Лекция №5

Тема: «Взаимодействие γ-квантов с веществом»

Вопросы:

1. 
   Поглощение электромагнитного излучения в веществе.
   
2. 
   Фотоэффект.
   
3. 
   Эффект Комптона.
   
4. 
   Рождение электронно-позитронных пар.
   
5. 
   Зависимость полного коэффициента поглощения от энергии γ-квантов и свойств вещества.
   

1. 
   Поглощение электромагнитного излучения в веществе.
   

Рассмотрим взаимодействие с веществом рентгеновских и γ-лучей, т.е. электромагнитных излучений с очень короткими длинами волн, которые способны глубоко проникать в вещество и производить при этом ионизацию. Для краткости здесь будем говорить только о γ-квантах. Поскольку основной ионизационный эффект обуславливается взаимодействием с веществом частиц, возникающих в ходе первичного поглощения и рассеяния γ-квантов, эти электромагнитные излучения относят к косвенно-ионизирующим.

По мере прохождения через вещество число квантов в первоначальном пучке постепенно уменьшается. Соответственно уменьшается и интенсивность пучка (энергия, переносимая γ-квантами в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную пучку). Пусть монохроматический пучок γ-лучей падает перпендикулярно на пластинку малой толщины x и пусть рассеяние γ-квантов происходит однократно. Интенсивность γ-пучка после прохождения пластинки (I_x) связана с интенсивностью падающего пучка (I₀) выражением

,

в котором n – число атомов поглотителя в 1 см³, σ – полное эффективное сечение рассеяния и поглощения γ-квантов на одном атоме, которое представляет собой вероятность возникновения реакции в единичном потоке при прохождении слоя мишени в 1 см, содержащего одну рассеивающую частицу. Для характеристики рассеяния по различным направлениям удобно использовать дифференциальное сечение рассеяния dσ, т.е. сечение рассеяния внутрь элемента телесного угла dΩ. Число рассеянных частиц (dN), летящих после попадания на мишень в элементе телесного угла dΩ, пропорционально дифференциальному сечению: dN(Θ,φ) = JMdσ(Θ,φ); где J – плотность потока частиц, M – полное число рассеивающих центров в облучаемой части мишени, Θ и φ – полярный и азимутальный углы рассеяния падающей частицы внутри dΩ.

Выражение для полного эффективного сечения рассеяния получаем интегрированием:

(в случае аксиальной симметрии).

Произведение (n∙σ = τ) представляет собой линейный коэффициент ослабления τ. Тогда . Часто вместо x берут величину ρ∙x (ρ – плотность) и вводят массовый коэффициент поглощения μ = τ/ρ.

Для различных процессов поглощения γ-квантов главной задачей является установление зависимости эффективного сечения процесса от энергии падающих квантов и от свойств поглощающего вещества. В области энергий γ-квантов от 5 кэВ до 5 МэВ (рис. 13), главным образом, наблюдаются 3 процесса: фотоэффект, эффект Комптона и рождение электронно-позитронных пар. Представляют интерес и такие процессы, как упругое потенциальное рассеяние в кулоновском поле ядра (дельбруковское рассеяние), рэлеевское рассеяние, ядерное резонансное рассеяние, ядерное томсоновское рассеяние. Но их вклад в процессы повреждения атомов и молекул биологических объектов, которые нас интересуют в данном курсе, невелик и потому мы остановимся на трёх указанных выше. Эти три процесса могут происходить независимо друг от друг от друга, поэтому полный коэффициент ослабления равен сумме его составляющих, соответствующих этим процессам:

τ = τ_ф.э. + τ_к.р. + τ_о.п. или μ = μ_ф.э. + μ_к.р. + μ_о.п.

Чтобы установить зависимость коэффициента поглощения от энергии γ-квантов и свойств вещества, разберём эту зависимость для каждого из этих процессов в отдельности.
2. Фотоэффект.
Это процесс, при котором вся энергия падающего кванта hν передаётся связанному электрону. Его кинетическая энергия при вылете из атома T_e = hν – I­_i, где I­_i – энергия связи той оболочки, на которой находится электрон. Энергию отдачи, полученную ядром при вылете электрона ,можно не учитывать, т.к. T_я << hν или T_я << T_e. Фотоэффект всегда сопровождается либо характеристическим излучением, либо эффектом Оже, когда энергия возбуждения атома передаётся одному из его электронов, который и покидает атом.

