Доказательство*. Построим △ABC и △A'BC ∾ △AB'C ∾ △ABC'. Опишем окружности ω_A и ω_B около △A'BC и △AB'C, соответственно, с центрами O_A и O_B.

Для полного доказательства необходимо рассмотреть четыре случая.

1. 
   Точка пересечения ω_A и ω_B единственна и совпадает с вершиной треугольника, то есть окружности ω_A и ω_B касаются (рис.2).
   

Рис.2. ( программа «Треугольник»)
Рассмотрим △A'BC ∾△AB'C. Пусть CH_A и CH_B – высоты треугольников △ACB' и △BCA'. Тогда ∠A'CH_A= 90° − ∠BA'C, ∠B'CH_B = 90° – ∠AB'C.

По теореме Брахмагупты[1]: ∠O_ACB =∠A'CH_A= 90°−∠BA'C, ∠O_BCB' = ∠ACH_B =

= 90° − ∠B'AC = 90°−∠CA'B = ∠O_ACB. Так как точки O_A, С, O_B лежат на одной прямой, то B, B', C лежат на одной прямой. Аналогично доказывается, что A, C, A' лежат на одной прямой. Следовательно, прямые, AA' и BB' содержат стороны треугольника AC и BC, то есть КП пересекаются в точке С.

Поэтому, ∠B'CA = 180° −∠C ⇒ ∠AC'B = 180 − ∠C, то есть ω_C проходит через С.

2. 
   Помимо вершины C существует ещё одна точка P внутри треугольника общая для ω_A и ω_B (рис.3). Построим отрезки AP, BP, CP, A'P, B'P, C'P. По свойству вписанных в окружность углов: ∠APB' = ∠ACB' = ∠AC'B, ∠B'PC = ∠B'AC = ∠BA'C, ∠A'PC = ∠A'BC = ∠AB'C. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
   

Рис.3. ( программа «Треугольник»)
∠APA' = ∠APB' + ∠B'PC + ∠A'PC = =∠AC'B + ∠BA'C + ∠AB'C = 180°,

∠BPB' = ∠A'PC + ∠B'PC + ∠A'PB = ∠AB'C +∠BA'C + ∠AC'B = 180°.

Следовательно, точки A, P, A' (B, P, B') лежат на одной прямой.

Далее, ∠APB = 360° – ∠APA' – BPA' = 360° –180° – ∠BPA' = 180° – ∠BPA' ∠APB = 180° –∠AC'B ⇒∠APB +∠AC'B = 180°. Поэтому, окружность ω_C проходит через точку P (в четырёхугольнике APBC' сумма противолежащих углов 180°).

∠BPC' = ∠BAC' = ∠BA'C как углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну дугу ⇒ ∠CPC' = ∠BPC' + ∠BPA' + ∠CPA' = ∠BA'C + ∠AB'C + ∠AC'B = 180° ⇒ C, P и C' лежат на одной прямой.

3. 
   Помимо вершины C существует ещё одна точка P вне треугольника, общая для ω_A и ω_B и принадлежащая зоне типа II (точнее II_С; случаи II_A II_B рассматриваются аналогично) (рис.4).
   

∠BPA' = ∠BCA' = ∠BCA', ∠APC = ∠AB'C = ∠CBA', ∠CPB = ∠CA'B как вписанные углы в окружности, опирающиеся на одну дугу.


Рис.4. ( программа «Треугольник»)
∠APA' = ∠BPA'+∠CPB+∠APC = ∠BCA'+∠CBA'+∠CA'B = 180°. Значит, точки A, P, A' лежат на одной прямой. Аналогично доказывается, что точки B, P, B' тоже лежат на одной прямой. Далее, ∠APB = 180° − ∠BPA' = 180° − ∠BC'A, следовательно, около четырёхугольника можно описать окружность AC'BP, то есть ω_C проходит через точку P ⇒ ∠APС =∠AB'С =∠ABС' =∠APC', т.е. точки P, C и C' лежат на одной прямой.

4. 
   Помимо вершины C существует ещё одна точка P вне треугольника, общая для ω_B и ω_C и принадлежащая зоне типа III (точнее III_A; случаи III_B III_C рассматриваются аналогично) (рис.5). Этого не может быть, так как
   

Рис.5. ( программа «Треугольник»)
∠CPB = 180° −∠AC'B +180° −∠CB'A = 180° + CA'B>180°.

2. 
   Теорема, обратная УТКПО
   

Существует также теорема обратная УТКПО, которую легко проверить, опираясь на доказательство УТКПО.

Теорема. Пусть имеется △ABC и точка P, не в зонах типа III. Около треугольников ABP, BCP, CPA описаны окружности ω_A, ω_B и ω_C соответственно. Прямые AP, BP, CP пересекают окружности ω_A, ω_B и ω_C соответственно в двух точках. Первая точка – P, общая для всех окружностей. Вторые общие точки (назовём их A', B', C' соответственно) расположены вне △ABC. Тогда △A'BC ∾ △AB'C ∾ △ABC' , по условию подобия УТКПО.

