Городская конференция учащихся «Старт в науку»

Симметрия

АВТОР:

Бурла Анна Маратовна

учащаяся 7 «Б» класса

МОУ «Гимназия №24»

города Калуги

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Кудрявцев Сергей Андреевич

учитель математики

МОУ «Гимназия №24»

города Калуги

г. КАЛУГА

1998 г
ОТЗЫВ О РАБОТЕ.
Ученица 7 класса Бурла Анна в своей работе «Симметрия» осветила вопросы, связанные с многообразием видов симметрии и их проявлениями в окружающем мире. Материал исследования отражает индивидуальные склонности и способности ребёнка: увлечение математикой и изобразительным искусством. Данная работа является расширением знаний, полученных по данному вопросу на занятиях кружка по математике, так как тема «Симметрия» не является программным материалом для седьмого класса. Бурла Анна проявила особый интерес к этой теме, так как встречалась с различными видами симметрии на занятиях в художественной школе. В работе рассмотрены примеры, как проявляет себя симметрия в живой и неживой природе, вопросы использования человеком симметрии. Особенностью работы является попытка показать роль научных знаний в раскрытии красоты в искусстве и природе.

Работа Бурла Анны показывает многогранность понятия «симметрия» и раскрывает весьма важные и необычные стороны законов и явлений.

Учитель математики

МОУ «Гимназия № 24» г. Калуги: Смолин Александр Васильевич
Учитель изобразительного искусства

МОУ «Гимназия № 24» г. Калуги: Пахотова Наталья Викторовна


Содержание

1. 
   Цели работы.
   

2. 
   Понятие симметрии.
   

3. 
   Виды симметрии.
   

4. 
   Свойство симметрии.
   

5. 
   Фигуры, симметричные сами себе.
   

6. Симметрия в природе.

7. Симметрия в искусстве.

8. Выводы.

1. Цели работы.

• 
  Знакомство с понятием «симметрия» и её видами;
  

• 
  Изучение проявлений симметрии в окружающем нас мире;
  

• 
  Осознание взаимодействия симметрии и асимметрии;
  

• 
  Перспективы применения симметрии в различных сферах деятельности человека.
  

2. Понятие симметрии.
«СТОЯ ПЕРЕД ЧЁРНОЙ ДОСКОЙ И РИСУЯ НА НЕЙ МЕЛОМ РАЗНЫЕ ФИГУРЫ, Я ВДРУГ БЫЛ ПОРАЖЁН МЫСЛЬЮ: ПОЧЕМУ СИММЕТРИЯ ПРИЯТНА ГЛАЗУ? ЧТО ТАКОЕ СИММЕТРИЯ? ЭТО ВРОЖДЁННОЕ ЧУВСТВО, ОТВЕЧАЛ Я САМ СЕБЕ. НА ЧЁМ ЖЕ ОНО ОСНОВАНО?»

Л. Н. Толстой.

И всё таки, что такое симметрия и из какого языка это слово произошло. Симметрия произошла из греческого слова, и в переводе с греческого языка на русский язык оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Словарь Брокгауза объясняет слово симметрия следующим образом: «Это такое расположение частей предмета или организма, при котором по обе стороны серединной линии все части представляют полное и точное повторение. Симметрия встречается в кристаллах, растительных и животных организмах». Как мне представляется, объяснения, приведённые выше достаточно поверхностны, и не выражают всей сути и глубины понятия симметрии, которое неразрывно связано с окружающим нас миром, во всех его проявлениях и с нами самими. Поэтому в своей работе я хочу разобраться сама и помочь понять окружающим, что действительно стоит за этим привычным для нас словом. Обращаясь к истории, мы видим, что с древних времён слово симметрия было синонимом красоты и совершенства. «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство» (Г. Вейль). Хотя с другой стороны симметрия созвучна некоторой фундаментальности и однообразности. Очень интересная вещь откроется нам, если мы посмотрим в словари некоторых иностранных языков, ведущих свои корни от латыни. Слова близкие по звучанию к слову симметрия в переводе на русский язык, означают не что иное, как кладбище (английское слово – cemetery, французское слово – cimetiere). Четверостишие Владимира Высоцкого тоже даёт нам некоторое представление об этом:

В мире тишь и безветрие,

Тишина и симметрия, -

На душе моей – тягостно,

И живу я безрадостно.