Фотоэффект не может протекать на свободном электроне, т.е. свободный электрон не может поглощать свет. Покажем это. Предположим, что энергия γ-кванта и кинетическая энергия электрона малы по сравнению с собственной энергией электрона mc². Электрон можно считать свободным, если на него не действуют силы со стороны других частиц. В этом случае он до поглощения γ-кванта двигался прямолинейно с некоторой постоянной скоростью , и имел кинетическую энергию и количество движения . После поглощения γ-кванта с энергией hν и импульсом он будет двигаться в другом направлении и с другой скоростью (его кинетическая энергия и импульс станут и ). Законы сохранения энергии и импульса для рассматриваемой системы

Указанные векторы образуют треугольник (рис. 10):

Рис.10. Схематическое изображение фотоэлектрического поглощения.

Угол Θ – между направлением распространения γ-кванта и первоначальным направлением движения электронов и заменив векторное уравнение для сохранения скалярным, получи

Разделив это уравнение на m и вычтя из него умноженное на 2 выражение для закона сохранения энергии, будем иметь

и сократив на hν, найдём

Если hν << mc² , то << 2. Т.о., отбросив первый член, получим

или .

Т.к. v₁ всегда меньше c, а CosΘ не может быть больше единицы, то в случае поглощения γ-кванта свободным электроном законы сохранения энергии и количества движения не могут быть одновременно выполнены. Вместе с тем эти законы универсальны, следовательно, свободный электрон не может поглотить γ-квант. Вычисления, основанные на теории относительности показывают, что полученный результат верен при любых энергиях γ-кванта и электрона.

Одновременно мы доказали, что верно и обратное утверждение: равномерно движущийся заряд не может испускать электромагнитное излучение.

Т.о. эффект происходит на связанных электронах. Вероятность эффекта увеличивается по мере приближения энергии фотона к энергии связи электрона с атомом. Для фотоэффекта важна относительная связанность электрона σ~J^±_i/hν. По мере увеличения энергии γ-кванта это отношение для электронов данной оболочки становится всё меньшею С другой стороны, если это отношение больше единицы , то γ-квант вообще не может электрон этой оболочки из атома и поглощение электронами этой оболочки вовсе не происходит. Т.о. зависимость коэффициента поглощения от энергии γ-квантов (начиная с сотен электрон-вольт) выглядит следующим образом:

Рис.11. Зависимость массового коэффициента поглощения в ходе фотоэффекта от энергии падающих фотонов.

В общем, поглощение быстро уменьшатся с возрастанием энергии. Однако каждый раз, как только энергия γ-квантов становится больше энергии, необходимой для ионизации электронов следующей более глубокой оболочки, поглощение скачком возрастает. После того как энергия γ-квантов стала больше энергии связи электронов К-оболочки, скачков больше не наблюдается. В этом случае γ-кванты (до 80%) поглощаются электронами К-оболочки, т.е. наиболее сильно связанными. Мелкие скачки на рисунке обусловлены различной энергией связи электронов, находящихся в разных подоболочках одной и той же оболочки. При очень больших энергиях γ-квантов поглощение за счёт фотоэффекта становится малым по сравнению с поглощением за счёт других эффектов.

Т.к. с увеличением порядкового номера Z элемента растёт и общее число электронов в атомах и энергия связи электронов внутренних оболочек, то с ростом Z поглощение γ-квантов за счёт фотоэффекта сильно увеличивается (при равном числе атомов в единице объёма вещества примерно пропорционально Z⁵, если энергия γ-квантов больше энергии ионизации К-оболочки).

Применяя методы нерелятивистской квантовой механики и используя приближение Борна ( не учитывая притяжения к ядру, когда электрон покидает атом, а волновые функции фотоэлектрона принимаются в виде плоских волн) и пренебрегая связью К-электронов, Гайтлер получил для малых энергий (J_kec²) γ-квантов выражение для сечения фотоэффекта на К-оболочке (σ ^к_ф):

где , ,

α_тс – постоянная тонкой структуры , h – постоянная Планка, с- скорость света в вакууме, r₀ – классический радиус электрона, m_e – его масса.

В релятивистской области (hν> m_ec²) полученные выражения для σ ^к_ф (Заутера, Гаврила-Пратта) свидетельствуют о том, что σ ^к_ф~1/hν, например:

, (выражение Гаврила – Пратта).

Чтобы получить сечение реакции для всего атома, т.е. для учёта всех оболочек, необходимо знать либо сечение для каждой оболочки, либо их отношение к сечению на К-оболочке.

Угловое распределение вылетающих фотоэлектронов (как и эффективное сечение) зависит от энергии падающих фотонов.

