Определение степени с целым отрицательным показателем.

Интегрированный урок: математика+ астрономия.

Цель урока: 1) повторить свойства степени с натуральным показателем, свойств степени; 2) ввести понятие степени с целым отрицательным показателем; 3) показать связь алгебры и астрономии; 4) формирование у учащихся единой научной картины мира, целостного представления о нём, гуманистического мировоззрения и диалектического мышления.

Оборудование: доска, проектор, карточки с заданиями.

Ход урока.

1. 
   Повторение свойств степени.
   

Задание 1. Отгадайте ребусы. (астрономия, степень)

«Открылась бездна, звёзд полна,

Звездам числа нет, бездне – дна.»

Так наш великий учёный и поэт Михайло Ломоносов, гениальный сын русского народа, кратко и выразительно сформулировал представление о бесконечности вселенной, являющейся перед нами в виде ночного звёздного неба. Сколько тысячелетий это звёздное небо приковывает взоры человека. В путешествии по небесным просторам среди бесчисленных звёзд и туманностей легко заблудится, если нет под рукой карты и каталога. Людей, которые измеряли координаты звёзд, в древности называли звездочётами. Сегодня таких людей называют астрометристами.

Задание 2. Вспомнив свойства степени, отгадайте автора древнего каталога звёзд, дошедшего до нашего времени.(Найдите букву, соответствующую свойству; запишите буквы в порядке номеров приведённых свойств.)

Задание 3. Выполните вычисления и определите, в каком веке он жил. Что означает в ответе знак минус?( 2 век до н. э.)

Гиппарх – древнегреческий учёный, один из основоположников астрономии. Родился в городе Никея, жил и работал на острове Родос. Гиппарху принадлежит заслуга создания первых математических теорий видимого движения Солнца и Луны и теории затмений. Он правильно определил размер Луны и её расстояние от Земли. Сопоставляя результаты личных наблюдений и наблюдений своих предшественников, он с точностью до дня вычислил продолжительность солнечного года. Гиппарх и другие астрономы древности уделяли много внимания наблюдениям за движением планет.

2. 
   Изучение нового материала ( основные понятия)
   

Окружающий нас мир очень разнообразен и качественно и количественно. В справочнике по физике или астрономии можно найти сведения о том, что масса Солнца равна 1,985∙10³³ г, а масса атома водорода 1,674∙10^-24 г. Запись 10³³ означает произведение тридцати трёх множителей, каждый из которых равен 10. А каков смысл записи 10^-24 ?

Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д. Получим строку 10⁰, 10¹, 10², 10³,… В этой строке каждое число меньше следующего за ним в 10 раз. Продолжая строку по тому же закону влево, перед числом 10⁰ следует написать 1/10=1/10¹, перед числом 1/10¹ – число 1/100=1/10², перед числом 1/10² – число 1/10³ и т. д. Получим: …, 1/10³, 1/10², 1/10¹, 10⁰, 10¹, 10², 10³,… В строке справа от числа 10⁰ показатель каждой степени на 1 меньше показателя следующей за ней степени. Распространяя этот закон на числа, стоящие слева от числа 10⁰, их записывают в виде степени числа 10 с отрицательным показателем. Вместо 1/10¹ пишут 10^-1, вместо 1/10² пишут 10^-2, вместо 1/10³ пишут 10^-3 и т. д. Получают: …, 10^-3,10^-2, 10^-1, 10⁰, 10¹, 10², 10³,… Итак 10^-1=1/10¹, 10^-2=1/10², 10^-3=1/10³ и т. д. Такое соглашение принимается для степеней с любыми основаниями, отличными от нуля.

Определение: если а ≠ 0 и n- целое отрицательное число, то аⁿ = 1/a^-n.

Пользуясь этим определением, найдём, что: а) 2^-4=1/2⁴=1/16; б) (1/3)^-2=1/(1/3)²=1/1/9=9; в) а^-3=1/а³.

Отметим, что выражение 0ⁿ при целом отрицательном n и при n=0 не имеет смысла. При натуральном n выражение 0ⁿ имеет смысл, и его значение равно нулю.

Вернёмся к примеру, рассмотренному в начале пункта. Теперь вы знаете, что запись 1,674∙10^-24 г, выражающая массу атома водорода, означает: 1,674∙10^-24 г=1,674∙1/10²⁴ г=1,674:10²⁴ г= 0,00….01674г

24 нуля

3. 
   Работа с учебником.
   

Решим следующие номера №903, 904,905.

4. 
   Самостоятельная работа.
   

