I. Классическая теория вероятностей
Основным объектом классической теории вероятности является так называемое случайное событие, то есть событие, которое может произойти или не произойти в результате проведенного опыта. Числовая величина, характеризующая степень возможности данного события, называется его вероятностью.

1. Классическое определение вероятности
Если можно пересчитать все возможные исходы проводимого опыта и если ни один из этих исходов не имеет приоритета по сравнению с другими (то есть при большом количестве опытов все исходы наблюдаются с одинаковой частотой), то говорят, что мы имеем дело со схемой случаев. Будем считать, что — число возможных исходов данного опыта, а — число его исходов, при которых происходит некоторое событие (назовем такие исходы благоприятными или благоприятствующими событию Тогда вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к числу возможных: .
Пример 1. Из колоды в 32 карты вынуто последовательно без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что обе они — тузы.
Решение. Так как первую карту можно извлечь из колоды 32 способами, а вторую — 31 (поскольку в колоде осталась 31 карта), то число возможных исходов опыта . Определим число благоприятных исходов. Первый туз можно выбрать из четырех, имеющихся в колоде, второй — из трех оставшихся. Значит, число благоприятных исходов и искомая вероятность равна

Во многих случаях, однако, непосредственный перебор всех возможных исходов опыта затруднителен в силу их большого количества. Для решения таких задач полезно использовать некоторые комбинаторные формулы, в частности, формулу для числа сочетаний. Число сочетаний из по , то есть число различных неупорядоченных наборов из элементов, выбранных из имеющихся различных объектов, равно

В частности, если имеется группа из объектов двух видов ( элементов первого вида и — второго), из которых требуется выбрать элементов, среди которых должно быть предметов первого типа и второго, вероятность того, что случайно извлеченная подгруппа имеет нужный состав, определяется так:

Знаменатель этой дроби представляет собой число возможных исходов опыта, то есть количество различных наборов по элементов, выбранных из имеющихся без учета их качественного состава. В числителе — число благоприятных исходов, представляющее собой число возможных наборов из элементов нужного вида, умноженное на количество возможных наборов из предметов второго типа.

Пример 2. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь — «наполеон», достали пять пирожных. Найти вероятность того, что среди них два «эклера» и три «наполеона».
Решение. Количество возможных исходов опыта представляет собой число сочетаний из 12 по 5:

Число благоприятных исходов является произведением количества способов, которыми можно выбрать два «эклера» из пяти имеющихся, и числа наборов по три «наполеона» из семи:

Следовательно, искомая вероятность равна

2. Геометрические вероятности
Если множество возможных исходов опыта можно представить в виде отрезка прямой или в виде некоторой плоской или трехмерной области, а множество исходов, благоприятных событию — как часть этой области, то вероятность рассматриваемого события определяется следующим образом:

где — длина отрезка (площадь или объем области), задающего множество возможных исходов, а — соответствующая мера множества благоприятных исходов.

Пример 3. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.
Решение. В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: а мерой множества благоприятных исходов — разность площадей круга и треугольника: . Следовательно, вероятность заданного события равна


3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Напомним, что суммой событий и называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий и , а произведением этих событий — событие, состоящее в том, что произошли оба данных события.

Вероятность суммы двух событий можно найти по теореме сложения вероятностей:

Если событияи несовместны, то есть не могут произойти одновременно, то вероятность их произведения равна нулю, и теорема сложения приобретает более простой вид:

Вероятность произведения событий определяется по теореме умножения вероятностей:

где — так называемая условная вероятность события , то есть вероятность при условии, что произошло. Если осуществление события не изменяет вероятности события , то и называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей:

Заметим, что при решении задач теоремы сложения и умножения обычно используются совместно.

Пример 4. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятности следующих событий:

— оба попали в цель;

— в цель попал хотя бы один.
Решение. Назовем событиями и попадание в мишень соответственно первого и второго стрелка и отметим, что и являются событиями совместными, но независимыми (иными словами, в мишень могут попасть оба стрелка, а вероятность попадания каждого не зависит от результата другого). Событие представляет собой произведение событий и поэтому

Событие является суммой и для определения его вероятности воспользуемся общим видом теоремы сложения:

4. Формула полной вероятности и формула Байеса
Если событие может произойти одновременно с одним из событий , представляющих собой так называемую полную группу попарно несовместных событий (то есть в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие из этой группы), то события называются гипотезами, а вероятность события определяется по формуле полной вероятности:

Здесь — вероятность -ой гипотезы, а — условная вероятность события при осуществлении данной гипотезы.