То что мы видим вокруг ещё более убеждает нас в этом: отступление от канонов симметрии в живописи, скульптуре, как и в самой природе, создают ощущение движения, свободы. Если симметрия выражает нечто общее свойственное разным объектам или явлениям, то асимметрия – это индивидуальность каждого отдельного объекта. С другой стороны симметрия – это стабильность, асимметрия – это возможность изменений. Поэтому мы приходим к мысли, что красота не всегда связана с симметрией, а мир существует благодаря единству симметрии и асимметрии, что можно рассматривать как единое целое.

3. Виды симметрии.

Из всего многообразия видов существующих симметрий я бы хотела выделить три основных, которые являются основополагающими для понимания симметричности или асимметричности мира, то есть любое явление или объект, рассматриваемые с точки зрения симметричности может быть отнесено к одному из этих видов, или являть собой совокупность этих видов. Это – зеркальная симметрия, центральная симметрия и переносная симметрия. Рассмотрим подробнее каждый из этих видов.

Начнём с зеркальной или, как её часто называют плоскостной симметрии. В общем случае она характеризуется наличием плоскости симметрии, а если говорить об осевой симметрии, то об оси симметрии. Самые простые примеры этого вида вокруг нас: кленовый лист, снежинка, бабочка. Одна половинка каждого из этих объектов является зеркальным отражением другой половинки. Если поставить зеркальце вдоль прочерченной ровно посередине рисунка прямой, то отражённая в зеркале половинка фигуры дополнит её до целой. Поэтому такая симметрия и называется зеркальной, а прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. В простейшем случае, если плоскую фигуру имеющую ось симметрии перегнуть вдоль оси, то её части совпадут.


На рисунке 1.

Бабочка с проведённой осью симметрии.

В случае трёхмерного объекта вместо оси симметрии может быть использована плоскость симметрии. Если объект одномерный, то симметрия рассматривается относительно точки симметрии, которая является точкой пересечения прямой объекта с плоскостью симметрии.



А В С

На рисунке 2.

Отрезок АС, точка В – середина отрезка АС – центр симметрии.

Изучая зеркальную симметрию нельзя обойти своим вниманием такое понятие, как энантиоморфы, которые являются частью окружающего мира. Энантиоморфами могут быть как различные предметы (правая и левая рука, правый и левый винт), так и две половинки одного предмета. Рассмотрим объект, характеризующийся единственной плоскостью симметрии, разрежем его на две половинки. Эти две половинки являются зеркальным изображением одна другой, хотя сама по себе каждая из половинок зеркально асимметрична. Рассматриваемые половинки и являются энантиоморфами.


На рисунке 3.

Изображены пятиугольники - энантиоморфы.

Основным свойством энантиоморф является то, что двухмерные энантиоморфы нельзя совместить друг с другом никакими перемещениями и поворотами в плоскости, а в случае трёхмерных энантиоморф, никакие перемещения и повороты в пространстве не в состоянии обратить левый энантиоморф в правый или наоборот.

Следующий вид рассматриваемой нами симметрии – центральная, или как её называют – поворотная симметрия. Она характеризуется наличием центра симметрии – неподвижной точки О обладающей определённым свойством, заключающемся в том, что при повороте на 180 градусов центрально симметричная фигура переходит сама в себя. Яркими примерами центрально симметричных фигур могут быть цветы с радиально расположенными лепестками, снежинки, медузы и так далее.

На рисунке 4.

Фигуры, имеющие центр симметрии.

Рассмотренный выше случай является самым простым примером поворотной симметрии. В общем случае трёхмерного пространства поворотная симметрия имеет ось симметрии какого-либо порядка – р, вращаясь вокруг которой центрально симметричный объект переходит сам в себя при повороте на 360^о/р.






На рисунке 5.

Изображены фигуры, имеющие ось 3-его, 6-ого и 4-ого порядка.

Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра. Цилиндр имеет бесконечное число поворотных осей второго порядка и одну ось бесконечно высокого порядка.

