Кустовая олимпиада 2002

Улусная олимпиада -1997.

На доске были написаны два числа а₁ и а₂. Рядом с ними написали третье а₃=а₁ + а₂, а затем четвертое а₄=а₂ + а₃ и т.д. Чему равны суммы а_{1 +}а₂ + а₃ + а_{4 +}а₄ + а_6,если а₅=-7. (28)
Сколько граммов воды надо прибавить к 50 граммам 35% соляной кислоты, чтобы получить 70% кислоту?
За 38 альбомов, 3 линейки и 4 циркуля заплатили 54 рубля. Альбом в 4 раза дороже линейки, а 5 линеек стоят столько же, сколько 2 циркуля. Найдите цену альбома, линейки и циркуля. (линейка – 1200 рублей, альбом – 4800 рублей, циркуль - 3000).
Какой цифрой оканчивается выражение: 14²³ + 23²³ + 70²³.
Данный треугольник АВС на 20 одинаковых треугольников.

Школьная олимпиада.

80% пути из школы домой ученик едет на троллейбусе, остальную часть идет пешком и тратит на всю догу 18 минут. Однажды, из-за аварии, троллейбусы не ходили и ему пришлось идти домой пешком. Сколько минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше скорости ученика?
Решить уравнение: .
Найти два числа, если одного равны другого и если их сумма равна 172.
Доказать, что сумма четырех последовательных натуральных чисел не может быть натуральным числом.
10 плиток размером 1х2 распилили на 20 треугольных плиток. Как сложить из них квадрат?

Школьная олимпиада – 1998.

Делится ли на 81 число, записанное 81 единицами?
Не нарушая последовательности цифр 1, 9, 9, 8 употребляя знаки действий и скобки, получить 0, 1, 2.
Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% больше орехов, чем в первом и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
Докажите, что .
Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая слева цифры не пятерки?

ЗМШ «Дьо5ур»

Икки чыы´ыланы бул. £ск³тµн биирэ икки´иттэн 16-нан улахан уонна бастакы чыы´ыла ½ иккси чыы´ыла 3/16-гар тэ² буолла±ына.
Турист барбытынаа±ар автобу´унан 80 км-нан у´уну айаннаабыт. Автобу´унан айаннаабытыгар пое´ынан 120 км-нэн, онтон сатыы барбытынаа±ар 6 т³гµл у´уннук айаннаабыт. Турист барыта хас км сатыы, автобу´унан уонна пое´ынан айаннаабытый?
А±а 4 уоллаах, билигин саа´а 35-´э. Уолаттар бэйэ-бэйэлэрин 2-лии сыл балыстар. £ск³тµн улахан уол саа´а 8 буолла±ына, анны хас сылынан уолаттар а±аларын били²²и саа4ыгар тэ²нэ´иэхтэрэй?
«Лицей» диэн 5 буукубалаах тылтан хас араас к³рµ²µнэн 3 буукубаны талан ылыахха с³бµй?
Хас биирдиилэрэ 10, 9, 7, 4 уонна 3 звенолартан турар 5 сыап кэрчиктэриттэн 33 звенолаах биир сыап о²о´уллуохтаах. Саамай кырата хас араарыы уонна сварка к³м³тµнэн сыабы о²оруохха с³бµй?
Дууп уонна харыйа мастартан турар ойууртан «Пень - Инвест» хампаанньа дууп 1/3, харыйа 1/6 кэрдибит. «Мастар ахсааннарын а²ара кэрдиллибит» диэн «Кµ³±µ харыстааччы» экологическай тэрилтэ отчуотугар суруллубут этии сыы´атын дакаастаа.
16 см усталаах боробулуохаттан к³н³ муннугу токурутан о2орбуттар. Бу к³н³ муннук устата, туората хастыы см см буоллахтарына иэнэ саамай улахан буолуой?
Чётнайа суох (тэ²э суох) чыы´ыла квадрата чётнайа суох диэн дакаастаа.
Эримтэ устун 6 араас чыы´ыла суруллубут. £ск³тµн хас биирдии чыы´ыла сэргэ турар чыы´ылаларын µ³скэмигэр тэ² буолла±ына ханнык чыы´ылалар уонна хайдах бэрээдэгинэн суруллубуттарый?
4х4 кээмэйдээх квадрат клеткаларыгар крестиктары уона ноликтары туруортаа. Хас биирдии крестик аттыгар биир эрэ нолик бар буолуохтаах.

