Зачет № Тригонометрические функции. Основные свойства функций

Система зачетов по курсу алгебры в старшем звене (10-11 классы)

Зачет № 1.

Тригонометрические функции. Основные свойства функций
Вариант 1

Часть 1.

1. Найдите область определения функции y = ^sin^x^{– 1}^.

^cos^x^{+ 1}

2. Найдите область значений функции y = -2 sin 7x.

3. Используя график функции у = sin x, запишите в порядке возрастания ее значения в точках х₁=π/6, х₂=- 2 π/3, х₃= 3 π/4.

4. Постройте график функции y = sin (x + π/2).

5. Определите, является ли функция y =2tg x –x четной или нечетной.

6. Найти все корни уравнения tg x = 1, принадлежащие промежутку (-π; 2 π).

Часть 2.

7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = cos⁴ x – sin⁴x.

8. Найдите наименьший положительный период функции y = 5 ctg 2x.

9. Чему равно значение выражения cos²7,3 π + sin²0,7 π + tg 0,7 π ^.tg 0,2 π.

10. Расположите в порядке возрастания числа tg 10,5; cos 10,5; sin 10,5; ctg 10,5.
Вариант 2

Часть 1.

1. Найдите область определения функции y = ^cos^x^{– 1}^.

^sin^x^{+ 1}

2. Найдите область значений функции y = -5 sin 3x.

3. Используя график функции у = cos x, запишите в порядке возрастания ее значения в точках х₁=π/6, х₂=- 2 π/3, х₃= 3 π/4.

4. Постройте график функции y = соs (x + π/2).

5. Определите, является ли функция y =3tg x + x четной или нечетной.

6. Найти все корни уравнения tg x =0, принадлежащие промежутку (-π; 2 π).

Часть 2.

7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = sin²x – 2cos² x.

8. Найдите наименьший положительный период функции y = 4 ctg (x + 1).

9. Чему равно значение выражения sin²1,2 π + sin²2,3 π - 3 tg 2,1 π ^.tg 2,4 π.

10. Расположите в порядке возрастания числа tg 10; sin 10; cos 10; ctg 10.
Вариант 3

Часть 1.

1. Найдите область определения функции y = ^cos^x^{+ 1}^.

^sin^x^{- 1}

2. Найдите область значений функции у = - sin x — 2.

3. Используя график функции y = sin x, запишите в порядке возрастания ее значения: sin 75°, sin 60°, sin 80°, sin 42°.

4. Постройте график функции y = соs (x - π/2).

5. Определите, является ли функция y = 9сtg x + x³ четной или нечетной.

6. Найти все корни уравнения соs x =1, принадлежащие промежутку (-π; 2 π).

Часть 2.

7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 1 – 2 |sin 3x|.

8. Найдите наименьший положительный период функции у = sin x + cos x.

9. Чему равно значение выражения sin²5,2 π + sin²2,7 π - 2 tg 1,4 π ^.tg 3,1 π.

10. Расположите в порядке возрастания числа 1; sin 7; cos 7; ctg 7.

Вариант 4

Часть 1.

1. Найдите область определения функции y = ^sin^x^{+ 1}^.

^cos^x^{- 1}

2. Найдите область значений функции у = 4 cos х + 1.

3. Используя график функции y = соs x, запишите в порядке возрастания ее значения:

соs 75°, соs 60°, соs 80°, соs 42°.

4. Постройте график функции y = sin (x - π/2).

5. Определите, является ли функция y = 3 соs x + x⁶ четной или нечетной.

6. Найти все корни уравнения sin x =1, принадлежащие промежутку (-π; 2 π).

Часть 2.

7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 1 –+ 3 | соs 2x|.

8. Найдите наименьший положительный период функции у = sin x • cos x.

9. Чему равно значение выражения sin²6,4 π + sin²2,9 π - 4 tg 1,4 π ^.tg 7,1 π.

10. Расположите в порядке возрастания числа 1; sin 7,5; cos 7,5; ctg 7,5.
Зачет № 2.

Тригонометрические уравнения

Вариант 1

Часть 1.

1. Вычислите 12 arccos 0 + 3 arccos 1.

2. Решите уравнение 2 cos х + √2= 0.

3. Найдите корни уравнения tg x + 1 = 0, принадлежащие промежутку $[0;\frac{3\pi }{2}]$ .

4. Решите уравнение: cos²х + 7 cosх = 0.

5. Решите уравнение: 3 sin²х + 10 sinх cos х + 3cos² x = 0.

6. Найдите корень уравнения: $\cos\frac{2\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Часть 2.

7. Вычислите sin (arсcos √3/2)

8. Решите уравнение: sin5х cos х= -1.

9. Решите систему уравнений:

sin у cos у = ½,

sin 2х + sin 2у = 0.

10. Решите неравенство: 2cos² x + sinх – 1 <0.

Вариант 2

Часть 1.

1. Вычислите 6 arcsin (-0,5) + arccos(-1).

2. Решите уравнение 2 sin х - √2= 0.

3. Найдите корни уравнения sinх - 0,5 = 0, принадлежащие промежутку $[0;\frac{3\pi }{2}]$ .