Задание 4. Движение Солнца происходит по кругу. Как называли круг астрономы древности?

Выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Они позволяют прочитать слово (зодиак).

Солнце и Луна, перемещаясь по небу, движутся среди одних и тех же звёзд. Эта полоса на небе, этот, так сказать, звездный пояс, охватывающий по кругу весь небесный свод, назвали зодиакальным поясом и разделили его на двенадцать частей, причем каждую часть назвали знаком зодиака. Обходя все звездное небо по кругу в течение года, Солнце оказывается то в одном, то в другом знаке зодиака. Когда Солнце входит в одни знаки зодиака, на земле настает лето; когда оно входит в другие знаки зодиака - наступает зима, и т.д. Каждый сезон года, всякое время земледельческих работ оказывается связанным с положением Солнца в поясе зодиака. Слово «зодиак» в переводе с древнегреческого на русский язык означает «пояс зверей». Происхождение этого названия таково. В соответствии с полевой работой, в соответствии с изменением времени года знаки зодиака получили названия, большинство которых, так сказать, звериные. Эти знаки зодиака называются так: Овен(ягненок), Телец(бык), Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог(подобие козла), Водолей, Рыбы. Знаки зодиака есть проявление древнейших астрономических знаний. Их изображения можно найти высеченными из камня на гробницах, памятниках и других сооружениях. Найдены изображения знаков зодиака, сделанные древнейшими народами – египтянами, индусами, китайцами и ацтеками. Многие из рисунков имеют давность в две-три тысячи лет.

Задание 5. Выполните вычисления и выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Получите слово, которым называют участок неба в пределах некоторых границ (созвездие).

Звёзды в небе объединены в группы – созвездия. Вы любите смотреть на звёздное небо? Что вы там наблюдаете? (лучистость и мерцание)

Глядя на звёзды невооружённым глазом, мы видим их лучистыми. Причина лучистого вида звёзд кроется в нашем глазу, в недостаточной прозрачности хрусталика, имеющего не однородное строение, как хорошее стекло, а волокнистое. Существует способ освободиться от влияния этого недостатка нашего хрусталика и видеть звёзды без лучей, не обращаясь притом к услугам телескопа. Способ этот ещё 400 лет назад был указан Леонардо да Винчи. «Посмотри,- писал он,- на звёзды без лучей. Этого можно достигнуть, наблюдая их сквозь малое отверстие, сделанное концом тонкой иглы и помещённое вплотную к глазу. Ты увидишь звёзды столь малыми, что ничто другое не может казаться меньше».

Как и лучистость, мерцание не есть свойство, присущее самим звёздам; оно придаётся им земной атмосферой, через которую лучи звёзд должны пройти, прежде чем достигнуть глаза.

В каждом созвездии есть звёзды разной яркости, в том числе самая яркая звезда. До изобретения компаса звёзды были основными ориентирами: именно по ним древние мореходы и путешественники находили нужное направление. Астронавигация (ориентирование по звёздам) сохранила своё значение и в наш век спутников и атомной энергии. Она необходима для штурманов, капитанов, космонавтов и пилотов. Навигационными называют 25 ярчайших звёзд: Альтаир, Спика, Сириус, Арктур и т. д. Самая известная группа звёзд в северном полушарии – Большая Медведица. Созвездие Большой Медведицы может служить хорошим помощником для запоминания ярчайших звёзд Северного полушария. По ковшу Большой Медведицы легко определить северное направление: прямая дорога от двух крайних его звёзд приведёт вас к Полярной звезде. Полярная звезда и есть настоящая звезда – компас. Когда смотришь на неё, то перед тобой – Север, а сзади – Юг.

Названия созвездий (общим числом около восьмидесяти на всём небе) в большинстве своём перешли к нам от древних народов без изменений, и до сих пор в научных астрономических книгах упоминаются имена таких созвездий, как Большая и Малая Медведицы, Большой Пёс и Малый Пёс, Рысь, Гончие Псы, Лисица, Лебедь, Орёл, Кит, Ворон, Волк, Ящерица, Змея и др.

Часть созвездий получила название в соответствии с теми сказаниями о богах или героях (мифами), которые существовали у разных народов. Так появились созвездия «великого охотника Ориона», «силача и героя Геркулеса», «красавицы Андромеды» и другие.

5. 
   Итог урока. Контрольные вопросы. 1) Дайте определение степени с целым отрицательным показателем. 2) На примерах поясните данное определение. 3) Представьте в виде дроби выражение 8х³ у^-2 z⁰.
   
