1. Может ли проекция куба быть семиугольником? Ответ обосновать.
2. Постройте сечение тетраэдра
АВСD плоскостью, параллельной ребру
АС и проходящей через точки
Р и
Q на рёбрах
АВ и
CD такие, что
BP:PA = CQ:QD = 1:2.
3. Дан куб ABCDA
1B
1C
1D
1 с ребром
а. На рёбрах
А1D1 и
ВС взяты точки
К и
М так, что A
1K =
a,
CM =
a . Найдите периметр сечения куба плоскостью, проходящей через точки
К и
М параллельно прямой
С1D.
4. Основанием пирамиды
SABCD является ромб с диагоналями
АС =
а, BD = b. Боковое ребро
SA перпендикулярно плоскости основания и равно
с. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку
А и середину
К ребра
SC параллельно прямой
BD, и найдите площадь этого сечения.
5. В правильной шестиугольной пирамиде
SABCDEF с вершиной
S на отрезке
AD взяты три точки, делящие его на четыре равные части. Через эти точки проведены сечения, параллельные плоскости
SAB. Найдите отношения площадей указанных сечений.
6. Точки К и
L - середины рёбер АА
1 и В
1С
1 параллелепипеда ABCDA
1B
1C
1D
1, а точка
М делит ребро
CD в отношении 2 : 1, считая от вершины
С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью
KLM, и найти в каком отношении оно делит рёбра параллелепипеда.
7. Три диагонали параллелепипеда попарно перпендикулярны, а их длины равны
а,b и c. Найдите длину четвёртой диагонали.
8. Проекцией куба является правильный шестиугольник со стороной
а. Найдите длину ребра куба.
9. Приведите пример тетраэдра, у которого высоты (высотой тетраэдра называется прямая, проходящая через его вершину перпендикулярно противоположной грани) не пересекаются в одной точке. Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда две пары его противоположных рёбер перпендикулярны.
10. В тетраэдре
ABCD плоские углы
ADB, BDC, CDA прямые. Докажите, что ортогональной проекцией вершины
D на плоскость
АВС является точка пересечения высот треугольника АВС.
11. На ребре
DB тетраэдра
ABCD выбрали точки
Е и
F так, что
DE :
EF :
FB = 1 : 1 : 2. Сечения тетраэдра двумя параллельными плоскостями, проходящими через точки
Е и
F, имеют площади 5 и 16 соответственно, причём первое из этих сечений - треугольник, одна из вершин которого делит ребро
DA в отношении 2 : 1, считая от вершины
D. Найти:
а) в каком отношении ребро АВ делится второй плоскостью,
б) сечение тетраэдра этими плоскостями.
12.
а) Доказать, что сечение куба плоскостью, проходящей через его центр, является либо параллелограммом, либо шестиугольником с попарно параллельными и равными сторонами;
б) Может ли отношение длин главных диагоналей этого шестиугольника быть равным 1,3?
13. Из любой ли точки пространства можно провести прямую, пересекающую обе данные скрещивающиеся прямые?