4.10.4 Крутое восхождение по поверхности отклика
Чтобы найти оптимальную точку поиска (рис. 4.8), необходимо осуществить движение по градиенту.

На рисунке изображены кривые равного выхода поверхности отклика для двух независимых переменных х₁ и х₂. Поверхность отклика имеет вид холма с вершиной в точке «М». Чтобы попасть в окрестность этой точки из точки А, проводим направление градиента функции отклика. Это направление АВ, перпендикулярное линиям уровня. Градиент непрерывной однозначной функции φ есть вектором

, (4.24)

где Δφ – обозначение градиента; - частная производная функции по і-му фактору; i, j, к – единичные векторы в направлении координатных осей. Следовательно, составляющие градиента суть частные производные функции отклика, оценками которых являются коэффициенты регрессии.

Рисунок 4.8 – Движение по поверхности отклика методами

однофакторного эксперимента и градиента

Изменяя независимые переменные пропорционально величинам коэффициентов регрессии, будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому крутому пути. Процедура движения к почти стационарной области называется крутым восхождением.

Технику расчета крутого восхождения рассмотрим на примере одного фактора (рис.4.9).

Рисунок 4.9 – Расчет координат точек в направлении

градиента

Значение коэффициента регрессии равно тангенсу угла между линией регрессии и осью данного фактора. Если его умножить на интервал варьирования, который является прилежащим катетом в прямоугольном треугольнике ОАВ, то получится противолежащий катет АВ, который и дает координатные точки, лежащие на градиенте.

Обобщение на случай к факторов делается механически, т.к. все эффекты независимы друг от друга. Существенно только соотношение произведений коэффициентов на соответствующие интервалы. Их абсолютные величины могут все одновременно умножаться или делиться на любое положительное число. При этом получатся точки, лежащие на том же градиенте, но с другим шагом. Эта процедура заключается в том, чтобы к нулевому уровню последовательно алгебраически прибавлять величины, пропорциональные составляющим градиента. Если будет небольшой шаг, то он потребует значительного числа опытов, а большой шаг увеличивает вероятность проскока области оптимума [17].

Для качественных факторов на двух уровнях либо фиксируется лучший уровень, либо градиент реализуется дважды для каждого уровня в отдельности. Незначимые факторы стабилизируются на любом уровне в интервале ±1. Если нет специальных соображений, а по экономическим соображениям выгодно поддерживать нижний уровень, то выбирают его. В движении по градиенту эти факторы не участвуют. Расчет крутого восхождения сводится к тому, чтобы выбрать шаг движения по одному из факторов и пропорционально произведениям коэффициентов регрессии на интервалы варьирования рассчитать шаги по другим факторам.

Рассчитав составляющие градиента, получим условия мысленных опытов. Число мысленных опытов зависит от задачи. Ограничением сверху служит граница области определения хотя бы по одному из факторов. Иногда по технологическим соображениям нет смысла определять условия многих опытов. Обычно рассчитывается около пяти мысленных опытов.

Условия мысленных опытов следует тщательно обдумать и убедиться, что нет затруднений в их реализации. Если что-то не ладится, можно изменить шаг и рассчитать мысленные опыты заново.

Крутое восхождение можно считать эффективным, если хотя бы один из реализованных опытов даст лучший результат в сравнении с наилучшим опытом серии. Когда крутое восхождение неэффективно, принятие решения зависит от определенной ситуации (далеко от оптимума, близко, неопределенно) и от адекватности линейной модели. Если область оптимума близка при реализации матрицы планирования и удалось получить достаточно высокое значение параметра оптимизации и при крутом восхождении улучшить их не удалось, то наиболее типичными являются решения: 1) окончить исследования (выбирается лучший опыт); 2) построить план второго порядка для описания области оптимума.

Если область оптимума далека и линейная модель адекватна, то в этом случае целесообразно передвинуться в другую область факторного пространства.