ЗМШ «Дьо±ур» - 2000.

¥с дьиэ ха´аайына µс холудьа´ынан ту´аналлар. Ол эрээри холудьастара сотору – сотору кууран хаалар. Онтон хас биирдии ха´айын бэйэтин дьиэтиттэн µс холуодьаска µ´µ³ннэригэр тиийэр уонна атыттары кытта бы´а охсуспат суоллары о²осторго бы´аарыммыттар. Ити кыаллыа дуо?
Квадрат хас биирдии ³рµтµн 20% улаатыннарбыттар. Онуоха квадрат иэнэ хас % улааппытый?
Кэскил а±атын кытта ох – саанан ыта арбыттар. Кинилэр маннык сµбэлэспиттэр: Кэскил 5-тэ ытар, хас тапта±ын аайы ³сс³ иккитэ ытар бырааптаах. Кэскил барыта 17 т³гµл ыппыь. Ол аата кини хаста таба ыппытый?
Остуолга сытар кинигэлэри баайталыахха наада. £ск³тµн итилэри 5-тии эбэтэр 6-лыы гына баайдахха 1 кинигэ ордор. Онон кинигэлэри 7-лии гына баайдахха с³п эбит. £ск³тµн кинигэ ахсаан 100-тэн а±ыйах буолла±ына, остуолга хас кинигэ сытарый?
2*3 чыы´ыла хас тµ²этээччилээ±ий?
Баанка±а баар персиктар а²аардарын Наташа сиэбитин кэннэ компот 1/3 кыччаабыт. Хаалбыт персиктар а²аардарын сиэтэххэ компот хас чаа´ынан кыччыа±ай?
5 б³тµ³н уонна 2 биэдэрэ µµт баар. Б³тµ³²²э биэдэрэттэн 3 т³гµл а±ыйах µµт ккирэр. Биэдирэлэртэн 4-µµ л µµтµ, онтон б³тµ³ннэртэн 1-дии литр µµтµ к³±µрэттэххэ б³тµ³ннэргэ баар µµт биэдирэлэргэ баар µµккэ тэ²нэ´эр. Б³тµ³²²э т³´³ литр уонна биэдирэ±э т³´³ литр µµт киирэрин бы´аары².
¥с а±а – Андрей, Борис уонна Виктор биирдии уоллаахтар: Дима, Гриша, Егор; уонна биирдии кыыстаахтар: Ира, Женя, Зина. Зина – Дима эдьиийэ, Женя – Андрей кыы´а, оттон Виктор уола – Егор. Гриша Ира убайа буолар дуо?
1 см ³рµттээх кубигы кырааскалыырга 1 грамм кырааска наада. 5 см ³рµтээх кубигы кырааскалыырга т³´³ грамм кырааска нааданый?
Балыксыттар ма²най 60 собону илимнээн ылбыттар, онтон сорохторун бэлиэтээн баран ууга т³тт³рµ ыыппытар. Н³²µ³ кµнµгэр 60 собону илимнээн ылбыттар, онуоха 5 собо бэлиэлээх эбит. Итиннэ оло±уран кµ³лгэ барыта т³´³ собо баарын этиэххэ с³п дуо?

Кустовой матбой, 6-7 классы. 2001 год.