На рисунке 6.

Цилиндр с двумя осями симметрии.

Таким образом, можно сделать вывод, что для описания симметрии конкретного объекта надо указывать все поворотные оси или плоскости симметрии и их порядок. Этот вид симметрии получил широкое распространение при строительстве храмов, архитектурных ансамблей.

Ещё один вид симметрии – переносная или, как её называют трансляционная симметрия. Свойства этого типа симметрии легко рассмотреть на примере плоской фигуры.

В

А






а


На рисунке 7.

Бордюр с симметричным узором.

При переносе вдоль прямой АВ на расстояние, кратное а, фигура совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой происходит перемещение объекта, называется осью переноса, а расстояние а – элементарным переносом или периодом. Переносная симметрия часто встречается в орнаментах и бордюрах, в природе же «переносная симметрия …, столь же редко бывает правильной, сколь часто бывает правильной зеркальная симметрия» (Г. Вейль).
4. Свойства симметрии.

Рассмотрев основные типы симметрии, я бы хотела кратко остановиться на основных свойствах симметрии и рассмотреть их на примере двухмерного пространства, так как эти свойства будут характерны и для трёхмерного пространства.

1. 
   Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно некоторой прямой и только одну.
   
2. 
   Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам.
   
3. 
   Если отрезки симметричны относительно некоторой прямой, то их длины равны.
   
4. 
   При симметрии относительно прямой, угол преобразуется в равный ему по величине угол.
   
5. 
   При симметрии относительно прямой сохраняется отношение «лежать между» для трёх точек, лежащих на одной прямой.
   

Доказательство указанных свойств симметрии приводится в каждом

учебнике «Геометрия» школьного курса математики. Знание и понимание основных свойств симметрии помогает в решении задач от самых простых школьных по геометрии, до сложных пространственных архитектурных проектов и сложнейших космических спутников и орбитальных станций.

5. Фигуры, симметричные сами себе.

Как уже было сказано выше, для разработки сложнейших конструкций очень важно знание простейших свойств симметрии, кроме этого, если внимательно изучить любой сложный пространственный объект, то мы увидим, что в общем случае он является комбинацией простейших фигур, таких как отрезок, треугольник, окружность, квадрат и так далее. Задав самим себе вопрос, что объединяет эти фигуры – опираясь на знание законов симметрии, можно легко найти ответ – все эти фигуры являются симметричными сами себе.

На рисунке 8.

Проведены несколько осей симметрии у простейших фигур.

6. Симметрия в природе.

«Нам нравится смотреть на проявление симметрии в природе, на идеально симметричные сферы планет или Солнца, на симметричные кристаллы, на снежинку, наконец, на цветы, которые почти симметричны» (Р. Фейман). Симметрия в природе – это мир вокруг нас. Наука, изучающая её, называется биосимметрией. Ярким примером симметрии в неживой природе являются кристаллы, именно они вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Кто из нас не любовался зимой падающими и тающими снежинками. Каждая из них, если внимательно присмотреться – это маленький кристалл замёрзшей воды. Снежинки могут иметь разную величину и форму, но все они обладают общим свойством – зеркальной и поворотной симметрией шестого порядка.

На рисунке 9.

Падающие снежинки.

Из физики мы знаем, что все твёрдые тела состоят из кристаллов различной формы и величины. На примерах каменной соли и кварцевого песка, мы можем рассмотреть удивительно правильные, симметричные формы кристаллов с плоскими гранями и прямыми рёбрами, созданными природой без вмешательства человека.



На рисунке 10.

Кристаллы поваренной соли и кварца.

Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии – упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов и молекул.

Рассматривать примеры симметрии в живой природе, мне хочется с насекомых, а именно, с красивейшего создания земли – бабочки, которая являет собой пример зеркальной симметрии.

На рисунке 11.

Бабочка и жук плавунец.

Продолжая разговор о насекомых, нельзя не упомянуть жуков, также обладающих идеальной зеркальной симметрией. Цветы, нежнейшие создания природы, также достойны упоминания, как примеры поворотной симметрии. Например, ирис является примером поворотной симметрии третьего порядка. Если продолжить тему симметрии в природе переносной симметрией, то обязательно надо упомянуть побеги клёна или ростки Angraecum distichum.