В случае, когда область оптимума далеко, а линейная модель не адекватна, необходимо выяснить причины неадекватности линейной модели. Ими могут быть:

- интервал варьирования выбран неудачно;

- исходная модель строилась по полуреплике. Нужно достроить полуреплику до полного факторного эксперимента, получить раздельные оценки для всех коэффициентов регрессии и совершить новое крутое восхождение; из реализованных опытов один даст лучший результат по сравнению с наилучшим опытом серии.

После завершения крутого восхождения ситуации различаются по признаку: оказалось крутое восхождение эффективным или нет. Об эффективности движения по градиенту судят по величине параметра оптимизации. Движение по градиенту считается эффективным, если реализация мысленных опытов, рассчитанных на стадии крутого восхождения, приводит к улучшению значения параметра оптимизации по сравнению с наилучшим результатом в матрице.

При эффективном крутом восхождении возможны два исхода:

- область оптимума достигнута или область оптимума не достигнута. В случае, когда область оптимума достигнута, экспериментатор может окончить исследования, если задача заключалась в достижении области оптимума, или продолжить исследование, если задача заключалась в детальном ее изучении. В случае, когда область оптимума не достигнута, то необходимо ставить линейный план следующего цикла и продолжать исследование;

- исходная модель строилась по дробной реплике 2^к-р, где р > 1. В этом случае целесообразно построить матрицу второй серии опытов, изменив все знаки на обратные. В случае нелинейности исходной модели можно попытаться преобразовать параметр оптимизации.

Если крутое восхождение неэффективно, а положение оптимума не определенно, то рекомендуется поставить опыты в центре эксперимента с тем, чтобы оценить вклад квадратичных членов. При значимой сумме можно достроить линейный план до плана второго порядка, так как наличие квадратичных членов свидетельствует о близости к почти стационарной области.

Главным признаком, по которому судят об окончании исследования, – это значения параметра оптимизации. Если параметр оптимизации достиг возможного предела, т.е. достиг цели, в этом случае необходимо провести интерпретацию результата. Когда полученный результат соответствует исходным теоретическим представлениям о процессе, то полученный результат подтверждает правильность теории [17].

4.11 Примеры решения задачи оптимизации
4.11.1 Пример 1 Разработать состав чугунного сплава, стойкого в условиях абразивного изнашивания.

Для решения этой задачи определяются с системой легирования сплава. Ею может быть G – Ti – Mn – Si. Соотношение входящих в систему элементов принимаем исходя из априорной информации о их влиянии на стойкость металла при работе изделия в условиях абразивного изнашивания. При этом количество углерода определяется с учетом его содержания в износостойких сплавах. Верхний и нижний уровень по углероду определяли с учетом литературных и патентных данных. На основании этих данных количество углерода в сплаве ограничили в пределах от 2,5 до 3,5%.

Одним из элементов, образующих наиболее твердые и стойкие карбиды, является титан. С углеродом титан образует соединение TiC с широкой областью гомогенности. Микротвердость карбида титана составляет около 3200 кгс/см². В чугунах титан оказывает значительное влияние как на графитизацию, так и на металлическую матрицу. Присутствие его в чугуне способствует измельчению структуры и рафинированию металла. С введением в чугун титана свыше 0,1% увеличивается отбел [18, 19]. В износостойких сплавах его содержание колеблется в пределах от 0,1 до 1,5% [19, 20]. С учетом априорной информации и теоретических предположений количество титана ограничили в пределах от 4,0 до 1,0%.

Одним из важных легирующих элементов является марганец, который способствует перлитизации металлической матрицы и раскислению металла. В составе белых чугунов его содержание не превышает 1,2%. Для предупреждения горячих трещин его вводят в состав около 0,6%. Поэтому количество марганца мы ограничили в пределах от 0,6 до 1,2%.