4 арбуз маассата тус ту´унан. Гиирэтэ суох ыйаа´ыны туттан, биэстэн элбэхтэ ыйаабыкка эрэ арбуз маассатын улаатан и´эр бэрээдэгинэн хайдах уурталыахха с³бµй?
Футбол кµрэхтэ´иитигэр 10 хамаанда кыттар. Итилэртэн ха ба±арар икки хамаанда бэйэ-бэйэтин кыта биир матчы оонньуохтаах. Кµрэхтэ´ии ханнык ба±ар кэмигэр тэ² ахсааннаах матчы оонньообут икки хамаанда баарын дакаастаа.
¥с мµччµргэннээх айанньыт тыынан µрэ±и туруохтаах. Тыылара 100 кг ыйаа´ыны эрэ уйар эбит. Айанньыттар соторутаа±ыта кэмнэммит буолан ыйаа´ыннара биллэр эбит: Айгыл – 52 кг, Айаан – 42 кг, онтон Айгыл аба±ата Мэхээс 98 кг ыйаа´ыннаах эбит. Кинилэр ити тыынан биир биэрэктэн утары биэрэккэ хайдах албастаан а±ыйах сырыынан туоруохтарай?
Холбоотоххо квадрат тахсарын курдук 16 х 9 кээмэйдээх к³н³нньµгµ (прямоугольнигы) икки тэ² часка кырый.
Биэс бэлиэлээх чыы´ыланы 9-ка т³гµллээбиттэрэ бэриллибит чыы´ыла сыыппаралара т³тт³рµ бэрээдэгинэн суруллубут чыы´ылата тахсан кэлбит. Чыы´ыланы бул.
19⁰ муннук бэриллибит. Онтон 1⁰ муннугу хайдах тутуохха с³бµй?
Дуоска±а 1-тэн 10-²а диэри сыыппаралар суруллубуттар. Тµ³рт сыыппараны соппуттар. Ордон хаалбыт сыыппараларга араастара 5 буолар икки сыыппара хайаан да баар диэн дакаастаа².
Кылааска 19 хайы´ардьыт, 8 тустуук, 11 сµµрµк баар. Биллэрин курдук хас биирдии µ³рэнээччи эбэтэр биир, эбэтэр µс к³рµ²µнэн дьарыктанар. ¥с к³рµ²µнэн 5 ки´и дьарыктанара биллэр. Кылааска барыта хас µ³рэнээччи баарый?
Бииртэн ты´ыынча±а диэри иккигэ да биэскэ да тµ²этиллибэт хас чыы´ыла баарый?
Бэ±э´ээ кылааска баар о±о ахсаана суох о±о ахсаанынаа±ар 8 т³гµл элбэх этэ. Бµгµн ³сс³ 2 о±о µ³рэнэ кэлбэтэх, онуоха суох о±о ахсаана баар о±о ахсаанынаанын 20% буолбут. Кылааска барыта хас µ³рэнээччи баарый?

Кустовой матбой, 6-7 классы. 1999 год.

Расставьте в кружочки цифры от 1 до 8 так, чтобы в горизонтальном рядах получились числа, являющиеся квадратами, а сумма чисел расположенных друг против друга, по стрелке, кружках была одна и та же.

Все натуральные числа от 1 до100 разбиты на две группы: четные и нечетны числа. Определить в какой из групп сумма всех цифр использованных для записи чисел больше и на сколько?
Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 и 12 см так, чтобы не было обрезков. Как это сделать?
В записи 13*045* замените * цифрами так, чтобы оно делилось на 72.
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти мост за 1 минуту, мама - за 2 минуты, малыш – за 5 минут, бабушка – за 10 минуты. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. За какое наименьшее время они могут перейти мост? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из них скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издалека нельзя. Носить друг друга на руках нельзя).
Из бумажного квадрата сгибанием получите равнобедренный треугольник.

Если в классе 23 ученика, а сумма их возрастов 321 год. Верно ли, что в классе обязательно найдется ученик, которому ещё не исполнилось 14 лет?

Кустовая олимпиада 6-7 классы – 2004 год.