В области hνec² фотоэлектроны вылетают с наибольшей вероятностью перпендикулярно к падающему пучку γ-квантов и распределены по закону cos²φ относительно электрического вектора падающей электромагнитной волны.

Рис.12. Угловое распределение вылетающих фотоэлектронов (hνec²)
При больших энергиях падающих γ-квантов (hνec²) угловое распределение фотоэлектронов (благодаря передаче электрону большого импульса ) вытянуто вперёд.

3. 
   Эффект Комптона.
   

Взаимодействие γ-лучей с веществом приводит также к их рассеянию. Рассеяние может быть двух видов: когерентное рассеяние (без изменения длины волны) и некогерентное – с изменением длины волн.

Рассеяние без изменения длины волны называют томсоновским (или классическим) рассеянием. Оно имеет место для фотонов с меньшей энергией, чем энергия связи электронов в атоме (hνi). Эффективное сечение томсоновского рассеяния, рассчитанное на 1 электрон, равно , где - классический радиус электрона.

Рассеяние γ-лучей с изменением длины волны называется комптоновским рассеянием. Оно имеет место, когда hν>>J_i и когда электрон поэтому можно считать свободным. В результате упругого столкновения с электроном γ-квант передаёт ему часть своей энергии и импульса. Энергетические и угловые характеристики комптоновского рассеяния полностью определяется законами сохранения энергии и импульса для упругого удара. Поскольку при ударе энергия фотона уменьшается, длина волны излучения увеличивается . Законы сохранения энергии и импульса для этого случая:

T_e – кинетическая энергия, которую получил электрон

- импульс и энергия рассеянного γ-кванта

ν и ν’ – частоты фотонов до и после рассеяния.

-- импульсы падающего и рассеянного фотонов, - импульс электрона отдачи. - угол рассеяния фотона, - угол отдачи электрона.

Для увеличения длины волны при комптоновском рассеянии -квантов имеем:

,

откуда выражение для энергии рассеянного кванта

, где

Кинетическая энергия электрона отдачи

,

и для =180^о => .

Для волны возрастает при этом на величину ∆, при ; при и при , т.е. изменение длины волны максимально при рассеянии назад.

называют комптоновской длиной волны электрона (характеризует масштаб величин, определяемых квантовыми процессами).

С целью получения выражения для сечения комптоновского рассеяния Клейн и Нишина провели квантовомеханическое исследование, использовав уравнение Дирака для электрона. Они рассмотрели поляризованное -излучение и получили формулы для сечения рассеяния фотонов с электрическим вектором, образующим угол с электрическим вектором первичных фотонов в пределах телесного угла . Здесь мы приведем лишь результаты для неполяризованных фотонов, полученные усреднением по всем направлениям поляризации падающих фотонов.

Если I – интенсивность фотонов, рассеянных на угол на расстоянии в придельный параметр) от рассеивающего электрона, а I_о – интенсивность падающих фотонов, то

где -- дифференциальное эффективное сечение, приходящееся на один электрон, для фотонов, рассеянных в пределах телесного угла в направлении угла рассеяния .

Дифференциальное эффективное сечение в элемент телесного угла , полученное Клейном и Нишиной, имеет вид:

Подставляя в это выражение соотношение между и , получим

Для небольших энергий падающих квантов, т.е. для α << 1 (в единицах m_ec²), это сводится к классическому уравнению Томсона:

Полное эффективное сечение получается интегрированием по всем углам и равно:

– сечение рассеяния энергии излучения уносимой из пучка, т.к. с каждым рассеянным фотоном энергия первичного пучка уменьшается на hν.

Для решения ряда задач необходимо знать количество энергии, передаваемой веществу в процессе рассеяния. С этой целью разбивают на два слагаемых:

,

где – эффективное сечение рассеяния энергии излучения, которое называют коэффициентом комптоновского рассеяния и – эффективное сечение передачи энергии электронам, которое называют коэффициентом комптоновского поглощения.

Для коэффициента комптоновского рассеяния ими получено:

Численные значения получают, вычитая из . Т.о. было получено .что полное эффективное сечение комптоновского рассеяния, рассчитанное на один электрон, ~ . Для биологических объектов с малым Z практически все электроны могут считаться свободными (I_i << hν) и эффективное сечение, рассчитанное на один атом, прямопропорционально Z:

~ .
4. Рождение электронно-позитронных пар.
При достаточно большой энергии γ-кванта становится возможным процесс, когда в одном акте взаимодействия возникают в поле какой-нибудь частицы (чаще всего ядра атома) электрон и позитрон, а квант при этом поглощается. Этот процесс около ядра происходит в области размером ~ комптоновской длины волны электрона.