На рисунке 12.

Цветок ириса, ветка клёна и росток Angraecum distichum.

Мы видим, что перенос сопровождается продольным скользящим отражением, и хотя рисунок побега не продолжается до бесконечности (так же как и линейный орнамент, который мы рассмотрим чуть позже), но можно сказать, что, по крайней мере, в одном направлении он потенциально бесконечен.

Говоря о природе, мне бы хотелось особенно остановиться на человеке, который является частью живого мира и ему также в большей или меньшей степени свойственна симметрия. Скульптуры, изображающие людей, часто более симметричны, чем оригиналы, как мраморный Давид с его совершенными пропорциями. В нашем же реальном мире правит асимметрия – руки, уши, глаза, ноги; левый вариант неизменно отличается от правого хотя бы на миллиметр. Но всё таки, идеалом человеческой красоты является симметрия, поэтому люди более симметричные, с меньшими отклонениями от симметрии, кажутся нам более красивыми.

На рисунке 13.

Интересный проект, призванный показать, что такое по-настоящему симметричные лица. Каждую фотографию людей разрезали на две части и соединили левую сторону лица с левой, а правую с правой.

Хотя в современной жизни, как мне кажется, люди пытаются ярче выразить свою индивидуальность, конечно, не уродуя своё тело, но асимметрией в одежде и украшениях, постепенно отходя от античных идеалов красоты. В современном мире, как мне кажется, уживаются симметрия и асимметрия, и так будет всегда, потому что эти оба понятия неотделимы друг от друга. В подтверждение моих слов – отрывок из стихотворения К. Ваншенкина:

Ты качаешь головою,

Говоришь с улыбкой ты:

«Симметрично всё живое –

Люди, звери и цветы».

Это так. Но, между прочим,

Вот берёза. И на ней

Ветви к северу – короче,

К югу – ярче и пышней.
7. Симметрия в искусстве (живописи, скульптуре,

архитектуре, литературе, музыке, танцах).

Наблюдая окружающий его мир, человек исторически пытался более или менее реалистично отобразить его в различных видах искусства, поэтому очень интересно рассмотреть симметрию в живописи, скульптуре, архитектуре, литературе, музыке и танцах.

Симметрию в живописи мы можем увидеть уже в наскальных рисунках первобытных людей. В древние века значительной частью искусства рисования – были иконы, при создании которых художники использовали свойства зеркальной симметрии. Глядя на них сегодня, поражаешься удивительной симметричностью в обликах святых, хотя иногда происходит интересная вещь – в асимметричных изображениях мы ощущаем симметрию, как норму, от которой художник уклоняется под влиянием внешних факторов. Мне кажется, хорошим примером этого являются всадники со знаменитого Этрусского надгробия Триклиния в Корето. С течением веков искусство стремилось отойти от симметрии, которая казалась безжизненной и скучной, вперёд в живописи вырывалась её забытая ранее сестра асимметрия, созвучная свободе, движению вперёд.

Несмотря на то, что в современной живописи на протяжении последних столетий явно преобладает асимметрия, как синоним индивидуальности и даже гениальности художника. На сегодняшний день, как я считаю, классическим примером симметрии в живописи, дошедшей до нас из глубины веков, остаются бордюры и орнаменты, поэтому можно остановиться на них более подробно.

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется бордюром. В жизни бордюры встречаются в виде настенной росписи, плиточных и обойных бордюрах, решётках мостов, оградах парков, кружевах, росписи по керамике и так далее. Все бордюры обладают переносной симметрией вдоль своей оси. Изучая тему бордюров, я нашла семь типов симметрии бордюров, являющихся разновидностями переносной симметрии. Рассмотрим их подробнее на примерах.

• 
  В простейших случаях симметрия полностью исчерпывается понятием чисто переносной симметрии.
  
• 
  Бордюр второго вида может обладать и переносной и зеркальной симметриями, в этом случае ось переноса является одновременно и осью зеркальной симметрии.
  
• 
  Бордюр третьего вида имеет ось переноса, которая является осью скользящего переноса.
  