6 лиис кумаа±ыны ылбыттар. Олортон сор±отун 7 лоскуйга быспыттар, ол сорох лоскуйдары ³сс³ 7 лоскуйга араарбыттар. Тµмµккэ 67 лоскуй кумаа±ы баар буолуон с³п дуо?
Чыы´ыла 99 ахсааннаах «1» сыыппараларынан суруллубут. Бу чыы´ыла 37-±э тµ²этиллэр диэн дакаастаа².
Айанньыт А пуунтан ВС суолга тиийиэхтээх. ВД ³рµскэ атын уулатыахтаах уонна А пуу²²а т³ннµ³хтээх. Кини саамай а±ыйах бириэмэни ыытар наадаттан, ханнык суолунан айанныахтаа±ый? (£рµс биэрэгэ уонна суол к³н³л³р).
1-тэн 12-гэ диэри бары бµтµн чыы´ылаларга тµ²этиллэр, саамай кыра натуральнай чыы´ыланы булу².
Буукуба оннугар сыыппараны туруор. Эбиини о²ор. Тэ² буукубалар тэ² сыыппара буолаллар: СОРОК + ОДИН = ТРИСТА.
Фермер µлэтин кµн аайы биир кэм²э бµтэрэр уонна кинини ыла кэлбит массыынанан дьиэлиир. Кини биирдэ биир чаас эрдэ бµтэн дьиэтигэр сатыы баран и´эн утары и´эр массынатыгар олорбут уонна дьиэтигэр уруккутунаа±ар 20 мµнµµтэнэн эрдэ кэлбит. Фермер сатыы т³´³ ³р хаампытый?
7⁷⁷ + 1 чыы´ыла 5-кэ тобо±о суох тµ²этиллибэт диэн дакаастаа².

Тренировочные задачи.

Ширину прямоугольника увеличили на 3,6 см, а длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%. Найти ширину нового прямоугольника. (4,5 см).
При делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли данное число нацело на 75 и почему? (да).
Разложите на множители а³ + а² + 4. ((а + 2)(а² – а +2)).
Сократите дробь: .
За последние месяцы цены на продукты питания росли в среднем на 10% в месяц. На сколько процентов возросли цены за три месяца? (на 33,1%)
Найдите три различные натуральные числа произведение любых двух , из которых делится на сумму этих двух чисел.
Какой цифрой оканчивается данное произведение: 11 · 13 · 15 · … · 29?
Петя с Васей по очереди записывая по одной цифре, начиная с большего разряда пишут 12-значное число. Начинает Вася. Докажите, что не учитывая число, которое записывает Вася, в окончательном итоге. Петя может сделать число, которое делится на 9.
В дачном кооперативе всего 25 участков в виде квадрата 5 х 5. все хозяева данных участков считают лучшим участки всех остальных (у них общий двор). Могут ли они сменяться с понравившимся участком?
Докажите, что квадрат можно разделить в более: а) 6; б) 7; в) 8 квадратиков любого размера.
Выписали все натуральные числа от 1 до 1999 без промежутков. Найдите длину полученного числа. (6889).\
После того как сделали 15 распилов, получилось 20 поленьев. Сколько бревен было первоначально? (5).
Артем за весну похудел на 10%, потом за лето поправился на 10%, за осень опять похудел на 10% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год вес Артема прежним? Уменьшился или увеличился?
Даже когда верблюд Дезире хочет пить, 84% его веса составляет вода. После того, как он напьется воды, его вес станет равным 800 кг, а вода будет составлять 85% его веса. Сколько весит Дезире, когда испытывает жажду?
Четырехугольник с длинами 1, 1, 1 и 2 имеет 2 параллельные стороны и разбит на 4 одинаковые фигуры. В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найди отношение длины большего отрезка к меньшему.

В классе число отсутствующих учеников составляло часть числа присутствующих, когда из класса вышел 1 ученик, число отсутствующих стало равно числа присутствующих. Сколько учеников в классе?
Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
Как бы ни раздать 200 орехов 21 мальчику, найдутся двое, которысм достанется поровну орехов (может быть ни одного ореха). Докажите это.

Олимпиада 6-7 классов. «Ленский край» - 2001, август.

Расставьте в клетках квадратной таблицы 4х4 10 минусов так, чтобы в каждом столбце было четное число минусов, а в каждой строке было нечетное число минусов.
На кошачьей выставке в ряд сидит 10 котов и 19 кошек, причем рядом с любой кошкой сидит более толстый кот. Докажите, что рядом с любым котом сидит кошка, которая тоньше его.
Можно ли разбить натуральные числа от 1 до 32 на несколько групп, произведения чисел в которых одинаковы?
Может ли число m! + n! Оканчиваться на 1990? (к! = 1 · 2 · 3 ·… · к ).

Серия1. Вступительная.

