ФУНКЦИЯ
Задание 4.1. Определение функции.

.

1. 
   Периметр прямоугольника 20 см. Выразите длину диагоналей прямоугольника как функцию длины сторон прямоугольника и найдите область определения функции.
   
2. 
   Дана функция:
   

Найдите: ; ; ; ; .

3. 
   Найдите по графику область определения и множество значений функции:
   
4. 
   Найдите по формуле область определения и множество значений функции:
   

1);

2);

3);

4).

Задание 4.2. Определение функции.

1. 
   Задает ли формула функцию:
   

1);

2);

3).

2. 
   Функция задана параметрически:
   

Задайте ее аналитически.

3. 
   Задайте функцию формулой и постройте ее график, если ее область определения – отрезок [0;1], а множество значений – интервал (0;1).
   
4. 
   На рисунке представлен график функции, определенной на отрезке [a;b]. S(x) – площадь «подграфика» на отрезке [a;x], . Выразите величину S(x) через x и постройте график функции y=S(x). По этому графику найдите множество значений функции y=S(x).
   

Задание 4.3. Область определения и множество значений функции.

1. 
   Найдите область определения функции:
   

1);

2).

2. 
   Найдите множество значений функции:
   

1);

2);

3).

3. 
   Найдите наибольшее значение функции:
   

.

4. 
   Пусть множество значений y=f(x) есть отрезок [-3;5]. Найдите все целочисленные значения функции:
   

.

5. 
   Найдите все значения параметра a, при которых областью определения функции будет:
   

а) Луч;

б) Отрезок;

в) Единственная точка;

г) Пустое множество.

Задание 4.4. Некоторые специальные функции.

1. 
   Постройте график функции:
   

а);

б).

2. 
   Найдите область определения выражения:
   

.

3. 
   Докажите тождество:
   

.

4. 
   Найдите [a] и {a}, где .
   
5. 
   Решить уравнение:
   

а);

б).

Задание 4.5. Ограниченность функции.

.

1. 
   Докажите, что функция является ограниченной:
   

;

2. 
   Является ли заданная функция ограниченной, и если да, то в каких границах лежат ее значения:
   

а);

б).

3. 
   Докажите, что функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.
   
4. 
   Функция F ограничена на R. Будет ли ограниченной функция:
   

1);

2);

3).

Ответ обоснуйте.

5. 
   Приведите пример неограниченных функций f и g, сумма которых ограничена.
   
6. 
   Верно ли, что произведение неограниченной функции f и ограниченной функции g не ограничено?
   
7. 
   Решить уравнение, используя свойство ограниченности функции:
   

.

Задание 4.6. Монотонность функции.

1. 
   Функция f убывает на R. Решите неравенство:
   

а);

б).

2. 
   Нарисуйте график всюду определенной функции, которая возрастала бы на промежутках и на , и вдобавок была бы положительной и ограниченной на R.
   
3. 
   Используя определения возрастания и убывания на промежутке, докажите, что функция возрастает на .
   
4. 
   Исследуйте на монотонность функции:
   

а);

б).

б).

5. 
   Пусть - возрастающая и положительная на R функция. Докажите, что тогда функция возрастает на R.
   
6. 
   Верно ли, что если функции y и z возрастают на каком-то промежутке, то функция монотонна на этом промежутке?
   

Задание 4.7. Монотонность функции.

1. 
   Решите уравнения:
   

а);

б).

2. 
   Докажите, что если f и g возрастают на каком-то промежутке и неотрицательны на нем, то функция так же возрастает на этом промежутке. Используя этот факт, решите уравнение .
   
3. 
   f удовлетворяет условию: для любого существует такая точка , что и . Следует ли отсюда, что f не убывает на R?
   
4. 
   *Пусть функция определена на отрезке [-1;1] и убывает на нем. Решите:
   

а) Уравнение ;

б) Неравенство .

5. 
   Является ли функция f возрастающей на R, если при любом x выполняется неравенство ?
   

Задание 4.8. Четность и нечетность функции.

1. 
   Исследуйте функцию на четность/нечетность:
   

а);

б);

в);

г).

2. 
   Известно, что функция g нечетная, , и она обращается в нуль при и . Укажите другие значения аргумента, при которых g обязательно обращается в нуль.
   
3. 
   Пусть , f - четная функция, а g – нечетная. Докажите, что - четная функция.
   
4. 
   Достройте график функции, изображенный на рисунке, до графика всюду определенной, непрерывной на R и
   

а) четной функции;

б) нечетной функции.