• 
  Бордюр четвёртого кроме переносных осей имеет и поперечные оси симметрии.
  
• 
  Бордюры пятого вида имеют поворотные оси симметрии второго порядка, перпендикулярные к линии бордюра.
  
• 
  Бордюры шестого вида имеют комбинированные оси скользящего отражения с поворотными осями второго порядка, перпендикулярными к линии бордюра.
  
• 
  Бордюры седьмого вида основаны на комбинации зеркальных отражений.
  

Орнаменты, также являются той частью живописи, которая основана на законах симметрии. Завораживающая красота рисунков орнамента не оставляет никого равнодушным. Орнаменты окружают нас в повседневной жизни, ведь рисунки на обоях и коврах – это самые настоящие орнаменты. В орнаментах мы можем обнаружить затейливое сочетание переносной, зеркальной и поворотной симметрий. Интересные примеры орнаментов мы видим в работах голландского художника Эшера «Летящие птицы» и «Ящерицы».

Изучив симметрию на примерах бордюров и орнаментов, я поняла, что применяя законы симметрии и комбинируя её основные виды, я могу создавать свои собственные бордюры и орнаменты, которые являются неотъемлемой частью современного дизайна.

Золотым веком симметрии в скульптуре и архитектуре была античность. Греко – римская любовь к пропорциям, как высшим ценностям вознесли симметрию на самую высшую точку в скульптуре того времени. Мраморные Венеры и Аполлоны, стремящиеся превзойти богов, создавали идеал красоты той эпохи. Великолепные храмы того времени были переполнены симметрии, но спустя несколько веков, симметрия всё чаще и чаще стала исчезать из архитектуры. Строители храмов, упраздняя симметрию, боролись даже с замыслом архитекторов, заменяя положенные шесть колон - пятью, четыре – тремя. В настоящее время, как мне кажется, установилось временное перемирие между симметрией и асимметрией, которые присутствуют в современной архитектуре, скульптуре, дизайнерских работах в равных пропорциях, сохраняя чёткую геометрическую простоту симметричных тел и асимметричность, привносимую индивидуальностью и талантом автора.

Симметрия, вытесняемая из живописи и архитектуры, постепенно занимала новые сферы жизни людей – музыку и танцы. Так в музыке 15 – ого века было открыто новое направление – имитационная полифония, являющаяся музыкальным аналогом орнамента, позже появились – фуги, звуковые версии сложного узора. В современном песенном жанре, как я считаю, припев – это пример простейшей переносной симметрии вдоль оси (текста песни). В танцах, использующих постоянно повторяющиеся фигуры и па, мы так же находим симметрию, смотрите на рисунок.

Литература тоже не обошла своим вниманием симметрию. Так примером симметрии в литературе могут служить палиндромы, это такие части текста, обратная и прямая последовательность букв которых совпадают. Например, «А роза упала на лапу Азора» (А. Фет), «Уж редко рукою окурок держу». Как частный случай палиндромов, мы знаем много слов в русском языке, являющихся перевёртышами: кок, топот, казак и многие другие. На использовании таких слов часто строятся загадки – ребусы.

8. Выводы.

В своей работе я рассмотрела симметрию в широком понимании этого слова. Понятие симметрии родилось применительно к искусству, но всерьёз заинтересовало математиков – потому что они вообще интересуются любыми закономерностями. Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл. В результате симметрия становится средством математических исследований, помогает решать задачи.

Из рассмотренных в работе примеров можно сделать вывод, что проявления симметрии в природе и искусстве очень сложны. Их нельзя подчинить элементарным математическим законам. Но, только зная законы математики, можно попытаться исследовать законы природы. В этом вновь подтверждаются знаменитые слова Галилея о том, что природа говорит с нами на языке математики.
9. Список литературы.

1. 
   Г. Вейль, Симметрия. Перевод с английского. «Наука», М., 1968.
   
2. 
   Детская энциклопедия, 3-е издание, «Педагогика», М., 1973.
   
3. 
   Л. Тарасов, Этот удивительно симметричный мир, «Просвещение», М., 1980.
   
4. 
   И. Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева, Наглядная геометрия, «МИРОС», 1995.