1. Может ли проекция куба быть семиугольником? Ответ обосновать.
2. Постройте сечение тетраэдра АВСD плоскостью, параллельной ребру АС и проходящей через точки Р и Q на рёбрах АВ и CD такие, что BP:PA = CQ:QD = 1:2.
3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а. На рёбрах А₁D₁ и ВС взяты точки К и М так, что A₁K = a, CM = a . Найдите периметр сечения куба плоскостью, проходящей через точки К и М параллельно прямой С₁D.
4. Основанием пирамиды SABCD является ромб с диагоналями АС = а, BD = b. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно с. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку А и середину К ребра SC параллельно прямой BD, и найдите площадь этого сечения.
5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S на отрезке AD взяты три точки, делящие его на четыре равные части. Через эти точки проведены сечения, параллельные плоскости SAB. Найдите отношения площадей указанных сечений.
6. Точки К и L - середины рёбер АА₁ и В₁С₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, а точка М делит ребро CD в отношении 2 : 1, считая от вершины С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью KLM, и найти в каком отношении оно делит рёбра параллелепипеда.
7. Три диагонали параллелепипеда попарно перпендикулярны, а их длины равны а,b и c. Найдите длину четвёртой диагонали.
8. Проекцией куба является правильный шестиугольник со стороной а. Найдите длину ребра куба.
9. Приведите пример тетраэдра, у которого высоты (высотой тетраэдра называется прямая, проходящая через его вершину перпендикулярно противоположной грани) не пересекаются в одной точке. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда две пары его противоположных рёбер перпендикулярны.
10. В тетраэдре ABCD плоские углы ADB, BDC, CDA прямые. Докажите, что ортогональной проекцией вершины D на плоскость АВС является точка пересечения высот треугольника АВС.
11. На ребре DB тетраэдра ABCD выбрали точки Е и F так, что DE : EF : FB = 1 : 1 : 2. Сечения тетраэдра двумя параллельными плоскостями, проходящими через точки Е и F, имеют площади 5 и 16 соответственно, причём первое из этих сечений - треугольник, одна из вершин которого делит ребро DA в отношении 2 : 1, считая от вершины D. Найти:

а) в каком отношении ребро АВ делится второй плоскостью,

б) сечение тетраэдра этими плоскостями.
12.

а) Доказать, что сечение куба плоскостью, проходящей через его центр, является либо параллелограммом, либо шестиугольником с попарно параллельными и равными сторонами;

б) Может ли отношение длин главных диагоналей этого шестиугольника быть равным 1,3?
13. Из любой ли точки пространства можно провести прямую, пересекающую обе данные скрещивающиеся прямые?