Министерство образования Российской Федерации

Смидовичская общеобразовательная средняя школа №1


Открытый урок по теме:
«Степенная функция»
10 класс

Выполнила:

учитель математики

СОШ №1

Шафорост Н.Е.

Смидович, 2006 г.
Ход урока:
I Организационный момент:

Здравствуйте. Садитесь. Отложим все лишнее и настроимся на рабочий лад. Сегодня у нас обобщающий урок по теме “ Степенная функция “.

Целью нашего урока является показать роль свойств степенной функции в процессе решения ряда математических задач, а, следовательно, и роль этой функции и ее свойств в процессе сдачи ЕГЭ.

II Актуализация:

Для начала вспомним определение функции

Вопрос	Ответ
I Что такое функция?	Соответствие между двумя множествами Х и У , где каждому элементу х из множества Х, соответствует единственное значение у из множества У.
II Какие функции вы изучили?	Линейная, квадратичная, дробно-рациональная, показательная, степенная, логарифмическая, тригонометрическая.

Что называется графиком функции?

Множество точек координатной плоскости, абсциссы которых составляют область определения функции, а ординаты соответствующие значения функции

Ребята, вы знаете, что изучение любой функции завершается построением

графика этой функции.

Вопрос

Ответ

ЗАДАНИЕ:
Обратите внимание, на доске представлен пейзаж. Постарайтесь среди данных линий найти графики функций.

Вопрос	Ответ
Так любое ли множество точек на координатной плоскости задает график функции?	Нет, только такое множество, где каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции

Посмотрите, насколько значимо изучение функции! Оказывается, графики функций встречаются не только в математике, но и в природе (горы, леса, деревья) – все, что нас окружает, состоит из графиков функций.

А какие из этих линий относятся к графикам степенных функций?

Вопрос	Ответ
Т.к. речь идет о степенной функции, кто даст определение степенной функции?	Функции вида У=ХР где РR.

ЗАДАНИЕ:

На доске изображен ряд степенных функций, а на плакате изображены графики этих функций. Я буду называть функцию, а вы должны указать соответствующий ей график функции (или наоборот).

А если вы правильно выполните задание, то на доске появится фамилия ученого, который впервые ввел понятие функции. А может быть, кто-нибудь уже знает, что это за ученый?

У= (Х-1)2 +1 (3)

У= (Х-2)3 -2 (5)

У= Х-2 +3 (1)

У= (4)

У=- 3 (7)

У= (2)

У= - 3 (6)

Ответы: 3-3 2-1 6-4

5-6 4-5

1-2 7-7

Вопрос	Ответ
Есть ли среди названных графиков графики четной функции?	Есть. График под номером 2.
А в чем особенность графиков четной функции?	График четной функции симметричен относительно оси ординат.
А есть ли среди данных графиков графики нечетных функций?	Нет.
А в чём особенность графиков нечётной функции?	Он симметричен относительно начала координат.

На отвороте доски (развернуть).

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   где
   
6. 
   где
   

Это степенные функции, которые вы изучили.

Вопрос	Ответ
Какие из них являются чётными?	Чётные – 1,3; нечётные – 2,4.
Зная графики этих функций (а вы их знаете) скажите, с помощью каких преобразований получены графики названных вами функций?	С помощью движения.

Итак, мы вспомнили, зная графики каких элементарных функций можно построить графики сложных степенных функций путём движения вдоль оси ОХ или вдоль оси OY.

А теперь проверим, правильно ли вы выполнили задание (перевернуть карточки с записями функций)

Л Е Й Б Н И Ц

Как я уже говорила, этим ученым было впервые употреблено слово функция в XVII веке. Эго сравнительно недавно, но сами функции и их задания изучались людьми очень давно, как числа и уравнения.

Знаменитый древнегреческий историк Геродот писал, что египетские цари, разделив землю между египтянами, брали с каждого из них ежегодный налог, пропорциональный площади занимаемого участка. Конечно, тогда еще не произносили слово “ функция “, но ведь речь идет о том, что каждому значению площади соответствовало некоторое значение налога. Мы видим, что хотя в древности функции еще не знали, но явления, которые мы сегодня описываем с их помощью, давно известны людям.

Вопрос	Ответ
А может кто-нибудь из вас знает, где в жизни встречаются графики и свойства степенной функции?	В медицине, в спорте, в экономике

Например, наши предки наблюдали ветвь гиперболы на стене, когда подносили к ней горящую свечу в подсвечнике с круглым основанием.

Изредка мы можем видеть полную гиперболу, если лампа с цилиндрическим или коническим абажуром отбрасывает тень на соседнюю стену.

III Закрепление

Рассмотрим ещё одну из жизненных ситуаций и решим задачу.

Пока основная часть класса будет решать задачу, ряд учеников будет выполнять свои задания, а потом расскажет алгоритм решения с обоснованием.

Остальные работают в тетрадях.

Задача1 (раздать распечатанный текст)

На учебном полигоне произведён выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении. Требуется определить наибольшую высоту подъёма снаряда, время подъёма и время падения, если начальная скорость снаряда v₀ = 400 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Вопрос	Ответ
В какой науке находит применение данная задача?	В физике.