Законы сохранения энергии и импульса для процесса в поле атомного ядра:

;

;

где Те^-, Те⁺ и Тя – это кинетические энергии электрона, позитрона и ядра соответственно; и -- импульсы падающего -кванта и ядра отдачи.

Из этих уравнений следует, что -квант не может образовать пару в вакууме (т.е. при Тя и , равных нулю), т.к. при Те^- и Те⁺ = 0 из закона сохранения энергии следует , а из закона сохранения импульса .

Итак, образование пары электрон-позитрон происходит только в поле третьей частицы. Если ею является ядро, то благодаря большой массе оно уносит малую энергию и -квант с энергией может создать электрон-позитронную пару. Если это электрон, то он должен получить энергию того же порядка, что и частицы пары, тогда процесс образования пары произойдет при значительно большей энергии -кванта.

Расчеты зависимости эффективного сечения процесса рождения пар (при 5) от энергии -кванта и заряда вещества Z приводят к соотношению

~
5. Зависимость полного коэффициента поглощения от энергии -кванта и свойств вещества.
Общая картина поглощения -квантов в веществе и примерное расположение по шкале энергий областей, где существенен каждый из трех основных процессов, представлена на рис.13.




Рис.13. Зависимость коэффициента поглощения -квантов в веществе (для элементов со средними значениями Z) от энергии () падающих квантов.

Эффективность фотоэффекта быстро уменьшается с увеличением энергии -квантов, особенно после того как энергия стала больше энергии связи наиболее сильно связанных электронов (для самых тяжелых элементов несколько более 100 КэВ).

Эффект Комптона вообще мало проявляется по сравнению с фотоэффектом, однако с увеличением энергии -квантов он убывает медленнее и поэтому становится заметнее, когда энергия -квантов превышает энергию связи наиболее сильно связанных электронов и фотоэффект исчезает. При энергиях более 10 МэВ он практически исчезает.

Рождение пары электрон-позитрон возможно лишь при энергии -квантов свыше 1,02МэВ и вблизи ядра атома (реже электрона). Вероятность этого процесса растет с увеличением энергии -квантов, приближаясь при очень больших энергиях к постоянной величине.

Зависимость полного коэффициента поглощения от энергии -квантов для Al, Cu и Рв (часто использующихся как поглотители -лучей) показана на рис.14.

Рис.14. Зависимость линейного коэффициента поглощения от энергии -квантов.
Для свинца представлены также компоненты коэффициента поглощения, соответствующие каждому из трех процессов: фотоэффекту, комптоновскому рассеянию и рождению пар. Обращает на себя внимание характерный минимум в области 5-10МэВ, где фотоэффект и эффект Комптона уже слабо себя проявляют, а рождение пар еще не сильно. Видно также, что вещества с большим порядковым номером поглощают сильно, чем с малым, особенно в области малых энергий, где преобладает фотоэффект.

Отметим еще одну особенность, общую для всех процессов. С одной стороны, часть энергии -кванта передается заряженным частицам, которые теряют ее (за исключением пар при очень высоких энергиях) на ионизацию атомов вещества. С другой стороны, во всех процессах появляются -кванты с меньшей энергией и другими направлениями распространения. Это рентгеновские кванты, испущенные при переходе внешних электронов на освободившиеся в результате фотоэффекта места во внутренних оболочках. В случае эффекта Комптона – это рассеяние фотона. Частицы пары (электроны и позитроны), проходя через вещество испускают -кванты. Таким образом, хотя число -квантов в первоначальном пучке при прохождении через вещество убывает, при этом возникает новые кванты, имеющие всевозможные направления. С наличием такого рассеянного излучения практически всегда следует считаться.

В реальных ситуациях, применительно и которым и разрабатывался “Радиационная безопасность”, взаимодействие с веществом -квантов высоких энергий (десятки, сотни и тысячи МэВ) большой роли не играет. Поэтому коснемся лишь вскользь некоторых из них:

а) ядерный фотоэффект. Это реакции типа (), когда -кванты энергии 6-10МэВ (энергии связи нуклонов в ядре) выбирают из ядер нуклоны. Сечение таких реакций пропорционально Z вещества.

б) фоторасщепление ядер. Эти реакции протекают, когда энергии -квантов много больше энергии связи нуклонов в ядре: (); (; (). Сечение таких реакций ~.

в) образование пары -мезонов (^-+⁺). Такие реакции требуют энергии падающих -квантов .

г) фотогенерация -мезонов, которая происходит при ; ()~10^-4.