Функции и их свойства

 

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение перемен­ной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у явля­ется функцией от переменной х. Значения зависи­мой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствую­щее значению аргумента, равному х.

Все значения независимой переменной образу­ют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образу­ют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область оп­ределения не указана, то считают, что область оп­ределения функции состоит из всех значений аргу­мента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1.      аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2.      табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3.      описательный способ (функция задается словесным описанием)

4.      графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскос­ти, абсциссы которых равны значениям аргу­мента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

 

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

1.      Нули функции

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

2.      Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

            3. Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функ­ция - функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) назы­вается возрастающей на ин­тервале (а; b), если для лю­бых x₁ и x₂ из этого интерва­ла таких, что x₁< x₂ , спра­ведливо неравенство f(x₁)<f(x₂).



Убывающая в некотором промежутке функ­ция - функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у =f (x) назы­вается убывающей на интер­вале (а; b), если для любых  x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁< x₂, справед­ливо неравенство f(x₁)>f(x₂).

 

 

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала коор­динат и для любого х из области определения выпол­няется равенство f(-x) = f(x). График четной функ­ции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х² -  четная функция.

Нечетная функция - функция, у которой об­ласть определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечет­ной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х³ - нечетная функция.

Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х²+х).

 

Свойства некоторых функций и их графики

 

1.      Линейной функцией называется функция вида , где  k  и  b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b)  и параллельная прямой у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.



Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3.  Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из од­ного числа b.

 

3.      При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид  у = b  и при b ≠ 0 она явля­ется четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции  у = b  является прямая, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b  совпадаете осью Ох.

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если  . При k < 0 имеем, что у > 0, если  и у < 0, если .

2. Функция y = x²

Область определения этой функции - множество R действитель­ных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области опреде­ления функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x² , изображаем график функции.

 

График функции y = x² называется параболой.

Свойства функции у = х².

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством  значений  функции у = х² является промежуток [0; + ∞).

4.  Если значения аргумента отличают­ся только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х² - четная).

5.  На промежутке [0; + ∞) функция у = х² возрастает.

6.  На промежутке (-∞; 0] функция у = х² убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

 

3.Фунуция

Область определения этой функции - промежуток  [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответст­вующие значения у по формуле , изображаем график функции.

 

Свойства функции.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями коорди­нат общую точку (0; 0) - начало координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме на­чала координат, лежат над осью абсцисс.

3.  Множеством значений функции    является промежуток [0;+∞).

4. Функция  не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция  возрастающая в области определения.

6.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

 

4. Функция y = x³

Область определения этой функции - множество R действитель­ных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х³, изображаем график функции.

График функции у= х³ называется кубической параболой.

Свойства функции y = x³.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т.е. кубическая парабола лежит в пер­вом и третьем координатном углах.

3.  Множеством значений функции у =  х³ является вся числовая прямая.

4.   Если значения аргумента отлича­ются только знаком, то и значения функции отличаются  только  знаком, т.е.   кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у =  х³ - нечетная).

4.      Функция у = х³ возрастающая в об­ласти определения.

 

5.      Функция y = |x|

Область определения этой функции - множество R  действитель­ных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х <0 получим у = - х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х < 0.

Свойства функции

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика   функции  y = |x|,   кроме   начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством значений функции y = |x|  является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).

5.  На промежутке [0;+∞) функция y = |x|  возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x|  убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

 

6.      Функция

Область определения функции: .

Область значений функции: .

График — гипербола.

1. Нули функции.

                             у ≠ 0, нулей нет.

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.

Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

Если  k < 0, то функция возрастает при .

4. Четность (нечетность) функции.

Функция нечетная.

 

Квадратный трехчлен

Уравнение вида ax²+bx+c = 0, где a, b и с — некоторые числа, причем а≠0, называется квадратным.

 В квадратном уравнении ax²+bx+c = 0 ко­эффициент а называется первым коэффициентом, b — вторым коэффициентам, с — свободным чле­ном.

 Формула корней квадратного уравнения име­ет вид:

.

Выражение  называется дискриминан­том квадратного уравнения и обозначается через D.

 Если D = 0, то существует только одно чи­сло, удовлетворяющее уравнению ax²+bx+c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае ква­дратное уравнение имеет два равных действитель­ных корня, а само число  называют двукрат­ным корнем.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c = 0. Так как а≠0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая  и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.

Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

.

Уравнения вида

аx² +bx = 0,   ax² + с =0,   аx² = 0

называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

 

 

Теорема Виета. 

 Сумма корней квадратного  уравнения равна взятому с противоположным зна­ком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней — отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.

; .

Обратная теорема.  

  Если  сумма каких-нибудь двух чисел х₁ и х₂ равна , а их произ­ведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах²   + bх + с = 0.

Функция вида ах² +bх + с называется квадратным трехчленом.   Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах²   + bх + с = 0.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:

 ах² +bх + с =а(х-х₁)(х-х₂)

где х₁   и   х₂   —   корни   трехчлена

 Если  дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:

ах² +bх + с =а(х-х₁)²

где х₁ — корень трехчлена.

Например, 3х² - 12х + 12 = 3(х - 2)².

Уравнение вида ах⁴   + bх²   + с = 0 называет­ся биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х² = y  оно приводится к квадратному уравнению аy² + by + с = 0.

 

 

 

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax² + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

            Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

 

 

Свойства квадратичной функции

            -  Область определения: R;

- Область значений:

при а > 0          [-D/(4a); ∞)

при а < 0          (-∞; -D/(4a)];

- Четность, нечетность:

при b= 0     функция четная

при b≠0    функция не является ни четной, ни нечетной

- Нули:

при D > 0      два нуля: ,

 

при D = 0      один нуль:

при D < 0     нулей нет

- Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то          

если, а > 0, D = 0, то      

eсли а > 0, D < 0, то     

если а < 0, D > 0, то    

если а < 0, D = 0, то     

если а < 0, D < 0, то     

-         Промежутки монотонности

при а > 0 

при а < 0 

            Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1)  найти координаты вершины параболы и отметить ее в ко­ординатной плоскости;

2)  построить еще несколько точек, принадлежащих пара­боле;

3)  соединить отмеченные точки плавной линией.

            Координаты вершины параболы определяются по формулам:

;  .

 

Преобразование графиков функции

            1. Растяжение графика у = х² вдоль оси у в |а| раз (при |а|  < 1 — это сжатие в 1/|а|  раз).

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах².

2.      Параллельный перенос графика функ­ции у = ах² вдоль оси х на |m|  (вправо при

m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)².

3. Параллельный перенос графика функ­ции  вдоль оси у на |n| (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)² + п.

 

 

Квадратичные неравенства

Неравенства вида ах² + bх + с > 0 и ах² + bх + с < 0, где х — переменная, a, b и с — некоторые числа, причем, а≠0, называют неравенствами второй степе­ни с одной переменной.

Решение неравенства второй степени с одной пе­ременной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадра­тичная функция принимает положительные или от­рицательные значения.

Для решения неравенств вида ах² + bх + с > 0 и ах² + bх + с < 0 поступают следующим образом:

1)  находят дискриминант квадратного трехчлена и выясня­ют, имеет ли трехчлен корни;

2)  если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и че­рез отмеченные точки проводят схематически параболу, вет­ви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изобража­ют параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3)  находят на оси х промежутки, для которых точки парабо­лы  расположены  выше  оси  х  (если  решают  неравенство ах² + bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах² + bх + с < 0).

Пример:

Решим неравенство .

Рассмотрим функцию

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.

Изобразив схематически параболу, най­дем, что функция принимает отрицательные значе­ния при любом х, кроме 4.

Ответ можно записать так: х — любое число, не равное 4.

 

Решение неравенств методом интервалов

схема решения

1.  Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.

2.  Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если k_i четное, то нуль четной кратности, если k_i нечетное — то нечетной).

3.  Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, на­чиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для  приведенного  вида  неравенств.   При  переходе  справа налево через нуль функции от одного промежутка к сосед­нему следует учитывать:

•    если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,

•    если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.

4.      Записать ответ.

Пример:

(х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.

            Найден нули функции. Они равны: х₁ = -6; х₂ = -1; х₃ = 4.

Отметим на координатной прямой нули функции f(x) = (х + 6) (х + 1) (х - 4).

Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

(4; +∞).

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).

Ответ: (-∞_; -6) и (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств на­зывают методом интервалов.