Можно ли прямоугольник 5 х 9 клеток разрезать на уголки из трех клеток?
Хулиган Вася возводил число в квадрат и получил 1234567897. Учительница поставила ему двойку. Докажите, что у неё были на то основания.
Докажите, что в десятичной записи числа 2³⁰⁰ не более 100 цифр.
Пятизначное число делится на 72. Какие цифры могут стоять на месте звездочек?
N – натуральное число. Докажите, что N³ – N делится на 6.
Верно ли, что при всех целых n число n² + n + 41 – простое?
В Васином классе учатся 30 человек. Вася сделал в диктанте 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере три человека поровну ошибок.

Серия 2. В которой рождаются некоторые новые идеи.

Вася ещё раз попробовал возвести натуральное число в квадрат и получил 1234567895. Учительница снова поставила ему двойку. Докажите, что и эти число не является точным квадратом.
Математик Вася живет в доме, на каждом этаже которого по 6 квартир, на 9-ом этаже. Его брат живет в доме, в котором, на каждом этаже по 7 квартир, на 7-ом этаже в квартире с тем же номером. Найдите номер квартиры братьев.
Докажите, что прямоугольник 63 х 38 нельзя разрезать на прямоугольники 7 х 9.
Какое наибольшее количество не бьющих друг друга ладей можно поставить на шахматной доске?
Есть 7 марсиан, у каждого из которых было а) по одной руконожке, б) по 3 руконожки. Могут ли они взяться за руконожки так, чтобы свободных руконожек не было. (в каждом руконожкопожатии участвуют 2 руконожки)?
Докажите, что среди любых шести чисел есть два, разность которых делится на 5.
На сколько сумма всех чётных чисел первой сотни больше суммы все нечётных чисел первой сотни?
В классе каждый мальчик дружит с пятью девочками, а каждая девочка дружит с пятью мальчиками. Докажите, что мальчиков и девочек поровну.

Серия 3. Джентльмены графства Липшир. Усадьбы некоторых джентльменов, проживающих в графстве Липшир, соединены между собой дорогами.

Путешественник мистер Треспассер обнаружил, что из усадьбы его друга лорда Коннекта можно доехать до любого джентльмена. (быть может, заезжая по дороге к кому-нибудь ещё). Докажите, что из любой усадьбы в графстве можно проехать по дорогам в любую другую.
Докажите, что в графстве найдутся две усадьбы, из которых выходит поровну дорог.
Усадьба каждого из семи джентльменов соединена дорогами с четырьмя другими. Докажите, что среди этих джентльменов найдутся три, усадьбы которых попарно соединены дорогами.
В графстве Липшир живут 100 джентльменов. Усадьба каждого из них соединена дорогами со всеми остальными усадьбами. Сколько всего дорог в графстве?
министерство правды «Миниправ» решило установить 77 джентльменам телефоны так, чтобы каждый джентльмен был соединен прямой линией ровно с 13 другими. Докажите, что «Миниправ» взял на себя непосильную задачу.
Бизнесмен Вася вывесил в своем супермаркете 4 рекламных лозунга: 1) все дешевое не вкусно; 2) все невкусное дешево; 3) все невкусное недешево; 4) не все вкусное дешево. Борющийся за экономию коммерческий директор заметил, что два лозунга утверждают одно и то же. Какие?
В городе Дирихлюпинске 4,7 млн жителей, и у каждого на голове не более миллиона волос! Докажите, что в городе найдутся а) два жителя, б) 5 жителей, у которых поровну волос.
10 участников дирихлюпинской городской олимпиады решили всего 35 задач, причем на награждении выяснилось, что были участники, решившие ровно одну, ровно две и ровно три задачи. Докажите, что кто-то решил не менее пяти задач.

Серия4. Маленькая с остатками и графами.

Докажите, что число 239239239239: а) не является точным квадратом; б) не является суммой двух точных квадратов.
Докажите, что любого натурального n число n⁵ – n делится на 5.
Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
В приходе Коннектед – Пэриш каждая из 15 усадеб соединена дорогой по крайней мере с 7 другими. Докажите, что из любой усадьбы этого прихода можно проехать в любую другую. Кроме того, нужно вспомнить о следующих старых задачах: 2.3; 2.8; 3.2; 3.6.