4. Решите уравнение: cos²х - 9 cosх = 0.

5. Решите уравнение: 2 sin²х + sinх cos х - 3cos² x = 0.

6. Найдите корень уравнения: $\cos\frac{\pi(4x+6)}{3}=\frac12.$ В ответе запишите наименьший положительный корень.

Часть 2.

7. Вычислите tg (arсsin 0,6)

8. Решите уравнение: 8 sinх cos х cos 2х = 1.

9. Решите систему уравнений:

sin х – sin у = 1,

sin²х + cos²у = 1.

10. Решите неравенство: 2 sin² x - 5 cos х + 1 >0.

Вариант 3

Часть 1.

1. Вычислите 5 arccos (-1/2) – 2 arcsin √3/2.

2. Решите уравнение 2 cos x + √3 =0.

3. Найдите корни уравнения cos x + 0,5 = 0, принадлежащие промежутку $[0;\frac{3\pi }{2}]$ .

4. Решите уравнение: sin²х – 5 sin х = 0.

5. Решите уравнение: 3 sin²х + sin х cos x – 2 cos²х = 0.

6. Найдите корень уравнения: $\cos\frac{\pi(4x+3)}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Часть 2.

7. Вычислите tg (arсsin 0,9).

8. Решите уравнение cos х cos 2х = sinх sin2х.

9. Решите систему уравнений:

sin х cos у = 1/2,

cos x sin у = - 1/2.

10. Найти все значения а, при которых уравнение 4 sin²х + 2 (а – 3) cos x + 3а – 4 = 0 имеет корни, и решить это уравнение.

Вариант 4

Часть 1.

1. Вычислите 4 arcsin (-1/2) + 6 arccos √3/2.

2. Решите уравнение: 2 sin x - √3 =0.

3. Найдите корни уравнения sin x + 0,5 = 0, принадлежащие промежутку $[0;\frac{3\pi }{2}]$ .

4. Решите уравнение: sin²х + 8 sin х = 0.

5. Решите уравнение: 2 sin²х +3 sin х cos x – 2 cos²х = 0.

6. Найдите корень уравнения: $\cos\frac{\pi(2x+8)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Часть 2.

7. Вычислите sin (arсcos 1/2 ).

8. Решите уравнение: sin2х cos х = cos 2х sinх

9. Решите систему уравнений:

sin х + sin у = 1,

cos x - cos у = √3.

10. Найти все значения а, при которых уравнение sin²х - sin х cos x - 2 cos²х = а не имеет корней.

Зачет № 3.

Тригонометрические преобразования

Вариант 1

Часть 1.

1. Вычислите sin 150°.

2. Найдите значение выражения $5\tg (5\pi -\gamma )-\tg(-\gamma )$ , если $\tg \gamma =7$ .

3. Найдите значение выражения $\frac{12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ }{\sin 22{}^\circ }$ .

4. Найдите $\tg \alpha$ , если $\frac{7\sin \alpha +13\cos \alpha }{5\sin \alpha -17\cos \alpha }=3$ .

5. Решите уравнение cos 6х cos 3х = sin 6х sin 3х.

6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения cos²6 х – cos 12х = 0.

Часть 2.

7. Записать в виде произведения cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°.

8. Найдите число корней уравнения cos x - cos 3х - sin 2х = 0, принадлежащих промежутку [0; π].

9. При каких значениях а уравнение sin⁴ х + cos⁴ x = а имеет корни? Найти эти корни.

10.Доказать тождество: sin²х + cos (π/3 – х) cos (π/3 + х) = ¼.
Вариант 2.

Часть 1.

1. Вычислите sin 105°.

2.Найдите $\sin (\frac{7\pi }{2}-\alpha )$ , если $\sin \alpha =0,8$ и $\alpha \in (\frac{\pi }{2};\,\,\pi )$ .

3. Найдите значение выражения $\frac{6}{{{\cos }^{2}}{{23}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{113}^{\circ }}}$ .

4.Найдите $\tg \alpha$ , если $\frac{3\sin \alpha -5\cos \alpha +2}{\sin \alpha +3\cos \alpha +6}=\frac{1}{3}$ .

5. Решите уравнение sin 5х sin 7х = cos 5х cos 7х.

6. Найдите наибольший положительный корень уравнения sin²9 х + sin 18х = 0.

Часть 2.

7. Найти значение выражения: cos 630° - sin 1470° - сtg 1125°

8. Найдите число корней уравнения (1 + cos x )

tg х/3 = 0, принадлежащих промежутку [0; 9π].

9. Найти все значения а, при которых уравнение sin⁴ х - cos⁴ x = а имеет корни.

10. Решите уравнение: sin 6х + sin 2х + 2 sin²х = 1.
Вариант 3.

Часть 1.

1. Вычислите cos 150°.

2.Найдите значение выражения $7\cos (\pi +\beta )-2\sin (\frac{\pi }{2}+\beta )$ , если $\cos \beta =-\frac{1}{3}$ .

