Вариант 5

Задача №1.
Стальной стержень (Е = 2·10⁵ МПа) находится под действием силы Р₁=90кН, Р₂=120кН, Р₃=110кН, А₁=16см², А₂=8см², А₃=110см² Материал стержня – ст50


Решение:
Выбираем положительное направление оси z, показанное на рисунке. Разобьем стержень на участки. Границы участков определяются сечениями, в которых изменяются размеры поперечных сечений или приложены нагрузки. В данном случае стержень имеет четыре участка.

Рассмотрим уравнения равновесия сил ΣN_z = 0.

Участок I: -N_I + Р₃ = 0 ; N_I = Р₃ = 110 kH

Участок II: -N_II + Р₃ – Р₂ =0; N_II = Р₃ – Р₂ = -10 kH.

Участок III:-N_III + Р₃ – Р₂ =0; N_III = Р₃ – Р₂ = -10 kH.

Участок IV:-N_III + Р₃ –Р₂ –Р₁=0; N_III =Р₃ –Р₂ –Р₁= -100kH=R_A(реакция заделки)

Таким образом, участок I, растягивается (значения N получены со знаком плюс), а участки II, III,IV сжимаются. В пределах каждого участка внутренние силы остаются постоянными и изменяются скачкообразно на границах участков, где приложены внешние силы. В соответствии с полученными данными строим эпюру продольных сил.
Минимально допускаемые площади сечения стержня на i-ом участке определяются по формуле

где – продольная сила на i-м участке определяется из эпюры продольных сил; [σ] – допускаемое напряжение, определяемое по формуле

Минимальные площади сечения составляют:

Используем ступенчатый равнопрочный стержень площади сечения:

1) на первом участке: 7 см²,

2) на втором участке: 1 см²,

3) на третьем участке: 1 см².

4) на четвертом участке: 7 см².

Однако с технологической точки зрения целесообразно изготовить этот стержень постоянного сечения с максимальной площадью (из полученных минимальных площадей), равной 7 см². При этом на третьем и втором участках напряжения будут заведомо ниже допускаемых, и при этом одновременно будет достигаться экономия материала от уменьшения исходного сечения стержня.
Рассчитываем нормальные напряжения на этих участках. Для удобства расчетов напряжений используем переходные выражения: 1МПа = 10⁶ Па =10⁶ Н/м² = 1Н/мм² = 0,1кН/см² или иначе говоря: 1кН/см² = 10МПа.

В соответствии с полученными данными строим эпюру нормальных напряжений.

Находим перемещение каждого участка бруса и его свободного конца, начиная с IV участка:

В соответствии с полученными результатами строим эпюру удлинения стержня. Полное удлинение стержня составляет = 0,075 мм, т.е. стержень под действием нагрузок растягивается.

Задача № 2.
Абсолютно жесткие балки СЕ и DF соединены между собой и с опорой В деформируемыми стальными стержнями СD и АВ. Определить поперечные сечения стержней СД и АВ.
Р₁=20кН,а=15м

Решение:
Не все исходные данные:

- неизвестно где т.С и т.Д

- чему равна b

- чему равно d

- чему равна q

Задача № 3.
Абсолютно жесткий недеформируемый брус АВ опирается на шарнирно-неподвижную опору и удерживается в равновесии двумя деформированными стальными стержнями. Выполнить расчет на прочность стальных стержней.

Р=50кН, l₁=Lм, А₁=3Асм², l₂=2Lм, А₂=Асм²,

Решение:

1.Определение опорных реакций.

Рисуем на схеме реакции опор А и В, считая их направление положительным. Составляем уравнения равновесия и определяем величину реакций, для чего приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на горизонтальную ось x (ΣP_x=0). Откуда R^x_a=0.

Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно опоры А (ΣM_a=0). Момент силы считаем положительным, если сила стремится повернуть балку против хода часовой стрелки относительно рассматриваемой точки. Раскрыв уравнение моментов, получим:

Приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y (ΣP_y=0), найдем :

Проводим обязательную проверку правильности вычислений опорных реакций. Для этого составляем сумму моментов всех сил относительно произвольной точки, например С:

Сумма моментов равна нулю, следовательно, опорные реакции определены верно.

Составляем расчетную схему балки в виде оси с действующими на нее нагрузками.

2. Построение эпюр.

3. Определение размеров поперечного сечения балки.

Размеры балки определяются максимальными напряжениями в наиболее опасном сечении. В нашей схеме опасное сечение находится над опорой Е.

Из условия прочности определим момент сопротивления поперечного сечения:




Для балки:

• круглого поперечного сечения:

Задача № 4.
Приведена схема трансмиссионного вала с насаженными шкивами: один из них ведущий, остальные ведомые. К шкивами приложены пары сил. Вал вращается равномерно.

Исходные данные:

l₁=0,3м; l₂=0,5м; l₃=0,6м; М₁=12кНм; М₂=6кНм; М₃=18кНм; [τ]=45МПа



Решение:

Из условия равновесия ΣM_x=0 находим крутящий момент M₀:

- M₁ + M₀ - M₂- M₃ = 0;

M₀ = M₁+ M₂ + M₃ = 12+6+18 = 36 кНм.

Знак этого момента положительный – значит, стрелка момента М₀ изображена правильно.

Пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты в произвольном сечении каждого из участков бруса, по направлению слева направо.

Участок I. Условие равновесия: M_K = - M₁ = -12кНм.