6. 
   Задание на дом. Прочитать п. 33; решить № 906, 909, 916.
   

Урок по теме «Определение степени с целым отрицательным показателем».

Задание 1. Отгадайте ребусы.

Задание 2. Вспомнив свойства степени, отгадайте автора древнего каталога звёзд, дошедшего до нашего времени.(Найдите букву, соответствующую свойству; запишите буквы в порядке номеров приведённых свойств.)

Автором древнего каталога был…

1. 
   aⁿ=a∙a∙a∙a∙…∙a, n множителей;
   
2. 
   aⁿ ∙a^m =a^n+m ;
   
3. 
   aⁿ : a^m = a^n+m ;
   
4. 
   (aⁿ )^m = a^n∙m ;
   
5. 
   (a∙ b)ⁿ = aⁿ ∙bⁿ ;
   
6. 
   a⁰=1;
   
7. 
   1∙ a=a; Ответ:
   

Задание 3. Выполните вычисления и определите, в каком веке он жил:

-2∙2² :4²=

Что означает в ответе знак минус? Ответ:

Задание 4. Движение Солнца происходит по кругу. Как называли круг астрономы древности?

Выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Они позволяют прочитать слово.

1. 
   10 ∙ 2^-1 =
   
2. 
   100 ∙ 5^-2 =
   
3. 
   8 ∙ 2^-2 =
   
4. 
   100 ∙ 10^-1 =
   
5. 
   10^-2 =
   
6. 
   10^-1 =
   

Ответ:

Задание 5. Выполните вычисления и выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Получите слово, которым называют участок неба в пределах некоторых границ.

1. 
   4^-2 =
   
2. 
   (-3)^-3 =
   
3. 
   (-1)^-9 =
   
4. 
   (1/7)^-2 =
   
5. 
   (-2/3)^-3 =
   
6. 
   (1/2)^-5 =
   
7. 
   8 ∙ 4^-3 =
   
8. 
   18 ∙(-9)^-1 =
   
9. 
   10 ∙ (-1/5)^-1 = Ответ:
   

Задание 6. Представьте в виде дроби выражение 8х³у^-2z⁰ =

Варианты ответов: а) 8x³/ y²z; б) 8x³z/ y²; в) 8x³/ y².

Итог урока:

1. 
   Определение степени с целым отрицательным показателем – если а ≠ 0 и n – целое отрицательное число, то аⁿ =1/a^-n .
   
2. 
   Зодиак – круг, состоящий из 12 созвездий, по которому в течение года совершается видимое движение Солнца;
   
3. 
   Созвездие – участок неба в пределах некоторых границ;
   
4. 
   Астронавигация – ориентирование по звёздам;
   
5. 
   Астрометрист – учёный, определяющий и измеряющий координаты звёзд.
   

Задание на дом. Прочитать п. 33; решить № 906, 909, 916.

Таблица 1.

Р Степень с нулевым показателем	Х Свойство единицы
Г Определение степени	П Деление степеней с одинаковыми основаниями. Возведение степени в степень
А Возведение произведения в степень	И Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Таблица 2.

50	5	24	4	0,2	2	10	1	0,01	0,1
Н	З	П	О	Г	Д	И	Р	А	К

Таблица 3.

В	Д	Е	З	И	З	О	Е	С
49	1/8	-27/8	-1	-2	32	-1/27	-50	1/16

Космическая сказка( фрагмент).

Окрашен космос в чёрный цвет.

Поскольку атмосферы нет.

Ни ночи нет, ни дня.

Здесь нет земной голубизны.

Здесь виды странны и чудны:

И звёзды сразу все видны,

И Солнце и Луна.

На севере звезда видна,

И называется она

Полярною звездой.

Она надёжный друг людей,

И две Медведицы при ней

Среди космических огней

Всё ходят чередой.

Невдалеке притих Дракон.

Косится на Медведиц он.

Жуёт концы усов.

И долго наблюдал Орёл,

Как тощий Волк куда-то брёл

И стороною обошёл

Созвездье Гончих псов.

Легенда о созвездиях.

Большая Медведица. Юпитер влюбился в нимфу Калисто, но из-за гнева богини Дианы ему пришлось превратить её в Большую Медведицу, а её любимую собаку – в Малую Медведицу. У Калисто был сын Аркад, который вырос и стал страстным охотником. Во время охоты, встретив медведицу и не узнав в ней мать, он чуть не убил её. Появившийся вовремя Юпитер перенёс их обоих на небо в виде созвездий Большой Медведицы и Волопаса. Рядом с ним его собаки – созвездие Гончих псов.