3. 
   Интересные свойства для случая
   

совпадения точки пересечения КПО с вершиной треугольника*

Легко проверить некоторые интересные факты для данного случая.

(см. случай 1 доказательства УТКПО и рис.2).

1. 
   Окружность ω_C – описанная около △ABC.
   
2. 
   Две другие КО ω_A и ω_B внешне касаются в точке C, т.е. точки O_A, C и O_B лежат на одной прямой.
   
3. 
   CC' касается ω_A и ω_B.
   
4. 
   Высоты CH_A и CH_B △A'BC и △AB'C лежат на одной прямой.
   
5. 
   A'B || B'A.
   

4. 
   УТКО
   

Теорема. Если на сторонах треугольника построить три окружности как на хордах, сумма градусных мер которых во внешнюю сторону равна 180°, то эти окружности обязательно пересекутся в одной точке.

Указание: легко доказывается, опираясь на доказательство УТКПО.

5. 
   ТЦКО
   

Теорема. Если на сторонах △ABC построить △A'BC∾ △AB'C∾ △ABC', удовлетворяющих условию подобия УТКПО, то треугольник, образованный центрами конкурентных окружностей, описанных около подобных треугольников, подобен им


Рис.6. ( программа «Треугольник»)
△O_AO_BO_C ∾ △A'BC ∾ △AB'C ∾ ∾△ABC', причём

∠O_BO_AO_C = ∠BA'C,

∠O_AO_BO_C =∠AB'C,

∠O_AO_CO_B = ∠AC'B (рис.6).

Доказательство. Рассмотрим ω_A, △A'BC и ∠O_BO_AO_C.

∠BO_AC= 2∠BA'C как центральный.

∠O_CO_AZ = ∠O_CO_AB, ∠O_BO_AZ = ∠O_BO_AC так как BO_CO_AZ и CO_BO_AZ и – дельтоиды.

∠O_CO_AO_B = ∠O_CO_AZ + ∠O_BO_AZ = ½∠BO_AZ + ½∠ CO_AZ = ½∠BO_AC = ∠BA'C.

Аналогично равенство доказывается для ∠O_AO_BO_C и ∠O_AO_CO_B.

2. 
   УСК*
   

Рис.7. ( программа «Треугольник»)
Известно множество способов аналитического задания положения точки на плоскости, такие как система декартовых координат, система полярных координат. Но такие координаты не всегда удобны для описания и решения задач, связанных с треугольником. В настоящие время, существуют и уже очень хорошо изучены такие системы координат как барицентрические [4, 12] и трилинейные [6]. Они прекрасно подходят для описания и решения некоторых задач, связанных с треугольником и его замечательными точками. Однако не все задачи так хорошо описываются и решаются в этих координатах и поэтому на основе УТКПО для удобства и простоты решения некоторых геометрических задач, а так же, исследования некоторых замечательных точек треугольника можно ввести новую угловую систему координат (УСК), которая привязывается к треугольнику.

1. 
   Определение угловых координат*
   

Пусть дан △ABC и точка P принадлежащая зоне I (рис.3). Угловыми координатами назовём значения углов α,β,γ, под которыми из точки P видно стороны △ABC: α=∠BPC, β=∠BPA, γ=∠BPC.

Если точка принадлежит зоне II_A (рис.4), тогда угловые координаты определим как: α=∠BPC, β=180° −∠BPA, γ=∠180° −∠BPC.

Случаи II_B и II_C рассматриваются аналогично.

Если точка принадлежит зоне III_A (рис.5), тогда угловые координаты определим как: α=∠BPC, β=∠BPA, γ=∠360° −∠BPC.

Случаи III_B и III_C рассматриваются аналогично.

Таким образом, для любой точки достаточно знать лишь две координаты, из которых легко можно вычислить третью: γ = 360° – α –β.

Итак, сумма угловых координат любой точки всегда равна 360°, за исключением вырожденного случая совпадения точки X с одной из вершин треугольника (этот случай будет рассмотрен отдельно): α +β +γ =360°;

Если точка P лежит на прямой, содержащей сторону, треугольника (рис.7), то угловую координату, относительно, той стороны, на которой она лежит, будем считать равной 180° (напр. α = 180°).

Лемма 1. ГМТ плоскости, для которых α – const (β – const или γ – const), есть дуга окружности, проходящая через точки B и C, в случае, если α ≠ 180° и прямая BC, если α = 180°.

Доказательство. Рассмотрим △ABC. Пусть α заданная угловая координата, а BC – сторона на которую эта координата опирается.

Пусть ∠X = α, a P – нефиксированная точка. Так как значение ∠P = α постоянно, то вокруг △BCP можно описать окружность, где ∠P = α будет вписанным углом, и опирающимся на дугу BC. Областью возможных принимаемых значений точки P будет дуга, которой принадлежит ∠P = α. Если α = 180°, то △BCP – вырожденный, точки B, C и P лежат на одной прямой, следовательно, угловая координата задаёт прямую, проходящую через эти точки, значит, точка P лежит на прямой BC.

Лемма 2. Две угловые координаты однозначно задают точку плоскости.

