Осенний семестр «Введение в гладкие многообразия» (16-18ч):

1. 
   Гладкие гиперповерхности в Rⁿ. Введение. Дифференцируемость отображений из R^m в Rⁿ. Производная композиции. Теорема о неявной функции. Теорема об обратной функции. Равносильные способы задания гладкой поверхности в Rⁿ.
   

2. 
   Гладкие многообразия и гладкие отображения. Карты, атласы, согласованность. Примеры: сфера, проективная плоскость, грассманианы (плюккеровы координаты), SO(N). Гладкие отображения, ранг отображения в точке, независимость от выбора карты. Подмногообразия, равносильность определений.
   

3. 
   Погружения и вложения. Лемма Сарда. Погружение, вложение, критические точки, критические значения. Множества меры нуль. Лемма Сарда для достаточно гладких (r≥С(n,m)) отображений из M^m в Nⁿ, m≥n.
   

4. 
   Касательное расслоение. Касательное пространство в точке. Случай гладкой гиперповерхности в Rⁿ, абстрактный подход через классы эквивалентности кривых. Касательное расслоение как гладкое многообразие, дифференциал гладкого отображения.
   

5. 
   Теорема Уитни о вложении. Теорема Уитни (ослабленная) о вложении гладкого компактного многообразия в R²ⁿ⁺¹ и погружении в R²ⁿ (понижение размерности при помощи леммы Сарда).