Серия 5. Новые арифметические идеи.

Докажите, что а) если а ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то a – c ≡ b – d (mod m). Б) если а ≡ b (mod m) и k - целое число, то ka ≡ kb (mod m).
Решите в целых числах сравнение 3х ≡ 239 (mod 6).
Известно, что 3а + 7в делится на 19. Доказать, что 41а + 83в делится на 19.
Докажите, что среди любых 6 джентльменов найдутся или трое попарно знакомых, или трое попарно незнакомых.
На доске написано число 1998. Петя и Вася играют в следующую игру: по очереди (начинает Вася) вычитают из написанного на доске числа любую его цифру, отличную от 0, и записывают его на доске вместо предыдущего. Выигрывает тот, после чьего хода на доске будет написан 0. Кто выигрывает при правильной игре?
Можно ли гири с целыми весами а) от 1 до 12 граммов, б) от 1 до 13 граммов, в) от1 до 14 граммов, разложить на три кучки равного суммарного веса?
В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого больше – послушных детей или мальчиков?
Можно ли расставить числа 1, 2, 3, …, 24, 25, 26 в вершинах и серединах сторон правильного 13-угольника так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих на каждой стороне была одной и той же?

Серия 6. Все смешалось…

Из шахматной доски вырезана фигурка из 4 клеток в виде буквы Т. Докажите, что остаток нельзя разрезать в доминошки.
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из чисел от 1 до 100 так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилось на 26?
В углах доски 3 х 3 стоят два белых и два чёрных шахматных коня, причем кони одного цвета на одной стороне доски. Можно ли сделать несколько ходов этими конями так, они снова оказались в углах, но при этом кони одного цвета в противоположных?
Натуральное число даёт остаток 4 при делении на 5 и остаток 5 при делении на 6. Какой остаток оно даёт при делении на 30?
В магазин привезли муку в мешках. Известно, что в первом, втором и третьем мешках не менее 60 кг муки, первом, втором и четвертом – не более 50 кг муки, первом, третьем и четвертом – не более 40 кг муки, а во втором, третьем и четвертом – не более 30 кг муки. Сколько муки было в каждом мешке?
Натуральное число М состоит из 1980 единиц и 1983 двоек, а остальные цифры – нули. Может ли это число быть точным кубом?
Маша и Саша играют в следующую игру. На блюде лежит 100 пирожных. Игроки по очереди (начинает Маша) берут (и съедают) любое количество пирожных от 1 до 5. Тот, кому после хода противника достается пустое блюдо, платит за угощение. Кто выиграет при правильной игре?

Серия 7. Раскраски и прочее.

Докажите, что квадрат 10 х 10 нельзя разрезать на тетрамино (фигурки из 4 клеток) а) в виде буквы Z; б) в виде буквы Т; в) в виде буквы Г.
Из квадрата 8 х 8 вырезали угловую клетку. Докажите, что остаток нельзя разрезать на прямоугольники 1 х 3.
Прямоугольник можно разрезать на уголки из трех клеток. Докажите, что его можно на прямоугольники 1 х 3.
Докажите, что число 2339239239239 не является суммой трех точных квадратов.
- натуральное число. Докажите, что а)
Докажите, что 30⁹⁹ + 61¹⁰⁰ делится на 31.
В числе k, составленном лишь из единиц и двоек, единиц в 4 раза больше, чем двоек. Докажите, что k + 6 – составное число.
Найдите все простые р такие, что числа р + 10 и р + 14 также просты.

Серия 8. На острове каннибалов и вегетарианцев. В первых трех задачах действие происходит на острове, населенном вегетарианцами, которые всегда говорят правду, и каннибалами, которые всегда лгут.