Доказательство. Рассмотрим △ABC. Пусть α, β – заданные угловые координаты точки P, а BC, AC – стороны, которые соответствуют этим координатам, P – точка, заданная этими координатами P(α, β).

Из леммы 1 следует, что каждая угловая координата задаёт дугу, но дуги могут иметь одну, две точки пересечения или не пересекаться вообще. Из определения дуг, как частей окружностей описанных около трех точек, (в данном случае BCP и ACP) следует, что дуги имеют обязательно одну точку пересечения, здесь это точка С. Вторая точка пересечения это задаваемая точка P, но из точки C, так как она лежит на прямых a и b стороны BC и AC видны под углом 180°, что отлично от α и β, за исключением вырожденного случая, когда α = 180°, β = 180°, при этом точки X и C совпадут. Следовательно, пара угловых координат однозначно задаёт точку плоскости.

Рассмотрим вырожденные случаи. Для каждого треугольника существует лишь три точки, для которых несправедливо равенство: α +β +γ =360°. Эти точки – вершины данного треугольника, так как две угловые координаты вершины равны 180°, а третья координата равна углу вершины данного треугольника. Справедливо и обратное: если две угловые координаты точки равны 180°, то заданная точка является вершиной треугольника, это следует из того, что точка одновременно должна принадлежать двум прямым треугольника, а единственное их пересечение – вершина треугольника.

В дальнейшем в большинстве случаев, основываясь на лемме 2, мы будем пользоваться для задания точки в угловых координатах лишь двумя координатами.

Отметим, что при помощи угловой системы координат хорошо описываются точка Ферма-Торричелли-Штейнера, ортоцентр, инцентр, точки Брокара, точка описанной окружности, точка Апполония.

2. 
   Перевод из ДСК в УСК*
   

В лемме 2 была доказана однозначность задания точки на плоскости в угловых координатах, а исходя из этого, можно каждой точке заданной в декартовых координатах однозначно сопоставить точку, заданную в угловых координатах.

Пусть имеется треугольник и точка, координаты вершин треугольника и координата точки заданы в декартовой системе: A(x_A ; y_A); B(x_B ; y_B); C(x_C ; y_C); P(x_P ; y_P).

Требуется найти угловые координаты точки P относительно △ABC.

Для начала, необходимо определить положение точки P относительно △ABC.

Определим положение точки C относительно вектора AB (справа или слева), зная это, можно сказать, что точки A и B находятся в том же положении относительно векторов BC и CA соответственно. Если точка C слева от вектора AB, то точки A, B, C «идут» по часовой стрелке, а иначе против часовой стрелки. Каждый вектор имеет свой угол наклона относительно оси OX декартовой системы, лежащий в промежутке от 0° до 360°. Тангенс угла наклона φ – не что иное, как коэффициент ± k в уравнении прямой, содержащий этого вектора (если вектор направлен в верхнюю полуплоскость, то tgφ = k иначе − tgφ = −k). Уравнение всякой прямой имеет вид у = kx+m за исключением вырожденного случая, когда угол наклона φ равен 90° или 270°, тогда уравнение прямой имеет вид x=m.

Зная две точки прямой каждого вектора можно определить уравнения этих прямых по формулам:

Если x₁ = x₂ ,то уравнение приобретает вид:

Но нам необходимо знать угол наклона вектора АВ, а k неоднозначно определяет угол наклона, так как значения тангенсов в I и III, II и IV координатных четвертях совпадают. – I, II координатные четверти, – III, VI координатные четверти. А зная четверть и коэффициент, мы можем определить угол наклона вектора AB:

Таким образом, по этим формулам получим некие значения φ_A , φ_B и φ_C углов наклона векторов BC, CA и AB соответственно. Выполним преобразование векторов AB, BC, CA в вектора A₁B₁, B₁C₁, C₁ A₁ так, чтобы вектор A₁B₁ совпал с осью OX, при этом длины преобразованных векторов останутся прежними, углы между векторами сохранятся, а изменятся лишь углы наклона, для этого вычтем из каждого угла наклона угол наклона вектора A₁B₁ , получим для векторов:

, , .

Если , то C справа от AB, иначе – слева, в случае равенства углов точки ABC лежат на одной прямой.

Вышеописанным способом определим положение точки P относительно каждого из векторов AB, BC и CA. Если точки Р и А лежат в одной полуплоскости относительно прямой BC, то точка может принадлежать зонам I, II_A, III_B, III_C, если нет, то зонам III_A, II_B, II_C. Аналогичным образам, рассматривая взаиморасположение точек B и P, C и P относительно прямых AC и AB соответственно, мы аналитически определим, к какой зоне принадлежит точка P.

Теперь определим значение угловых координат.

Для этого найдем стороны △ABC и длины отрезков (s,t,u), соединяющих точку P и вершины △ABC AP, BP, CP.

Рассмотрим △APB △CPA △BPC, в каждом из них требуется найти угол, образованный отрезками s,t,u применим теорему косинусов и получим для разных зон:

Зона I: , , ;

Зона II_A: ,,;

Зона III_A: ,,;

Зоны II_B , II_C , III_B , III_C определяются аналогично.