Пример 5. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой — 5 белых и 3 черных, во второй — 2 белых и 6 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение. Будем считать гипотезами выбор одной из урн. Поскольку урны одинаковы, каждую из них можно выбрать с одинаковой вероятностью, а так как сумма вероятностей гипотез равна 1, то вероятность каждой гипотезы —

Условная вероятность события , то есть извлечения белого шара из урны, определяется по классическому определению вероятности (количеством благоприятных исходов при этом является число белых шаров, а числом возможных исходов — общее число шаров в урне). Поэтому

Используя формулу полной вероятности, получаем:

Если известно, что в результате опыта событие произошло, то эта информация может изменить вероятности гипотез: повышаются вероятности тех гипотез, при которых событие происходит с большей вероятностью, и уменьшаются вероятности остальных. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется так называемая теорема гипотез, или формула Байеса:

(В знаменателе дроби в правой части равенства стоит полная вероятность события ).

Пример 6. В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы, 8 студентов знают ответы на 70 % вопросов и 7 — на 50 %. Первый вызванный студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник.
Решение. Будем считать гипотезой то, что данный студент является отличником, — что он принадлежит ко второй группе, — к третьей. Тогда вероятности гипотез равны:

Найдем условную вероятность события — правильного ответа на первый вопрос — при осуществлении каждой гипотезы:

Следовательно, полная вероятность события равна

Применяя формулу Байеса, находим:

5. Формула Бернулли
Рассмотрим случай, когда требуется определить не вероятность осуществления некоторого события в одном испытании, а вероятность того, что это событие произойдет заданное количество раз в серии из опытов. Будем считать при этом, что вероятность в каждом опыте одинакова и результат каждого опыта не зависит от результатов остальных. Такая постановка задачи называется схемой независимых испытаний. При выполнении указанных условий вероятность того, что при проведении независимых испытаний событие будет наблюдаться ровно раз (неважно, в каких именно опытах), определяется по формуле Бернулли:

где — вероятность появления в каждом испытании, а — вероятность того, что в данном опыте событие не произошло.

Пример 7. Победу в волейбольном матче одерживает команда, выигравшая 3 партии. Найти вероятность того, что матч между командами, для которых вероятность выигрыша каждой партии равна соответственно 0,8 и 0,2, будет состоять из 5 партий.
Решение. Для того, чтобы потребовалось играть пятую партию, нужно, чтобы после четырех партий счет в матче был . Следовательно, каждая из команд должна выиграть любые две партии из четырех. Если есть вероятность выигрыша в каждой партии для первой команды, а — вероятность ее проигрыша, то, применяя формулу Бернулли, найдем, что



II. Случайные величины
Во многих задачах теории вероятности удобнее оперировать не понятием случайного события, для которого существуют только две возможности: оно может произойти или не произойти в результате опыта, а понятием так называемой случайной величины, то есть величины, которая при проведенном испытании может принимать различные значения, причем заранее не известно, какие именно. Если возможный диапазон значений такой величины представляет собой конечное или счетное множество, она называется дискретной случайной величиной, а если эти значения заполняют целиком некоторый интервал — непрерывной случайной величиной.


1. Дискретные случайные величины
Поведение дискретной случайной величины описывается законом распределения (или рядом распределения) — таблицей, в первой строке которой перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй — вероятности, с которыми она принимает эти значения:

Сумма вероятностей должна при этом равняться числу 1.

