Задания расположены в порядке возрастания сложности, что даёт возможность учащимся преодолевать возникшие затруднения. Так, если в заданиях 1-2 уравнения имеют вид ах=в, то уравнения 3-5 необходимо сначала привести к этому виду, и только потом исследовать. В заданиях 6-11 учащимся предлагается исследовать дробно-рациональные уравнения,- это случай равенства двух дробей с равными знаменателями, случай равенства дроби нулю, случаи равенства дробей с разными знаменателями. Наконец, решения уравнений 12-16 требуют знаний свойств модуля.
Важно, что предложенный в пособии алгоритм решения является универсальным для данного класса задач.
Задания можно использовать в 7-11 классах, в зависимости от математической подготовки учащихся. Это могут быть урок- практикум, занятия факультатива, кружка, элективных курсов.
Тема «Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в содержание ЕГЭ.
Методист ГМЦ г. Костромы Борткевич Л. К.
Тема: Исследование линейных уравнений, содержащих параметр.
Справочный материал
Решение линейного уравнения a∙x=b, где a и b – параметры,
a ∙ x = b
а ≠ 0
а = 0
b – любое число (Почему?)
b ≠ 0
b = 0
0 ∙ x = 0
x – любое число
0 ∙ x = b
один корень
нет корней
бесконечно много корней
Для каждого значения параметра а найдите число корней уравнений (1 - 8)
9) Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значений параметра b?
10) Сколько корней имеет уравнение 
в зависимости от значений параметра а?
11) При каких значениях параметра с уравнение
не имеет корней?
Сколько корней при различных значениях параметра а имеет уравнение?
12)
13)
14)
15)
16)
Решения и ответы.
Решение
В этом уравнении на самом деле 2 переменные, но считают 
– неизвестным, а 
– параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной при любом значении параметра .
Если = 0, то уравнение примет вид 
и не будет иметь корней
Если ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение 
Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это важно, когда решение разбивается на несколько случаев. При этом составление ответа – это сбор ранее полученных результатов в отдельных частях решения. Необходимо отразить в ответе все этапы решения.
Ответ: при = 0 корней нет;
при ≠ 0 .
2. 
Решение
При = 2 уравнение примет вид 
и не будет иметь корней.
При ≠ 2 уравнение имеет единственный корень 
Ответ: если = 2, то решений нет;
если ≠ 2, то .
3. 
Решение
Приведем уравнение к виду 
При = 0 уравнение примет вид и не имеет корней.
При = -1 получаем 
, и очевидно – любое.
При ≠ 0 и ≠ -1 имеем 
.
Ответ: если = 0, то корней нет;
если = -1, то – любое число;
если ≠ 0 и ≠ -1, то .
4. 
Решение
Приведем уравнение к виду
При = 0 уравнение примет вид 
и не имеет корней.
При = 2 получаем , и очевидно – любое.
При ≠ 0 и ≠ 2 имеем 
.
Ответ: если =0, то нет корней;
если = 2, то – любое число;
если ≠ 0 и ≠ 2, то .
5. 
Решение
Приведем уравнение к виду .
При = 2 получаем , и очевидно – любое.
При = -2 получаем , и уравнение не имеет корней.
При ≠ 2 и ≠ -2 имеем 
.
Ответ: при
= 2, – любое число;
при = -2, нет решений;
при ≠ 2, ≠ -2, .
6. 
(1)
Решение
Так как знаменатель не должен быть равен нулю, то +7≠0, ≠ -7
Знаменатели алгебраических дробей равны, следовательно, для того, чтобы выполнилось равенство (1), должны быть равны и числители:
-5=-; 2=+5; 
,5
Мы выразили неизвестное через параметр , но для есть ограничение ≠ -7, т.е.
,5≠-7 , откуда ≠ -19
При = - 19 исходное уравнение корней не имеет, так как при подстановке данного значения в исходное уравнение получаем для значение -7. которое не входит в область допустимых значений.
Ответ: при ≠ -19 , ,5;
при = -19, нет корней.
7. 
Р
ешение
Решение этого уравнения равносильно системе -=0
+2≠0
Имеем =
≠ -2
Условие
≠ -2 влечет за собой требование ≠ -2
Ответ: при ≠ -2, = ;
при = -2, нет корней.
8. 
Ответ: при ≠ -2, = 2;
при = -2 нет корней.
9.
Решение
Очевидно, что ≠ 2, а 2-
= 0, т.е. 
, но ≠2, т.е. 2≠
, ≠4.
Ответ: при ≠4 , ;
при =4 нет корней.
10.
Решение
Это уравнение равносильно системе 2(-) = (-3) Имеем (-2) =
-3 ≠ 0 ≠ 3
Система имеет единственное решение, если
-2 ≠0, ≠ 2, 
и ≠3, т.е. 3≠
, ≠ 3.
Если = 2, = 3 корней нет.
Ответ: при = 2, = 3 нет корней;
при ≠ 2, ≠ 3 .
11. При каких значениях параметра 
уравнение не имеет корней?
Р
ешение
Это уравнение равносильно системе 8(+) = (1-)
1- ≠ 0
Решим уравнение системы
8(+) = (1-)
При = -8 получим ∙ 0 = 56, уравнение не имеет корней.
При ≠ -8, 
. Условие ≠1 влечет за собой требование 
≠1 , ≠ -1
Ответ не имеет корней при = -8; = -1.
12.
Ответ: < 0 , то нет корней;
> 0 , то = , = -;
= 0, то = 0.
13.
Р
ешение.
Это уравнение равносильно системе │-2│= 0 Имеем -2 = 0 Имеем = 2
│+│= 0 + = 0 = -
Ответ: если = -2, то = 2
если ≠ -2, нет корней.
14.
Ответ: если = 0, то = -2;
если ≠ 0, нет корней.
15.
Решение
Это уравнение равносильно системе │+2│= 0 Имеем +2 = 0 Имеем = - 2
П
ри =0 = -2 Имеем = -2 Имеем = -2
- любое
Ответ: если
= 0, то = -2;
если ≠ 0, нет корней.
16.
Решение
Это уравнение равносильно системе │
-1│= 0 Имеем -1 = 0
│ ∙(-1)│= 0 ∙(-1) = 0
При ≠ 0 второе уравнение системы, а значит и сама система, имеет единственный корень = 1. Если же = 0, то из второго уравнения получаем – любое.
Следовательно, в этом случае система имеет два корня: = 1 или = -1.
Ответ: если ≠ 0, то = 1;
если
= 0, то = 1, = -1.