Важным легирующим элементом является кремний, который совместно с углеродом оказывает наибольшее влияние на структуру и свойства сплавов. При небольших концентрациях он утончает структуру, а при концентрации более 0,78% оказывает заметное влияние на графитизацию. В чугунах с мартенситной основой содержание кремния не должно превышать 0,6%. При содержании его в чугуне более 3,5% в структуре появляется графит, при этом уменьшаются прочностные свойства [19]. Поэтому при разработке износостойкого сплава в его состав ввели кремний в количестве около 0,7%.

При решении задачи с определением оптимального состава осуществляли полный факторный эксперимент 2³. В качестве факторов х₁, х₂, х₃ выбраны углерод, титан и марганец – элементы, наиболее эффективно влияющие на повышение износостойкости сплавов. В качестве параметра оптимизации выбираем относительную износостойкость при абразивном изнашивании. При планировании эксперимента использовали кодированное значение факторов +1 и -1. Для простоты записи единицы опускаем. Число опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов, определяем по формуле (4.6)

N = 2^К,

где число факторов к равно 3; N = 2³ = 8 (опытов).

Выбор экспериментальной области факторного пространства выполняем после анализа априорной информации. В этой области выбирали подобласть для планирования экспериментов, для чего определяли уровень и интервал варьирования. На основе обзора литературных и патентных источников, а также предварительного апробирования полученного металла установили верхний и нижний пределы содержания элементов (уровни), наиболее сильно влияющие на образование структуры металла. В связи с этим основной уровень был установлен:

- для углерода ;

- для титана ;

- для марганца ,

а интервал варьирования:

- для углерода 3,5 – 3,0 = 0,5;

- для титана 4,0 – 2,5 = 1,5;

- для марганца 1,2 – 0,9 = 0,3.

При решении задачи исследования зависимости износостойкости от состава сплава математическую модель задаем уравнением регрессии в виде линейного полинома

у=в₀+в₁х₁+в₂х₂+в₃х₃+в₁₂х₁х₂+в₁₃х₁х₃₊в₂₃х₂х₃+в₁₂₃х₁х₂х₃,(4.25)

где у – выходной параметр; в₀, ... , в₃ – коэффициенты регрессии; х₁, х₂, х₃ – факторы.

По результатам проведенных исследований, с учетом установленных верхнего и нижнего уровней варьирования элементов, составляем матрицу планирования экспериментов (табл. 4.11).

Т

аблица 4.11 – Матрица планирования 2³

Наименование	Свободный член	С	Ti	Mn	CTi	CMn	TiMn	CTiMn	ε
Основной уровень		3,0	2,5	0,9					1,3
Интервал варьирования		0,5	1,5	0,3
Верхний уровень (+1)		3,5	4,0	1,2
Нижний уровень (-1)		2,5	1,0	0,6
Код опыта	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	у
1	+	-	-	-	+	+	+	-	0,4
2	+	+	-	-	-	-	+	+	0,7
3	+	-	+	-	-	+	-	+	1,7
4	+	+	+	-	+	-	-	-	1,6
5	+	-	-	+	+	-	-	+	0,73
6	+	+	-	+	-	+	-	-	0,75
7	+	-	+	+	-	-	+	-	1,54
8	+	+	+	+	+	+	+	+	1,48
	1,1125	0,02	0,4675	0,0125	-0,06	-0,02	-0,0825	0,04	8,9

Коэффициенты регрессии математической модели (линейного уравнения), описывающей поверхность отклика в локальном участке вблизи выбранного основного уровня, рассчитывали по формуле (7) откуда:

; , (4.26)

где N – количество опытов; x_ji = значения х_j в і-м опыте;

в_j - коэффициент регрессии і – го фактора; в_о – свободный член;

у_j - параметр оптимизации в і-м опыте. Тогда:

;

;

;
;

;

;

;

.

В результате расчета были получены следующие коэффициенты регрессии: х_о = 1,1125; х₁ = +0,02;

х₂ = +0,4675; х₃ = +0,0125; х₁х₂ = -0,06; х₁₃ = -0,03;

х₂₃ = -0,0825; х₁₂₃ = +0,04.

