1. 
   Путешественник должен пересечь пустыню и преодолеть расстояние 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому ему необходимо организовывать промежуточные базы с запасами. За сколько дней он может пересечь пустыню?
   
2. 
   Найти площадь фигуры «лесенка».
   
3. 
   

   …

   100 см

   
   
   
   1 см

   1 см
   

   
   

4. 
   Имеется десятилитровое ведро, наполненное водой. Из ведра в первый сосуд сливают 30% воды, во второй сосуд – 40% от остатка. Сколько воды после этого останется в ведре?
   
5. 
   Дана последовательность чисел 2, 4, 8, 6, 3, 5, 10, 8, 4. Напишите 4 следующих числа.
   
6. 
   Доказать, что разность трехзначных чисел, из которых одно написано теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9 и 11.
   

1. 
   Одна машинистка может перепечатать некоторую рукопись за 5 ч 20 минут, а другая – за 4 ч 40 минут. Однажды, работая вместе, они напечатали 90 страниц. Сколько страниц напечатала каждая машинистка?
   
2. 
   Восстановите пропущенные цифры: * , 3 *
   

* * *

* * * * * 4

3. 
   Две противоположные стороны прямоугольника удлинили на 10%, а две другие укоротили на 10%. Как изменилась площадь прямоугольника?
   

1. 
   Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 км/ч и возвращался со скоростью 40 км/ч. Какова была средняя скорость его езды?
   
2. 
   Решите уравнение:
   
3. 
   В тёмном шкафу лежат 5 пар светлых и 5 пар темных перчаток одинакового размера и фасона. Какое наименьшее количество перчаток надо взять из шкафа, чтобы среди них была хотя бы одна пара перчаток одного цвета.
   
4. 
   Вычислить:
   
5. 
   Найти двузначное число, которое в 8 раз больше суммы его цифр.
   
6. 
   В равнобедренном треугольнике угол между биссектрисой угла при вершине и биссектрисой угла при основании равен 130⁰. Найти углы треугольника.
   

1. 
   На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связывать по4, по5 или по 6 в пачку, каждый раз остается одна лишняя книга, а ели связывать их по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Сколько книг могло быть на столе?
   
2. 
   На часах 19 ч 15 минут. Чему равен угол между минутной и часовой стрелками?
   
3. 
   В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли в этой школе класс, в котором не менее 35 учеников?
   
4. 
   Докажите, что число 7⁷⁷⁷ + 1 не делится на 5.
   
5. 
   Расположите 6 точек на 4 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было 3 точки.
   
6. 
   Что больше: 3²⁰⁰ или 2³⁰⁰?
   
7. 
   К трехзначному числу слева приписали 3 и оно увеличилось в 9 раз, что это за число?
   
8. 
   Н
   B N C

   M K
   

   
   
   A L D
   
   S_ABCD=36 см, M, N, K, L – середины сторон ABCD. Какова площадь фигуры MNKL?
   айти толщину линкора, если 12 см составляет её .
   
9. 
   
   

10. 
    Сколько шахматистов играло в круговом турнире, если всего было сыграно 190 партий?
    

1. 
   ханнык сыыппаранан бµтэрий?
   
2. 
   Биир ки´и 12 пинт (пинт = 0,57 л) ута±ыттан а²арын табаары´ыгар бэрсиэн ба±арар. Ол гынан баран кини 6 пинт утах киирэр и´итэ суох, 8 пинт уонна 5 пинт киирэр и´иттэрдээх. Хайдах 8 пинт киирэр и´иккэ 6 пинт ута±ы кутан ылыахха с³бµй?
   
3. 
   24 кг то´о±о баар. Гиирэтэ суох ыйаа´ы²²а 9 кг то´о±ону хайдах ыйаан ылыахха с³бµй?
   
4. 
   Сэмэн о±онньор ытакааннаах кофеттан а²арын и´эн баран µµтµнэн толорбут. Онтон ыстакаанын и´эн баран эмиэ µµтµнэн толорбут. Бµтэ´игэр ыстакаанын испит уонна эмиэ µµтµнэн толорон баран ыстакаанын барытын испит. Сэмэн о±онньор тугу элбэ±и испитий: µµтµ дуу, кофены дуу?
   
5. 
   Икки ки´и А пуунтан В пуу²²а тэ²²э айаннаабыттар: бастакы ки´и велосипедынан, иккис ки´и 5 т³гµл улахан тµргэннээхтик массыынанан. Суолун а²арыгар массыыната алдьаммытыгар хаалбыт суолун велосипедтаах ки´и тµргэниттэн 2 т³гµл тµргэннээхтик сатыы барбыт. Хайалара В пуу²²а эрдэ тиийиэй?
   
6. 
   9 лиис кумаа±ы баар. Олортон сорохторун 3 эбэтэр 5 чааска хайыта тарпыттар, онтон ³сс³ 3 эбэтэр 5 чааска. Хас т³гµл итинник гыммыт кэннэ 100 чаа´ы ылыахха син дуо?
   