То есть мы ещё раз можем убедиться, как многогранно используется данная функция не только в математике, но и в других науках.

Учитель вызывает одного человека к доске.

Вопрос	Ответ	На доске
Что дано в задаче?	Начальная скорость снаряда v0 = 400 м/с, указано направление выстрела.	Дано: v0 = 400 м/с.
Что нужно найти?	Наибольшую высоту подъёма снаряда, время подъёма и время падения.	Найти h, t1,t2.
Записываем решение.		Решение.
Какой функцией выражается закон движения снаряда?	Квадратичной функцией , где g – ускорение силы тяжести, g = 9.8 м/с.	g = 9.8 м/с.
А что будет графиком данной функции?	Графиком данной функции является парабола.	наглядность
Куда будут направлены её ветви?	Ветви параболы направлены вниз.
Где, следовательно, будет наибольшая высота подъёма снаряда?	Наибольшая высота подъёма снаряда будет в вершине параболы.
Что необходимо знать для нахождения наибольшей высоты?	Необходимо найти координаты вершины параболы.
Что мы получим, подставив данные?	;
Как найти время падения снаряда?	Время подъёма снаряда соответствует интервалу возрастания функции и равно 41с. Время падения снаряды соответствует интервалу убывания функции и равно времени подъёма, так как график функции симметричен относительно прямой, проходящей через вершину параболы.
Каков ответ?	Ответ: h = 8.16 км; t1 = t2 ≈ 41c.

Итак, мы ещё раз убедились, что свойства степенной функции играют немаловажную роль в решении таких интересных жизненных задач.

Фрагмент исследования широко применяется в заданиях ЕГЭ, и чтобы их выполнить, необходимо знать свойства степенной функции.

А теперь проверим, как справились с заданием те, кто работал в группах.

I ГРУППА:

В координатной плоскости даны три точки: А (-2;3); B (1;-2); C (0;5). Построить параболу, проходящую через эти три точки, ось которой параллельна оси ОУ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ:

1) решим систему

3 = а(-2)²-2в+с 4а-2в+5=3

-2 = а+в+с а+в+5= -2

5=с
а = -8/3 ; в = -13/3
2) составим уравнение параболы

у = - 8/3x²- 13/3x +5

3) найдем координаты вершины параболы

х₀ = -b/2a

x₀ =-0.8

y₀(x₀) =6.8

4) построим параболу по данным точкам
II ГРУППА:

сравнить степени

и

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ:

1) сравним основания степени

внесем переменную под знак корня

и

<

2) показатель функции -0.2 < 0, -0.2Z функция У=Х^-0.2 убывает, т.е. меньшему значению основания соответствует большее значение степени.

III ГРУППА:

решить графически уравнение

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ:

1)

2) строим графики левой и правой частей и находим абсциссы их точек пересечения

а) Т.к. функция нечетная, достаточно построить одну ее часть, а вторая будет симметрична относительно начала координат .
в) Т.к. функция четная, достаточно построить одну ее часть, а вторая будет симметрична относительно оси ОУ.
IV ГРУППА:

найти область определения функции

корень четной степени определен на множестве неотрицательных чисел, а, следовательно,

Тем самым, мы еще раз с вами убедились, как многогранно используются свойства степенной функции в процессе решения различного рода задач.

Давайте решим еще одну задачу и убедимся в этом.

ЗАДАЧА 2: (раздать распечатанный текст задачи)

Вкладчик поместил в банк 1000р. Банк ежегодно выплачивает вкладчику 3% от суммы вклада. Какую сумму денег получит вкладчик через 2 года?

(Один ученик выходит к доске)

Вопрос	Ответ	На доске
Что нам дано?	Первоначальная сумма денег (а), Число процентов, начисляемых банком в год (p), Число лет, в течении которых деньги находились в банке (t)	ДАНО: а=1000 p=3% t=2
Что нужно найти?	Сумму денег (S)	НАЙТИ: S-?
Вычислим сумму по формуле сложных процентов (а это ни что иное, как степенная функция)	Подставим данные и найдем S	РЕШЕНИЕ: t S= 1000 (1+0.03)2= =1000*(1.03)2= =1000*1.6=1060 р.
Записываем ответ		Ответ:S=1060 р.

Где находит свое применение данная задача?

В экономике

Даже такие задачи можно решить, благодаря свойствам степенной функции.


IV РЕЗЕРВ:

Выполним еще одно задание.

вычислить:

Подобные задания вы также можете встретить в ЕГЭ

V ИТОГ УРОКА:

Сегодня на уроке мы еще раз показали, насколько многогранно, изысканно и красиво используются свойства степенной функции в процессе решения математических задач, а также задач из разделов физики, экономики, в природе, в технике и т.д.

(оценить тех, кто работал на уроке)

Д.З. Подобрать задачи из жизни и других наук, в которых встречается степенная функция.

И закончить урок мне хочется стихотворением:

Дружить наукам можно вечно,

Вселенная ведь бесконечна.

Спасибо всем вам за урок,

А главное, чтоб он был впрок!