Для исключения ошибки была произведена рандомизация опытов. Порядок проведения опытов выбираем по таблице случайных чисел [17]. После расчета коэффициентов регрессии и проверки их статистической значимости получено уравнение регрессии, открывающее локальный участок поверхности отклика:

у = ε = 1,1125 + 0,02х₁ + 0,4675х₂ + 0,0125х₃ - 0,06х₁₂ -

-0,03х₁₃-0,0825х₂₃+0,04х_123. (4.27)

Проверка статистической значимости показала, что все коэффициенты значимы. Поэтому уравнение (4.27) можно записать в виде

у = 1,1125 – 0,02C + 0,4675Ti + 0,0125Mn -0,06CTi +

+ 0,03CMn - 0,825TiMn + 0,04CTiMn. (4.28)

Проверка адекватности по F-критерию Фишера (табл. 4.12) показала, что уравнение (4.28) является адекватным. Коэффициенты полинома являются частными производными функции отклика по соответствующим переменным. По величине коэффициентов регрессии устанавливаем степень влияния каждого из факторов на параметр оптимизации, а по знаку – характер влияния. При этом, чем больше коэффициенты, тем сильнее влияние фактора. Знак плюс указывает, что с увеличением значения фактора величина параметра оптимизации растет, а при знаке минус – убывает. Знаки коэффициентов регрессии указывают направление движения по поверхности отклика. Коэффициент в₀ не оказывает влияния на расчет градиента. Из уравнения следует, что износостойкость сплава при абразивном изнашивании возрастает с увеличением концентрации титана и уменьшением концентрации углерода.

Для получения сплава с требуемым количеством свойств необходимо осуществить крутое восхождение по неизвестной поверхности отклика. Для этого коэффициенты регрессии умножаем на интервал варьирования соответствующих переменных. По полученным значениям намечаем серию опытов крутого восхождения. В качестве «единичного шага» выбираем значение, удобное для шихтовки наиболее сильно влияющего на структуру элемента - титана. С учетом выбранного «единичного шага» для титана определяем единичные шаги для остальных элементов. При определении направления движения значения факторов изменяли пропорционально значениям соответствующих коэффициентов регрессии с учетом их знаков. При реализации крутого восхождения (табл. 4.12) уже на первом шаге определилось увеличение износостойкости.

При дальнейшем движении по линии крутого восхождения (опыты 10, 11, 12) износостойкость падает. Это свидетельствует о том, что достигнута область экстремума. Оптимальный состав износостойкого сплава будет следующий (в массовых процентах): углерод – 2,48, титан – 5,0, марганец-0,606. Выполненное крутое восхождение оказалось эффективным, так как результаты опыта превысили лучший результат опыта матрицы планирования.

Описанная методика и приведенный пример составляют сокращенный вариант планирования эксперимента в материаловедении методом Бокса-Уилсона при поиске оптимальных условий проведения процессов.

Коэффициенты регрессии приведенных математических зависимостей могут быть рассчитаны с помощью метода наименьших квадратов по программе, входящей в математическое обеспечение для решения задач оптимизации Ехcе 7.0. Оценка достоверности уравнения регрессии, также выполненная в программе Ехcе 7.0, позволяет принять гипотезу об адекватности регрессионной модели.

Таблица 4.12 – Расчет крутого восхождения

Наименование	С	Ti	Mn	ε
Код	х1	х2	х3	у
Опыт 3	2,5	4,0	0,6	1,7
Коэффициенты вj	0,02	0,4675	0,0125
Коэффициенты j вj Ij	0,5 -0,01	1,5 0,7	0,3 -0,004
шаг при изменении х2 на 1,0	-0,02	1,0	0,006
Реализованный опыт 9	2,48	5,0	0,606	1,8
Нереализованный опыт 10 опыт 11 опыт 12	2,40 2,44 2,42	6,0 7,0 8,0	0,612 0,618 0,624	1,58 1,41 1,2

<предыдущая страница | следующая страница>