Пример 8. Из партии, содержащей 10 деталей, среди которых две бракованных, взяты наудачу три детали. Составить ряд распределения случайной величины — числа стандартных деталей среди отобранных.
Решение. Так как бракованных деталей в партии только две, среди трех отобранных должна быть, по крайней мере, одна стандартная деталь. Следовательно, случайная величина может принимать три значения: Найдем соответствующие им вероятности. Число возможных наборов по три детали из 10 имеющихся, то есть число возможных исходов опыта, составляет

Найдем число исходов, благоприятствующих каждому значению случайной величины:

Тогда Поэтому ряд распределения имеет вид:

Однако в ряде задач не требуется полностью знать поведение случайной величины, для решения достаточно лишь нескольких характеристик. Одной из основных числовых характеристик является математическое ожидание (или взвешенное среднее значение), представляющее собой среднее значение рассматриваемой случайной величины с учетом вероятностей принимаемых значений и вычисляемое по формуле:

Кроме того, зная математическое ожидание случайной величины, полезно знать и диапазон ее возможного отклонения от этого значения. Другими словами, если значения случайной величины в основном ненамного отклоняются от среднего, то оно хорошо характеризует исследуемую величину; в противном случае знание математического ожидания мало что дает для описания ее поведения. Характеристикой, показывающей масштаб отклонения случайной величины от математического ожидания, является дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения от среднего:

При практических расчетах удобнее пользоваться другой формулой для расчета дисперсии:

Отклонение случайной величины от математического ожидания задается средним квадратическим отклонением

Пример 9. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины из примера 8.
Решение. Используя найденный ряд распределения, получим:




2. Непрерывные случайные величины
Для непрерывной случайной величины теряет смысл понятие вероятности каждого конкретного значения, поскольку таких значений бесконечно много, и из условия, что сумма вероятностей всех значений равна 1, следует, что вероятность каждого фиксированного значения равна нулю. Поэтому основными характеристиками, описывающими поведение непрерывной случайной величины, являются функция распределения (интегральная функция распределения) и плотность распределения вероятностей (плотность вероятности, дифференциальная функция распределения).

Функция распределения представляет собой вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее аргумента этой функции:

Плотность вероятности (плотность распределения) f (x) является первой производной от функции распределения: . График функции называют кривой распределения.

Понятие вероятности сохраняется для непрерывной случайной величины как вероятность ее попадания в некоторый интервал, которую можно определить так: или

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение определяются следующим образом:

Пример 10. Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

Найти:

Решение. 1) Из условия нормированности плотности вероятности следует, что В нашем случае

откуда

2) Связь между и задается формулой

Поэтому при

при

а для

Cледовательно,










3. Нормальный закон распределения

Особый интерес для практики представляет непрерывная случайная величина, имеющая так называемый нормальный закон распределения, плотность вероятности которой имеет вид:

где и — параметры. Числовые характеристики случайной величины , распределенной по нормальному закону, совпадают с параметрами распределения: а вероятность попадания в интервал подсчитывается по формуле: где — функция Лапласа, значения которой можно найти в таблицах.

Пример 11. Найти вероятность попадания в интервал для нормально распределенной случайной величины с параметрами

Решение.

Известно («правило трех сигм»), что практически все возможные значения нормально распределенной случайной величины сосредоточены в интервале . Действительно, вероятность попадания в этот интервал равна 0,9973, то есть выход за его границы можно считать событием практически невозможным ().

Пример 12. Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины, принимающей значения от 3,5 до 10,1.

Решение. Будем считать границы интервала равными и Тогда и следовательно,
Задачи, которые надо решить

4) Найти вероятность хотя бы одного появления события в 10 независимых опытах, если вероятность появления в каждом опыте равна 0,1.

5) Детали контролируются двумя контролерами. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,4, а ко второму — 0,6. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна — 0,98, а вторым — 0,94. Годная деталь была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил второй контролер.

6) Из колоды в 36 карт выбираются наудачу 4 карты. Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины — числа тузов среди выбранных карт.

7) Плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет вид:

а) Найти значение параметра . б) Построить график функции распределения . в) Найти , и . г) Найти вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала (0,2; 1,2).

8) Средняя масса шоколадных конфет, выпускаемых в коробках кондитерской фабрикой, равна 200 г, среднее квадратическое отклонение 5 г. Считая массу конфет нормально распределенной случайной величиной, найти вероятность того, что масса коробки конфет заключена в пределах (196, 207) г.