Задание 4.9. Четность и нечетность функции.

1. 
   Существуют ли всюду определенные функции, являющиеся одновременно:
   

а) Четными и возрастающими на R;

б) Нечетными и убывающими на R;

в) Нечетными и положительными на R .

2. 
   Функция f, определенную на , продолжите на R так, чтобы получить четную функцию. Постройте график полученной функции, если .
   
3. 
   Дана функция . Найдите все значения a, при которых функция является: четной, нечетной. Ответ обоснуйте.
   
4. 
   Существует ли функция f, определенная на и удовлетворяющая условию для всех ?
   
5. 
   Может ли уравнение иметь 8 корней?
   

Задание 4.10. Периодичность функции.

1. 
   Достройте, если возможно, данный график до графика периодической функции, которая была бы:
   

а) Четной;

б) Нечетной.

Если это невозможно, то обоснуйте. (T-основной период функции)

2. 
   Функции f и g определены на R, их периоды соответственно равны T₁ и Т₂. Известно, что . Найдите наименьший положительный период функции f+g. Ответ обоснуйте.
   
3. 
   Может ли сумма двух всюду определенных непериодических функций быть периодической функцией?
   
4. 
   Найдите основной период функции или докажите, что его не существует.
   

а) ;

б) .

Задание 4.11. Периодичность функции.

1. 
   Функция f – периодическая с периодом T=4, нечетная и для ее значения вычисляются по формуле .
   

а) Начертите график функции f;

б) Найдите , ;

в) Решите уравнение .

2. 
   Можно ли функцию представить в виде суммы двух функций, одна из которых четная, а другая периодическая?
   
3. 
   Функция а определена на R, и для всех , и при этом . Докажите, что f является периодической функцией.
   

Задание 4.12. Композиция функций.

1. 
   Даны функции и . Найдите следующие композиции:
   

а) ;

б) ;

в) .

2. 
   Даны функции , , . D(f)=D(g)=D()=. Какие из следующих функций являются возрастающими, а какие – убывающими:
   

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

3. 
   Исследуйте на монотонность и найдите множество значений функции .
   
4. 
   Придумайте функцию, отличную от линейной, которая при любом x удовлетворяет равенству .
   

Задание 4.13. Простейшие функциональные уравнения.

1. 
   Найдите какую-нибудь функцию f, удовлетворяющую следующему условию:
   

а) для всех ;

б) для всех ;

в) для всех ;

г) для всех .

2. 
   Найдите функцию f(x), если и при любом выполняется тождество .
   

Задание 4.14. Обратная функция.

1. 
   Найдите функцию, обратную данной:
   

а), ;

б) , .

Постройте графики этих функций.

2. 
   Найдите функцию, обратную данной:
   

3. 
   Докажите, что функция, обратная к обратимой нечетной функции, также является нечетной.
   
4. 
   *Существует ли обратимая функция f, удовлетворяющая условию для всех ?
   

Задание 4.15. Элементарные преобразования графиков.

1. 
   Построить графики следующих функций при помощи элементарных преобразований:
   

а);

б) ;

в) .

2. 
   Функция f задана равенствами:
   

Постройте графики функций , , .

3. 
   Определите все значения k, при которых образ графика , сдвинутого на k единиц вдоль оси ординат, не пересекается с графиком .
   
4. 
   При каких a и b имеет решение уравнение .
   

1. 
   .
   

Задание 4.16. Построение графиков функций.

1. 
   Пусть .
   

а) Найдите множество значений функции f;

б) Постройте график функции f и найдите с помощью него число решений уравнения в зависимости от a.

2. 
   Постройте эскиз графика:
   

а);

б) ;

в) .

Задание 4.17. Построение графиков функций.

1. 
   Решите графически неравенство ;
   
2. 
   Может ли изображенный на рисунке график являться графиком отношения двух многочленов?
   
3. 
   Найдите асимптоты, корни, промежутки знакопостоянства и постройте эскиз графика .
   

Контрольное задание 4.1. Функция.

1. 
   Постройте график функции .
   
2. 
   Найдите промежутки монотонности и множество значений функции .
   
3. 
   Известно, что , . Найдите .
   
4. 
   Для функции найдите обратную.
   
5. 
   Найдите функции f(x) и g(x), удовлетворяющие условиям:
   
6. 
   Дано: , . Решите неравенство: .
   
7. 
   Найдите все значения a, при которых наименьшее значение функции равно 4. Постройте график функции при найденных значениях a и исследуйте ее на четность/нечетность.
   
8. 
   Решить уравнение .