3. Найдите значение выражения $\frac{24({{\sin }^{2}}17{}^\circ -{{\cos }^{2}}17{}^\circ )}{\cos 34{}^\circ }$ .

4. Найдите $\frac{3\cos \alpha -4\sin \alpha }{2\sin \alpha -5\cos \alpha }$ , если $\tg \alpha =3$ .

5. Решите уравнение cos 4х cos 8х = sin 8х sin 4х.

6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения cos²3 х – cos 6х = 0.

Часть 2.

7. Найти значение выражения: tg 1800° - sin 495° + cos 945°.

8. Найдите корни уравнения sin х + √3 cos x = 1 на отрезке [- 2 π; 4 π].

9. Найдите значение произведения: cos 20° cos 40 ° cos 60 ° cos 80°.

10. Решите уравнение: 2 cos²2 х + cos2 х + cos6 х = 1.

Вариант 4.

Часть 1.

1. Вычислите cos 75°.

2. Найдите значение выражения $5\sin (\alpha -7\pi )-11\cos (\frac{3\pi }{2}+\alpha )$ , если $\sin \alpha =-0,25$ .

3. Найдите значение выражения: $\frac{24\sin13^\circ\cdot \cos 13^\circ}{\sin26^\circ}.$

4. Найдите $\frac{10\cos \alpha +4\sin \alpha +15}{2\sin \alpha +5\cos \alpha +3}$ , если $\tg \alpha =-2,5$ .

5. Решите уравнение sin 10х sin 2х = cos 2х cos 10х.

6. Найдите наибольший положительный корень уравнения sin²8 х + sin 16х = 0.

Часть 2.

7. Записать в виде произведения cos 15° + cos 45° + cos 150°.

8. Найдите корни уравнения sin х - √3 cos x = 1 на отрезке [- 2 π; 4 π].

9. Найдите значение произведения: sin 10° sin30° sin 50 ° sin 70°.

10. Решите уравнение: 2 cos²3 х + cos3 х + cos9 х = 1.
Зачет №4.

Производная
Вариант 1

Часть 1.

1. Найдите производную функции f (х) = 8 х⁶ – 4 √х.

2. Найдите значение производной функции у = 3 cos x -7 в точке х₀ = π.

3. Найдите тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, проведенной к графику функции у =2 sin x – 5х в точке с абсциссой х₀= 0.

4. Найдите производную функции у = х • sin x.

5. Найдите производную функции у = cos x

х²

6. Прямолинейное движение точки описывается законом s = t⁶– 4 t⁴ (м). Найдите ее скорость в момент времени t = 2 с.

Часть 2.

7. Найдите производную функции f(х) = (х + 3)²(х – 3)².

8. В какой точке касательная к графику функции f(х) =⅓ х³– 3 х²– 7х + 19 параллельна оси абсцисс?

9. Найдите все значения х, при которых выполняется равенство f’(х) = 0, если f (х) = sin 2х + х и х € [0; 4π].

10. При каких значениях параметра а уравнение х⁴– 2 х²= а имеет ровно три корня?
Вариант 2

Часть 1.

1. Найдите производную функции f (х) = 5 х⁸ – 6 √(2х).

2. Найдите значение производной функции у = 4 sin x - 8 в точке х₀ = π.

3. Найдите тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, проведенной к графику функции у =4х – sin x в точке с абсциссой х₀= 0.

4. Найдите производную функции у = х² • cos x.

5. Найдите производную функции у = sin x

3 х

6. Прямолинейное движение точки описывается законом s = t⁴– t² (м). Найдите ее скорость в момент времени t = 3 с.

Часть 2.

7. Найдите производную функции f(х) = (4 – 1/х) (2х – 3)³.

8. В какой точке касательная к графику функции f(х) =⅓ х³+2 х²– 3х – 61 имеет угловой коэффициент, равный 2?

9. Найдите все значения х, при которых выполняется равенство f’(х) = 0, если f (х) = cos 2х + х√3 и х € [0; 4π].

10. При каких значениях параметра а уравнение ⅓ х³– х = а имеет ровно три корня?
Вариант 3

Часть 1.

1. Найдите производную функции: f (х) = 6 х⁷ + 8 √х.

2. Найдите значение производной функции у = 2 х + cos x в точке х₀ = 0.

3. Найдите тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, проведенной к графику функции у =6 sin x + 2 cos x в точке с абсциссой х₀= 3π/2.

4. Найдите производную функции у = х³ • sin x.

5. Найдите производную функции у = cos 3x

х³

6. Прямолинейное движение точки описывается законом s = t⁴– 2 t² (м). Найдите ее скорость в момент времени t = 3 с.

Часть 2.

7. Найдите производную функции f (х) = (1/х + 5) (х³ + 2х² + х).

8.Найдите точки, в которых скорость изменения функции: f (х) =2 sin x больше скорости изменения функции g (х) = х + 19.

9. Найдите все значения х, при которых выполняется равенство f’(х) = 0, если f (х) = sin 2х - х√2 и х € [0; 4π].

10. При каких значениях параметра а уравнение ⅓ х³– х = а имеет ровно два корня?

следующая страница>