Участок II. Условие равновесия: - M₁+ M₀ - M_K = 0, отсюда M_K = - M₁ + M₀ = -12 + 36 = 24 кНм,

Участок III. Условие равновесия: - M₁ + M₀- M₂ – M_K = 0, отсюда M_K = - M₁ + M₀ – M₂ = -12 + 36 - 6= 18 кНм,

По полученным данным строим эпюру M_K, из которой видно, что участок II вала является наиболее опасным, так как в его поперечных сечениях крутящий момент по абсолютному значению имеет максимальную величину: M_K=24кНм.

2. Определяем диаметр бруса. Из условия прочности имеем

откуда

3.Округляем значение диаметра до стандартного большего размера и окончательно принимаем d =14 мм.

При этом полярные моменты сопротивления и инерции определятся соответственно:

W_P≈0,2d³=0,2^.(1,4^.10^-2)³ = 0,55^.10^-6м³;

J_P≈0,1d⁴=0,1^.(1,4^.10^-2)⁴=0,38^.10^-8м⁴.

5. Вычисляем величины касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях отдельных участков бруса:

Участок I:

Участок II:

Участок III:

Знак касательного напряжения не имеет физического смысла и здесь указан лишь для достижения соответствия эпюр τ и M_K. Все значения касательных напряжений не превышают допускаемого (τ < [τ] = 45 МПа), следовательно, диаметр вала по условию прочности подобран правильно.

При W_P=const касательные напряжения прямо пропорциональны крутящему моменту M_K, поэтому эпюры τ и M_K подобны и отличаются только масштабом.
6. Углы поворота поперечных сечений бруса на различных его участках относительно неподвижного сечения О определяем по формуле

где l – длина участка, для которого определяется угол поворота.

В пределах между границами участков при величины углов поворота изменяются по линейному закону.

Жесткость поперечного сечения рассчитываемого вала:

GJ_P=8⋅10⁴⋅10⁶ Па^.31,1^.10^-8м⁴ = 24880 Нм².

Определяем углы поворота сечений вала по его участкам:

1) участок АВ:

2) участок ВС:

3) участок CD:

Определяем абсолютные углы поворота сечений вала:

1) =0

2)

3)

4)

По полученным данным построена эпюра .

Относительные углы поворота сечений определяются по формуле

При GJ_P = const относительный угол поворота Θ прямо пропорционален крутящему моменту M и, следовательно, эпюры Θ и M подобны.

Определяем относительные углы поворота сечений вала:

Участок I:

Участок II:

Участок III:

Проверяем полученные углы поворота поперечных сечений на условие жесткости вала:

θ_i ≤ [θ] = 1 град./м

Если это условие не выполняется, то определяется допустимый диаметр вала, исходя из условия жесткости, в нашем случае выполняется

Задача 5
Приведена схема нагружения стальных балок, все действующие силы лежат в одной плоскости, проходящей через ось балки и вертикальную ось поперечных сечений. Балка считается невесомой. Известно: q = 15кН/м; Р = 30кН; М = 25кНм; [σ] = 160 МПа. Подобрать двутавровую балку.


1. Определение опорных реакций.

Рисуем на схеме реакции опор А и В, считая их направление положительным. Составляем уравнения равновесия и определяем величину реакций, для чего приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на горизонтальную ось x (ΣP_x=0). Откуда R^x_a=0.

Приравниваем к нулю сумму моментов всех сил относительно опоры А (ΣM_a=0). Момент силы считаем положительным, если сила стремится повернуть балку против хода часовой стрелки относительно рассматриваемой точки. Раскрыв уравнение моментов, получим:

Приравниваем к нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y (ΣP_y=0), найдем R_A :

Проводим обязательную проверку правильности вычислений опорных реакций. Для этого составляем сумму моментов всех сил относительно произвольной точки, например C:

Сумма моментов равна нулю, следовательно, опорные реакции определены верно.

Составляем расчетную схему балки в виде оси с действующими на нее нагрузками.

2. Построение эпюр.

Балку разделим на четыре участка АВ, ВС, СD. На участках АВ, ВС построение эпюр ведем от сил слева, а на участке СD – от сил справа от сечения.

Участок АВ (0 ≤ x ≤ 0,5м)

Q = R_A – qx

При x=0 Q= 30.8 кН; при x=0.5 Q= 23.3 кН

M = -R_Ax + 0.5qx²-M

При x=0 M=-25kHм; при x=0.5м М= -38,5 кНм
Участок BC (0.5м ≤ x ≤ 6.5м):

Q = R_А – P – 0.5q =-6,7

M = -R_Ax + 0.5q(x-0.25) + P(х-0.5) -M

При x=0.5 M = -38,5; при x=6.5 M = 1,8 кНм.

Участок CD (0м ≤ x ≤ 0.5м):

Q = qx

При x=0 Q= 0 кН; при x=0.5 Q= 7.5 кН

M = 0.5qx²

При x=0 M=0; при x=0.5м М= 1,8 кНм
Построение эпюры производим непосредственно под рисунком схемы балки с действующими нагрузками.

3. Определение размеров поперечного сечения балки.

Размеры балки определяются максимальными напряжениями в наиболее опасном сечении. В нашей схеме опасное сечение находится над опорой E.

Из условия прочности определим момент сопротивления поперечного сечения:

Для балки:

• сечения из двутавра: из таблицы сортамента выбираем двутавр № 10 , имеющий параметры:

W_x=39,7 см³