Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Цель: обобщить, систематизировать и расширить знания, закрепить умения и навыки
учащихся при решении задач по теме: «Числовые последовательности».
Задачи урока:
Образовательные:
-
обобщить, систематизировать и расширить ранее полученные знания и закрепить
умения у учащихся при решении задач по теме: «Арифметическая и геометрическая
прогрессии»; проверить полноту и осознанность усвоения знаний учащихся по теме.
Развивающие:
развитие памяти, внимания, мышления, математической речи; развитие познавательных процессов личности, навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом; развить интерес учащихся к предмету.
Воспитательные:
воспитывать культуру общения; создать условия для формирования чувства прекрасного.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот в последний урок
Нас поведет
Красивый лозунг
“ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”
2.Мотивация урока.
Здравствуйте, ребята. Понятие числа пришло к нам из глубокой древности. Но впервые о числах начал рассуждать Пифагор, который родился на острове Самосе в VІ веке до нашей эры. Пифагор пришел к выводу, что вообще все можно выразить с помощью чисел. «Числа правят миром» - провозгласил он.
Пифагор пришел к выводу, что все числа объединяются по определенным признакам и свойствам. Наверно, к такому выводу приходили и египтяне, и вавилоняне, и греки, жившие до него. Но никто из них не ставил вопрос: «А почему так?»
При изучении тем «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия» мы пытались ответить на этот вопрос. Для этого мы и созвали сегодня Совет экспертов. Эксперты – ученики, сидящие в классе по группам (ребята разбиты на четыре группы). Для того чтобы в конце урока мы смогли быстро и объективно подвести итоги, у каждой группы на столе лежит лист учета результатов, в котором ваши капитаны будут заносить полученные на каждом этапе баллы. Сейчас в 1 строчке “прогнозируемая оценка”: оцените по 12-и бальной системе свои знания и умения по теме.
Лист учета результатов
|
№п/п |
Ф.И. учащихся |
Прогно-зиру-емая оценка |
Д/з (5баллов) |
Формулы (8 баллов) |
Карусель (6 баллов) |
Оценка за работу в группе (5 баллов) |
Оценка за урок 24:2=12 баллов |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разминка: |
Тест: |
|
|
|
|
|
ХОЧУ: я хочу пожелать вам, ребята, увеличить объём своих знаний в 1,5 раза; хочу пожелать вам «Ни пуха, ни пера!».
МОГУ: сообщаю, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.
УМЕЮ: мы умеем применять с вами рациональные способы для решения задач.
ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым, который увидит ход решения», а вместе с вами сегодня мы движемся только вперед, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка обозначает движение вперёд.
Выступление 1 группы: «Из истории», демонстрация презентации.
Развитие учения о прогрессиях
Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio), бук вально означает «движение вперед» (как и слово «прогресс»). И встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI вв.). Пер воначально под nрогрессией понимали всякую числовую после довательность, построенную по закону, позволяющему неограни ченно продолжать ее в одном направлении, например последова тельности натуральных чисел, их квадратов и кубов.
О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствуют папирусы Ахмеса. Некоторые задачи имеют отвлеченный характер. Например:
“В доме было 7 кошек.
Каждая кошка съедает 7 мышей.
Каждая мышь съедает 7 колосьев.
Каждый колос дает 7 растений.
На каждом растении вырастает 7 мер зерна.
Сколько всех вместе?”.
Возможно, что древние вавилоняне и другие народы той дале кой эпохи имели некоторые общие приемы решения задач, которыe дошли до нас, однако об этих приемах мы пока ничего не знаем. Теоретические сведения, связанные с прогрессиями, впервые встре чаются в дошедших до нас документах Древней Греции.
В «Псаммите» («Исчислении песчинок») Архимед впервые со поставляет арифметическую и геометрическую прогрессии:
1, 2, 3, 4, 5,. .. . . . . . .
10, 
.,
, 
. . . .
и указывает на связь между ними, например: ·
=
=
Прогрессии рассматривались как бы продолжениями пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций на прогрессии.
Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVII в. Именно так следует объяснить тот факт, что символ
, встречающийся у Барроу, а затем у других английских ученых того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках XVIII в. геометрическую прогрессию. По аналогии знаком
стали обозначать арифметическую прогрессию.
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессии, были известны китайским и индийским ученым. Так, Ариабхатта (V в.) знал формулы для общего члена суммы, арифметической прогрессии и др.
Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. Формула для суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVIІ в.
3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з. ( в лист учета результатов заносится оценка за проверенное д/з).
1) Разминка. Знатоки правил и определений. Фронтальная работ.
Члены команд по очереди отвечают на теоретические вопросы по данной теме. Результаты заносятся в лист учета.
-
Какую последовательность называют числовой? -
Как называются объекты, образующие последовательность? -
Способы задания последовательности. -
Какими бывают числовые последовательности? -
Определение арифметической прогрессии. -
Какое число называется разностью арифметической прогрессии? Как обозначается это число? -
Если d > 0, то прогрессия … -
Если d < 0, то прогрессия … -
Если d = 0, то прогрессия… -
Определение геометрической прогрессии. -
Какое число называется знаменателем геометрической прогрессии? Как оно обозначается? -
При 0 < q < 1 прогрессия… -
При q > 1 прогрессия… -
При q = 1 прогрессия…
Каждой из предложенных последовательностей дать характеристику (задание на узнавание последовательности)
-
1;2;4;8;… -
1;4;9;16;… -
1;-2;4;-8;… -
42; 39; 36… -
-9; -9; -9… -
2; -2; 2; 2…
2) Вспомни формулы. Учащимся предлагается заполнить таблицу. Индивидуальная работа.
|
Прогрессии |
Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
1. Определение |
|
|
|
2. Формула n-первых членов прогрессии |
|
|
|
3. Сумма n-первых членов прогрессии |
|
|
|
4. Свойства |
|
|
Затем на экране появляются формулы арифметической и геометрической прогрессии. Обменяйтесь с соседом табличкой. Проверяем правильность написания формул, подсчитываем количество верных ответов, записываем и возвращаем таблицу обратно. Заполняем лист учета.
|
Прогрессии |
Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
1. Определение |
an+1= an +d |
bn+1 = bn*q (q≠0, q≠1) |
|
2. Формула n-первых членов прогрессии |
an=a1 + d(n-1) |
bn = b1*qn-1 |
|
3. Сумма n-первых членов прогрессии |
|
|
|
4. Свойства |
|
|
Бесконечно убывающая
4. Обобщение и систематизация знаний по теме.
1) Тест.
Вам предлагается решить небольшой тест. Обведите верные варианты ответов в кружок. Сопоставьте полученные ответы буквам и прочтите зашифрованное слово. Запишите буквы в таблицу. Работа в группах.
Найти пятые члены следующих арифметических прогрессий:
(an ): - 6; - 3;… Ответ: А. – 6; Б. 8; В. 18; Г. 6.
(an ): 
= 6, d = 5. Ответ: А. 26; Б. 11; В. 14; Г. 1.
an = 27 - 6n Ответ: Е. 57; Р. – 2; У. – 3; Ф. 3
(an ): = - 26, d = 7. Ответ: П. 54; Р. – 2; С. 2; Т. 33
(an ): 4; 6; 8;… Ответ: М. – 4; Л. – 12; П. 6; С. 12.
Какое слово у вас получилось?
|
№ задания |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Ответ (число) |
6 |
26 |
- 3 |
2 |
12 |
|
Слово |
Г |
А |
У |
С |
С |
Выступление 2 группы: «Задача Гаусса», демонстрация презентации.
А знаете ли вы кто такой Гаусс?
Карл Гаусс (1777 – 1855) – немецкий математик, астроном, геодезист. Он еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. В истории математики известен такой случай. Однажды, а было это в Германии, в конце 18 в., для того чтобы заставить учеников поработать, учитель дал им задание подсчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Какова же было его удивление, когда уже через несколько минут один ученик сказал ему ответ: искомая сумма равна 5050! Этот ученик, Карл Фридрих Гаусс, а ему было тогда 10 лет, стал одним из великих математиков мира. Как же маленькому Гауссу удалось быстро подсчитать сумму? Маленький Гаусс решил эту задачу за 1 минуту, сообразив, что 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …, 101 • 50 = 5050.
Какая задача была предложена Гауссу?
Надо было найти сумму ста первых членов арифметической прогрессии:
1; 2; 3; …, 99; 100. S100 = (a1 + a100) • 100/2 = (1 + 100) • 100/2 = 5050.
