1.
Определитель
равен …
-14 4 -18 22
2. Даны матрицы A размера
и B размера 
. Тогда матрица 
будет иметь размер …
Решение:
При умножении матрицы размера на матрицу размера получается матрица размера 
.
3. Матрица 
, после приведения к треугольному виду может быть записана следующим образом…
Решение:
Для приведения матрицы к треугольному виду необходимо произвести ее элементарные преобразования таким образом, чтобы все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, были равны нулю.
Для этого к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 3, а к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2.
.
В получившейся матрице к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на 8.
.
Матрица A приведена к треугольному виду.
4. Система линейных уравнений 
несовместна, если 
равно …
5 2 -5 -2
Решение:
Система линейных уравнений несовместна, если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы.
Расширенная матрица системы имеет вид
. Вычислим минор третьего порядка этой матрицы не содержащий элемент :
. Ранг расширенной матрицы равен трем. Тогда ранг матрицы системы должен быть равен двум (определитель матрицы системы равен нулю). Из этого условия находим :
.
5. Даны точки
, 
, 
и 
. Тогда линии, заданной уравнением 
, принадлежит точка…
Решение:
Если точка принадлежит линии, то при подстановке её координат в уравнение линии должно получиться тождество. Уравнению удовлетворяют только координаты точки , а именно 
.
6. Дано уравнение прямой в виде
. Тогда уравнение этой прямой в отрезках имеет вид …
Решение:
Уравнение прямой «в отрезках» имеет вид 
, где 
и 
– величины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на координатных осях 
и 
соответственно, считая каждый от начала координат. Приведем данное уравнение прямой линии к указанному виду: 
или .
7. Уравнение окружности с центром в точке
и радиусом 
имеет вид …
8. Даны прямая линия
и плоскость 
в пространстве.
Тогда прямая
…
перпендикулярна плоскости 
параллельна плоскости
пересекает плоскость под некоторым острым углом
принадлежит плоскости
Решение:
Из данных уравнений следует, что направляющий вектор прямой 
, а нормальный вектор плоскости 
. Видно, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: 
. Следовательно, прямая либо параллельна плоскости, либо принадлежит ей. Проверим условие принадлежности прямой плоскости. Для этого подставим координаты точки прямой в уравнение плоскости: 
. Видим, что координаты точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости, то есть точка принадлежит плоскости. Таким образом, из всего этого следует, что прямая линия принадлежит плоскости.
9. Область определения функции
имеет вид …
   
10. Количество точек разрыва функции  равно …
0 1 2 3 11. Производная второго порядка функции  равна
   
12. Определённый интеграл    
Решение: Определённый интеграл связан с неопределённым интегралом формулой Ньютона – Лейбница Используя формулу Ньютона – Лейбница, получим: 
13. Даны точки  ,  и  . Тогда вектор  равен …
   
14. В ортонормированном базисе заданы векторы  ,  ,   . Тогда значение выражения  равно …
– 5 Решение: 
15. В ортонормированном базисе  ,  ,  даны векторы  и  своими координатами  и  соответственно.
Тогда векторное произведение  равно …
Решение: Преобразуем выражение  .
Тогда, учитывая, что  , где  – нулевой вектор, и  , получим  .
Векторное произведение 
 .
Тогда  .
Задачу можно решить и так: 1) находим  ;
2) находим  ;
3) находим векторное произведение 
 .
16. В пространстве  определено скалярное поле  . Тогда в точке  дивергенция поля  равна …
24
Решение: Скалярное поле Это поле определяется соотношением  ,
где  ,  ,  .
Для определённого выше векторного поля дивергенция
есть скалярная функция  .
Вычислим значение дивергенции в заданной точке .
 .
Вычисления можно выполнить и в следующем порядке: 1)  ;
2) 
 ;
где  – оператор Гамильтона,
а  – оператор Лапласа (лапласиан);
3)  ;
4) вычислим частные производные 2-го порядка функции 
 ,  ,  ;
5) вычислим значения частных производных 2-го порядка и дивергенции в точке :
 ,  ,
 ,
тогда  .
Итак, дивергенция векторного поля  в заданной точке
 .
17. Комплексное число, сопряженное числу  , имеет вид ...
  
