Формализация и интерпретация в решении аффинных задач с использованием метода математического моделирования

А. А. Луканина

Руководитель: к.п.н., доцент А.В. Бобровская

ГОУ ВПО «Шадринский государственный педагогический институт», г. Шадринск

При исследовании вопроса об использовании математического моделирования в геометрии необходимо учитывать, что можно рассматривать и внутри-математическое моделирование, когда строится модель объекта, уже являющегося математическим, и внешне-математическое моделирование, когда строится модель объекта, не являющегося математическим.[1] Соответственно в математике используются два вида перевода: с одного вида математического языка на другой (языка алгебры, математических образов, символов, логического языка) и перевод с языка, не являющегося математическим, на язык математики ("внешний перевод"). Первый тип перевода называют внутренним, он наиболее часто встречается в практике, где используется перевод с языка геометрии на язык алгебры или перевод с «родного» языка задачи на язык математический.[2] Перевод задачи с языка геометрических образов на язык векторной алгебры существенно облегчает ее решение, поскольку позволяет сводить решение задач с векторами к автоматическому решению их по готовым правилам векторной алгебры.

Все геометрические задачи, решаемые векторным методом, мы условно разделили на следующие группы:

1. 
   аффинные задачи (на доказательство параллельности прямых, коллинеарность точек, равенство длин коллинеарных отрезков);
   
2. 
   метрические задачи (на доказательство равенства длин неколлинеарных отрезков, перпендикулярности прямых; на отыскание длин отрезков, углов между прямыми, площадей параллелограммов и треугольников, объемов параллелепипедов и тетраэдров).
   

Этапы формализации и интерпретации – самые ответственные в реализации метода математического моделирования. Перевод с языка задачи на язык математический требует основательной разработки схем и правил "внутреннего" перевода. Блок разработанных нами переводных теорем для решения аффинных задач содержится в таблице 1.

Таблица 1. Аффинные теоремы

№	Свойство фигуры	Геометрическая модель (1 способ)	Перевод на векторный язык (1 способ)	Геометрическая модель (2 способ)	Перевод на векторный язык (2 способ)
		А В С D
		А В С		А В О С
		А С В		А С О В	,
	A, B, C коллинеарны	В А С
		А В С		А В С О	,
	,	А С В		А С В О
	C – середина	А С В		А С В О	,
	A,B,C – любые точки	А В С		С А В
	A,B,C,D – любые точки	A B D C
	M и N симметричны относительно S	N S M
	C и D симметричны относительно середины	C A E B D
	M принадлежит полуплоскости с границей	О М А В
	M принадлежит плоскости, содержащей неколлинеарные точки A,B,C	А В C D M		D M A B C
	M принадлежит полосе, ограниченной параллельными прямыми и	A B M C D	,
	равносторонний	B D O A C	O – центр описанной окружности
	M – точка пересечения медиан ABC	B D E F M A N C		O B A M C	,
	ABCD - параллелограмм	B C A D	или или	O B C A D
	ABCD –трапеция	B С A D

Приведем примеры доказательства двух переводных теорем из представленной таблицы.

Теорема 1. Прямые AB и CD параллельны тогда и только тогда, когда существует и такое, что .

Доказательство.

А В С D Рис. 1	I. Необходимость. Пусть , докажем, что (рис. 1). Так как , то векторы и , соответственно принадлежащие данным прямым, коллинеарны.
Следовательно, существует и , такое что (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов). II. Достаточность. Пусть , докажем, что прямые AB и CD параллельны (рис. 1). Векторы и коллинеарны по определению умножения вектора на число. По определению коллинеарности векторов прямые, содержащие векторы и , - параллельны.

Теорема 2. Точка С - середина отрезка АВ тогда и только тогда, когда ,.

Доказательство.

А С В О Рис. 2	I. Необходимость. Пусть C – середина , докажем, что (рис. 2). Выберем произвольную т. О. По правилу треугольника и . Сложив эти равенства, получим .
Так как т. C – середина , то . Таким образом .
А D С О В Рис. 3		II. Достаточность. Пусть , докажем, что C – середина (рис. 3). Выберем произвольную точку О и отложим векторы и . Сложим векторы
и по правилу параллелограмма, вектор суммы - диагональ полученного параллелограмма, то есть . Следовательно, векторы лежат на одной прямой и точка С - середина OD. Так как АВ также является диагональю полученного параллелограмма и по свойству диагоналей параллелограмма АВ и OD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, а точка С - середина OD, то точка C – середина .

Таким образом, разработанный нами блок теорем позволяет осуществлять этапы формализации и интерпретации метода математического моделирования при решении аффинных задач.
Литература.

1. 
   Блох А.Я. Школьный курс алгебры.// Методические разработки для слушателей ФПК. М.: МГПИ им. В.И.Ленина, 1985. – 90 с.
   
2. 
   Бобровская А. В.. Обучение методу математического моделирования средствами курса геометрии педагогического института: Дисс…канд. пед. наук : СПб., 1996 . - 232 c.