До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Ему принадлежат формулировка и доказательства множества свойств и теорем математики. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 года Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле. Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора…
2) “Карусель” — обучающая самостоятельная работа
Каждый ученик получает листок с задачами. Если шесть человек, то и задач шесть (задачи элементарные).
|
1 |
Дано: (а n )  , а1 = – 3, а2 = 4.
Найти: а16 – ? |
Фамилия, имя_________ Ответ:________ |
|
2 |
Дано: (b n )  , b 12 = – 32, b 13 = – 16.
Найти: q – ? |
Фамилия, имя_________ Ответ:________ |
|
3 |
Дано: (а n ) , а21 = – 44, а22 = – 42.
Найти: d - ? |
Фамилия, имя_________ Ответ:________ |
|
4 |
Дано: (b n ) , bп > 0, b2 = 4, b4 = 9.
Найти: b3 – ? |
Фамилия, имя_________ Ответ:________ |
|
5 |
Дано: (а n ) , а1 = 28, а21 = 4.
Найти: d - ? |
Фамилия, имя_________ Ответ:________ |
|
6 |
Дано: (а n ) , а7 = 16, а9 = 30.
Найти: а8 –? |
Фамилия, имя_________ Ответ:________ |
Каждую одну-две минуты учитель говорит: “Меняемся”, и ученики передают свой лист по кругу. “Карусель” останавливается, если к каждому вернется лист, на котором в задаче 1 стоит его фамилия. Таким образом, каждый ученик решает все задачи.
Ответы записываются на слайде. Ученики зачеркивают неправильные ответы и сдают работу капитану, который заносит результаты в лист учета.
Ответы: 1) 102; 2) 0,5; 3) 2; 4) 6; 5) – 1,2; 6) 23.
Выступление 3 группы: «Легенда о шахматной доске», демонстрация презентации.
Легенда о шахматной доске
Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века и неудивительно, что с нею связаны различные придания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.
Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Сценка:
Царь: Я, индусский царь Шерам, научился играть в шахматы и восхищен остроумием этой игры и разнообразием в ней положений. Позовите изобретателя Сету!
Сета: (входит) Слушаю, мой повелитель!
Царь: Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Назови награду, которая удовлетворит тебя, и ты ее получишь.
Сета: Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
Царь: Простое пшеничное зерно?
Сета: Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16 и так до 64-ой клетки.
Царь: (смеется) Ты удивил и рассмешил меня, Сета.
Эксперты! Стоит ли царю смеяться? За первую клетку царь должен отдать 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16 и так до 64-ой клетки. Что вы можете сказать об этих числах и сколько зерна должен отдать царь?
Ребята в группах обсуждают задачу.
Решение на слайде: Числа являются членами геометрической прогрессии.
b1 = 1, q = 2, S64 - ?
А как велико это число?
Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря и океаны, горы и пустыни, Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный результат, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться.
Математика – это точная наука. Царь должен отдать
18 446 744 073 709 551 615 зерен.
18 квинтильонов
446 квадрильонов
744 триллиона
073 биллиона (миллиарда)
709 миллионов
551 тысячу
615
А применимы ли прогрессии сейчас?
Выступление 4 группы: «Прогрессии вокруг нас», демонстрация презентации.
Прогрессии вокруг нас
1) Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.
2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
4) Литература. А.С Пушкин «Евгений Онегин».
Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить…
-
Ямб-это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2;4;6;8. Номер ударных слогов образуют арифметическую прогрессию. -
Хорей-это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номер ударных слогов образуют арифметическую прогрессию:1;3;5;7.
5) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
Так, в благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут.
Учащиеся по группам решают данную задачу. Затем самопроверка.
5. Итоги урока. Оценивание. Д/ з.
Прошу вас при помощи смайликов оцените своё эмоциональное состояние после проведённого урока. Смайлики на партах у учеников.
И мне хочется ещё раз обратиться к нашему лозунгу «Прогрессио – движение вперед»
-
Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса? -
А в чём заключается наш прогресс? -
Скажите, что у нас не получилась?
6. Рефлексия.
СИНКВЕЙ (от англ. “путь мысли”) к слову «прогрессия»
1. Одно слово. Существительное или местоимение, обозначающее предмет, о котором идёт речь
2. Два слова. Прилагательные или причастия, описывающие признаки и свойства выбранного предмета.
3. Три слова. Глаголы, описывающие совершаемые предметом или объектом действия.
4. Фраза из четырёх слов. Выражает личное отношение автора к предмету или объекту.
Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.
Спасибо за урок!