18. Если  , то  равно …
16 2i 2 16i Решение: Если комплексное число Запишем число в тригонометрической форме:
1) находим модуль числа  ;
2) составляем систему уравнений, для нахождения аргумент  и главного значения аргумента числа,
 .
3) находим главное значение аргумента комплексного числа  , которое равно  .
4) тогда  .
Следовательно,  .
19. Все точки  комплексной плоскости, принадлежащие множеству D , изображённому на рисунке,
удовлетворяют условию …    
Решение: Множество D, изображённое на рисунке, представляет собой круг с центром в точке (1;0) и радиуса Модуль комплексного числа  равен  . Тогда модуль комплексного числа  равен  . Следовательно, точки комплексной плоскости, принадлежащие множеству D, удовлетворяют условию .
20. Пусть    
Решение: Производная функции 21. Наименьший положительный период функции  равен …
   
Решение: Если 22. Гармоническое колебание общего вида с амплитудой, равной 10, описывается функцией …    
Решение: Функция вида 23. нечетной функцией с периодом 2 четной функцией с периодом четной функцией с периодом 2 Решение: График четной функции симметричен относительно оси Oy, поэтому функция 25. Предел числовой последовательности 
при  равен …
0,25 1,25 1 4 Решение: Пусть Тогда исходную последовательность можно представить в виде суммы двух последовательностей с общими членами:  ;
 .
Имеем   , т.е. последовательность  ограничена, а  , т.е.  – бесконечно малая последовательность. Тогда произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность, поэтому  .
При последовательность  , поэтому  (замечательный предел) и  .
Тогда применимо свойство  , в силу которого  .
26. Область значений параметра  , при которых заведомо сходится числовой ряд  , где  , имеет вид …
|
|
равен …
, где F(x) – одна из первообразных функции 
.
в тригонометрической форме записи имеет вид 
, то по формуле Муавра 
, где n – натуральное число.
. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке 
имеет вид 
. Следовательно, все точки, принадлежащие множеству D, удовлетворяют неравенству 
, или 
. 
. Тогда 
равно …
равна 
. Тогда 
.
– периодическая функция с периодом T, то функция 
является периодической с периодом 
. Функция 
есть линейная комбинация 2π-периодической и 4π-периодической функций, её период равен наибольшему из данных периодов, т.е. 
.
определяет гармоническое колебание с амплитудой A. Поэтому гармоническое колебание общего вида с амплитудой 10 описывается функцией 
, являющейся …
, 
, – формула общего члена заданной последовательности. 
.
равен 5, то интервал сходимости имеет вид …
является …
и 
дифференциальным уравнением первого порядка
.
,
. Откуда, вычислив интегралы и положив 
, имеем 
. Преобразуя это равенство, находим 
. 
.
подставим в найденное общее решение начальное условие 
, тогда 
и 
. 
имеет вид …
, следовательно, это однородное дифференциальное уравнение. 
, получим 
. Выполнив необходимые подстановки, перейдём к уравнению с разделяющимися переменными 
или 
.
. Интегрируя, получим общий интеграл 
или 
. Подставив начальное условие 
.
. Выражения для функции 
и её производной 
подставляем в первое уравнение и получаем линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 
. 
и находим его корни 
. Получили два разных действительных корня, которым соответствует общее решение дифференциального уравнения 
. Дифференцируя полученное соотношение, находим вторую искомую функцию 
.
(оба шара будут черными) воспользуемся формулой 
, где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события 
. А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь два черных шара из семи имеющихся, то есть 
. Следовательно, 
.
– 
-ый вынутый шар будет белым, 
. Так как, по условию задачи, события 
и 
зависимы, то 
. Применив классическое определение вероятности, вычислим вероятность 
и условную вероятность 
. Тогда 
.
задана законом распределения вероятностей:
.
49 
1,5
, находится как 
. То есть 
.
. То есть 
.
. Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен …
, а во-вторых, его знак совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям удовлетворяет значение 
.
. Тогда конкурирующей может являться гипотеза …
противоречит 
.
ряда Фурье периодической функции 
с периодом 2, заданной на отрезке 
уравнением 
, равен …
2 0 
.