Островитянин А в присутствии другого островитянина В говорит: «По крайней мере один из нас - лжец». Кто такой А и кто такой В?
Встретились несколько аборигенов, и каждый из них заявил всем остальным: «Вы все – каннибалы». Сколько вегетарианцев могло быть среди этих аборигенов?
Какой вопрос нужно задать на острове аборигену, чтобы узнать, куда ведет интересующая нас дорога – в город каннибалов или в город вегетарианцев?
Вася приобрел дрессированного лягушонка, который умеет прыгать по прямой дорожке на 1 см вправо или влево. Может ли случиться так, что лягушонок сделает ровно 25 прыжков и вернется в исходное положение?
Вася и Петя выложили в ряд 25 пирожных и стали играть в следующую игру. Каждый из них по очереди (начинает Вася) может съесть любое пирожное или два пирожных, лежащих рядом. Тот, кому после очередного хода противника не останется пирожных, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?
Вася приобрел в магазине несколько бутылочек лимонада по 14 р 77 коп., несколько шоколадов по 1 р 40 коп. и несколько конфет по 63 коп. за штуку. В кассе ему сообщили, что он должен уплатить 100 р. Докажите, что подсчет произведен неверно.

Серия 8. С подсказкой.

Можно ли расставить по кругу а) 10, б) 9, в) 7 цифр так, чтобы каждые две цифры, стоящие рядом, образовывали (в каком-нибудь порядке) число, кратное 7?
Можно ли расположить на плоскости стола несколько пятаков, чтобы каждый из них касался ровно трех других?
На собрании клуба ветеранов «Веселый Роджер» присутствовали 100 человек. 80 из них были без уха, 85 – без глаза, а – 75 без носа. Каково минимально возможное количество ветеранов, обладающих всеми тремя увечьями?
За 11 тугриков дают 14 динаров, за 22 рупий – 21 динар, за 5 крон – 2 талера, а за 10 рупий – 3 талера. Сколько тугриков можно выручить за 13 крон?
Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц.
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого участвуют все цифры от 1 до 9.
У каждого из 40 юных техников есть винтики, болтики, гвоздики. Ровно у десятерых винтиков и болтиков поровну, а у пятнадцати число болтиков не равно числу гвоздиков. Докажите, что найдутся 15 юных техников, у которых число винтиков не равно числу гвоздиков.

Серия 9. В основном состоящая из остатков матбоя.

Президент акционерного общества «Не обманешь – не продашь» объявил на собрании акционеров, что за каждые пять последовательных месяцев расход фирмы превышал доход, а за весь год доход превысил. Мог ли он оказаться правым?
По кругу расставлены сто натуральных чисел. Для каждого числа подсчитывают сумму пятидесяти чисел, следующих за ним по часовой стрелке. Затем числа стирают, а вместо них записывают вычисленные суммы. Докажите, что после многократного повторения этой операции все числа станут равными.
Девять клеток поля 10 х 10 заросли бурьяном. Каждый день бурьяном зарастают те клетки, у которых на двух соседних по стороне клетках растет бурьян. Докажите, что поле никогда не зарастет бурьяном полностью.
Можно ли расставить числа 1, 2, 3,…, 9 по кругу, чтобы сумма двух соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?
Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня – 50 кг, Маня и Ваня – 90 кг, Ваня и Даня – 100 кг, Даня и Аня – 60 кг. Сколько весит Аня?
Вася купил шоколадку 3 х 3, разделенную по бороздам на 9 маленьких квадратиков, и стал ломать ее по бороздкам. За какое наименьшее число действий он сумеет разломать шоколадку на отдельные квадратики, если за один раз можно ломать несколько кусков, приложенных друг к другу?

Серия 10. Разгрузочная.

В гости пришло 13 человек в галошах разного размера. Расходились по-одному и некоторые надевали галоши большего размера. Сколько могло остаться гостей, не сумевших надеть галоши.
Ожерелье состоит из 239 бусинок 2 цветов. Докажите, что в нем есть 2 бусинки одного цвета, разделенные ровно двумя бусинками.
Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей?
В стране Анчурии в обращении имеются купюры следующих достоинств: 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать миллион анчуров так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр?
Перемножили три тысячи двоек. Докажите, что в записи получившегося числа а) не более 1000, б) не енее 900 цифр.
Докажите, что среди любых 240 чисел есть два, разнсть которых делится на 239.
Имеются 17 карточек. На них написали числа от 1 до 17. Затем карточки перевернули и на их обратных сторонах также выписали числа от 1 до 17. Числа на каждой карточке сложили и все такие суммы перемножили. Докажите, что результат четен.

<предыдущая страница | следующая страница>