С и А лежат на диаметре диска. На сколько отличаются моменты инерции диска относительно этих осей?

Ответы: а) 0,36 кгм²


7-11. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через точку A на краю диска, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от точки А. Точки О и А лежат на диаметре диска. m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.

а) Во сколько раз отличаются моменты инерции диска и ?

б) На сколько отличаются моменты инерции диска относительно этих осей?

Ответы: а) 1,74 раз; б) 0,64 кгм²

7-12. Перпендикулярно однородному тонкому стержню массы m = 1 кг и длиной l = 1 м проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс

стержня С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х = 0,4 м от его

конца А. На сколько отличаются моменты инерции стержня относительно этих осей?

Ответ: 0,01 кгм²

7-13. Перпендикулярно однородному тонкому стержню массы m = 1 кг и длиной l = 1 м проходят две параллельные оси. Одна проходит через конец стержня А, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х = 0,4 м от точки А.

а) Во сколько раз отличаются моменты инерции стержня и ?

б) На сколько отличаются моменты инерции стержня относительно этих осей?

Ответы: а) 3,57 раз; б) 0,24 кгм²

7-14. Через однородный шар массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна касается шара в точке А, а другая проходит через точку О, лежащую на расстоянии х от точки A. Точки А и О лежат на одном диаметре шара.

m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.
а) Во сколько раз отличаются моменты инерции шара и ?

б) На сколько отличаются моменты инерции шара относительно этих осей?

Ответы: а) 1,84 кгм²; б) 0,64 кгм²

7-15. Через однородный шар массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс шара С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от края шара A. Точки А, О и С лежат на диаметре шара. На сколько отличаются моменты инерции шара относительно этих осей? m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.

Ответ: 0,36 кгм²

7-16. На одну плоскость положили тонкий однородный стержень массы m и длины l = 2R и диск радиуса R и такой же массы m. Центр стержня О приварили к диску. Перпендикулярно плоскости получившейся детали проходит ось

а) через точку О б) через центр диска С

Найти момент инерции детали относительно этих осей.

m = 1 кг, R = 1 м. Ответы: а) 1,83 кгм²; б) 1,83 кгм²

7-17. Деталь в виде равностороннего треугольника сварили из трех одинаковых однородных тонких стержней массы m и длины l каждый. Ось О проходит перпендикулярно плоскости детали через вершину треугольника. Найти момент инерции детали относительно этой оси. m = 1 кг, l = 1 м.

Ответ: 1,5 кгм²

7-18. Деталь в виде равностороннего треугольника сварили из трех одинаковых однородных тонких стержней массы m и длины l каждый. Ось C проходит перпендикулярно плоскости детали через центр масс треугольника. Найти момент инерции детали относительно этой оси. m = 1 кг, l = 1 м.

Ответ: 0,5 кгм²

7-19. Деталь в виде квадрата сварили из четырех одинаковых однородных тонких стержней массы m и длины l каждый. Ось C проходит перпендикулярно плоскости детали через центр масс квадрата. Найти момент инерции детали относительно этой оси. m = 1 кг, l = 1 м.

Ответ: 1,33 кгм²

7-20. Тонкий стержень постоянного сечения длиной l = 1 м лежит на оси х и его левый конец совпадает с началом координат О. Линейная плотность вещества, из которого сделан стержень, зависит от координаты х по закону ( кг/м)

а) ; б) . ; в) ; г) ; д)

А) Рассчитать момент инерции стержня относительно оси у.

Б) Найти координату центра масс стержня.

Ответы:

А) а) 0,25 кгм²; б) 0,2 кгм²; в) 0,167 кгм²; г) 0,143 кгм²; д) 0,125 кгм²

Б) а) 0,667 м; б) 0,75 м; в) 0,80 м; г) 0,833 м; д) 0,857 м

7-21. Тонкий стержень постоянного сечения длиной l расположен параллельно оси у. Нижний конец стержня лежит на оси х на расстоянии l от начала координат. Линейная плотность вещества, из которого сделан стержень, зависит от координаты у по закону

а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Рассчитать момент инерции стержня относительно оси у. кг/м, l = 1 м.

Ответы: а) 0,5 кгм²; б) 0,333 кгм²; в) 0,25 кгм²; г) 0,2 кгм²; д) 0,167 кгм²

<предыдущая страница | следующая страница>