«Четырёхугольники»

Тема: «Четырёхугольники»

Основные сведения:

Многоугольники:

Выпуклый Невыпуклый

Сумма углов выпуклого многоугольника:

_n = (n – 2)  180.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника:

360

Пример 1. Найти сумму углов выпуклого 14-угольника:

₁₄ = (n – 2)  180 = (14 – 2)  180 = 2160.

Пример 2. Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если сумма его углов равна 3240?

(n – 2)  180 = 3240;

n – 2 = 3240 : 180;

n – 2 = 18;

n = 20.

Параллелограмм:

1) Выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (определение).

2) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны (1 свойство).

3) В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (2 свойство).

Признаки параллелограмма:

1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник параллелограмм (1 признак).

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырёхугольник параллелограмм (2 признак).

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник параллелограмм (3 признак).

Задача 1.

По данным рисунка найдите периметр параллелограмма и D, если KAD = 15:

Решение:

1) АВСD – параллелограмм  ВС || AD (по определению). AK – секущая, ВС || AD  KAD = BKA (н.л.у.).

2) KAD = BKA, KAD = BAK  ABK – равнобедренный (по признаку р/б тр-ка)  АВ = ВК = 15.

3) ВС = ВК + КС = 15 + 4 = 19.

4) АВСD – паралл-мм  АВ = CD; BC = AD (1 св. пар-ма)  Р_ABCD = 2АВ + 2BC = 30 + 38 = 68.

5) KAD = BAK  A = 30. A = С = 30 (1 св-во пар-ма). В + D = 360 - 2A = 300.

В = D = 300 : 2 = 150 (1 св-во пар-ма).

Или: ВА || СD (по опред.), AD – секущая, A + D = 180 (одностор.)  D = 180 - 30 = 150.

Задача 2.

По данным рисунка докажите, что четырёхугольник MNPR – параллелограмм:

Доказательство:

1) Проведите ВD.

2) ABD: М – середина АВ, R – середина AD  – средняя линия ABD (по опред.)  MR || ВD,

MR = ВD.

3) Аналогично из СBD: NP – средняя линия CBD  NP || ВD, NP = ВD.

4) Тогда, NP || MR и NP = MR  ABCD – параллелограмм по 1 признаку параллелограмма.

Трапеция:

Две противоположные стороны параллельны (основания), две другие (боковые стороны) не параллельны.

Если боковые стороны равны – трапеция равнобедренные  углы при основаниях попарно равны.

Если один из углов трапеции прямой – трапеция прямоугольная.

Прямоугольник:

Параллелограмм, у которого все углы прямые.

Все свойства параллелограмма сохраняются.

Особое свойство: диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм – прямоугольник.

Ромб:

Параллелограмм, у которого все стороны равны.

Все свойства параллелограмма сохраняются.

Особое свойство ромба: диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат:

Прямоугольник, у которого все стороны равны.

Обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:

1) Все углы квадрата прямые;

2) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

Задача 3.

Найдите периметр AOD по данным рисунка, если ABCD – прямоугольник:

Решение:

1) AСD – прямоугольный (D – прямой, т.к. ABCD – прямоугольник), САD = 30  CD =

AC = 6 см (по св-ву прямоуг. тр-ка);

2) ABCD – прямоугольник  CD = AB = 6 см (св. пар-ма), AO = OC = DO = BO = 6 см (особ. св-во пр-ка)  Р_АВО = АВ + ВО + АО = 18 см.

Задача 4.

По данным рисунка найдите величину углов 1, 2 и 3, если ABCD – ромб и А = 48:

Решение:

1) ABCD – ромб  BDAC  3 = 90 (прямой, особое св-во ромба);

2) А = С = 48 (св-во пар-ма), АС – биссектриса А и С (особое св-во ромба)  2 = C = 24.

3) В + С = 180 (одностор. углы)  В = 180 - С = 156.

4) BD – биссектриса B (особое св-во ромба)  1 = B = 78.