7. 
   (3а - в)(3в - с)(3с - а) = 5005 тэ²нэбилгэ с³п тµбэ´эр а, в, с – сыалай чыы´ылаларынан суоттаа.
   
8. 
   Хх + х – 3у = -4 тэ²нэбили сыалай чыы´ылаларынан суоттаа.
   
9. 
   Эргимтэ±э 1, 2, 3 сыыппаралар суруллубуттар, олор икки ардыларыгар кэккэлэ´э турар сыыппаралар сууммаларын суруйбуттар. Тахсыбыт 6 чыы´ыла икки ардыларыгар эмиэ кэккэлэ´э турар чыы´ылалар сууммаларын суруйбуттар. 5 итинник дьайыы кэнниттэн эргимтэ±э суруллубут бары чыы´ылалар сууммаларын бул.
   
10. 
    Кээмэйэ 4 х 4 таблицаны 6 араас ³²µнэн кырааскалыахха с³п дуо: таблица ханнык ба±арар 2 х 3, 3 х 2 кээмэйдээх к³н³нньµгэ (прямоугольник) алта араас ³²µнэн кырааскаламмыт буолуохтаах.
    

1. 
   В треугольнике АВС из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной АВ угол, равный 126⁰. Какой угол образует с продолжением стороны АВ вторая биссектриса?
   
2. 
   Решить уравнение: |х - 3| - х = 7.
   
3. 
   Вычислить: .
   
4. 
   Колхозник продал картофель трем покупателям: первому - часть его и еще 10 кг, второму - остатка и еще 10 кг, а третьему – последние 50 кг. Сколько картофеля продал колхозник?
   
5. 
   На утреннем концерте 40% всех посетителей были школьники, 36% - женщины и остальные посетители – мужчины. На вечерний концерт пришло мужчин на 75% больше, чем на утренний, женщин на 37,5% больше, а школьников на 75% меньше, чем на утренний концерт. Как и на сколько процентов число посетителей на вечерний концерт изменилось по сравнению с числом посетителей на утреннем концерте?
   

1. 
   Доказать, что 43⁴³ – 17¹⁷ делится без остатка на 10.
   
2. 
   Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 118⁰. Чему равен угол между высотами, проведенными из вершин меньших углов?
   
3. 
   Три населенных пункта А, В, С расположены так, что пункт В находится на 3 км к северу от А, С – в 5 км к северо – западу от А. Три других населенных пункта К, М и Н расположены так, что пункт К аходится в 3 км к северу – востоку от Н и М – в 5 км к востоку от Н. Сделать чертеж и доказать, что расстояние между пунктами В и С также, как между пунктами К и М.
   
4. 
   Построить равнобедренный треугольник по данному периметру и высоте, опущенной на основание.
   
5. 
   Существует ли такой год, в котором 30-е число ни разу не является понедельником? А какое наибольшее число раз оно может быть понедельником?
   
6. 
   Найдите все такие двузначные числа, которые делятся на произведение своих цифр.
   
7. 
   На плоскости расположены 4 прямые. Известны углы: α = 110⁰, β = 60⁰, γ = 80⁰. Найдите углы между остальными парами прямых.
   

8. 
   Решить систему уравнений:
   
9. 
   Найти угол между часовой и минутной стрелками в 7 ч 20 мин.
   
10. 
    Ваня, Петя и Миша решали задачи. Ваня и Миша вместе решили в 2 раза больше, чем Петя. Петя и Миша решили в 3 раза больше, чем Ваня. Кто решил больше всех задач, а кто меньше всех?
    

О четности.

1. 
   Лифт в Васином доме починили, и теперь в нем работают только кнопки «+6» и «-9». Можно ли пользоваться лифтом теперь?
   
2. 
   Вася положил на счет в банк 3 рубля. Каждый день к счету в этом банке прибавляется количество рублей равное сумме цифр текущего счета. Когда Вася пришел забирать свой вклад, ему выдали ровно 1000000 рублей. Докажите, что его обсчитали.
   
3. 
   Хулиган Вася в наказание за порванную карту получил на дом пример: вычислить 1 2 + 2  3 + 3  4 + … + 99  100. Посидев всю ночь Вася вычислил и получил 19951995. Докажите, что он ошибся.
   
4. 
   Числа от 1 до 25 расставлены в строчку. Разрешается за 1 ход менять местами числа, стоящие через одно. Можно ли переставить числа в обратном порядке?
   
5. 
   Из трех различных (ненулевых) цифр составили всевозможные двузначные числа. Их сумма равна 132. Какие цифры были взяты?
   
6. 
   В Васином классе, где учится 30 человек, прошел диктант. Вася сделал 13 ошибок, остальные сделали меньше. Докажите, что в классе есть трое, сделавших поровну ошибок.
   
7. 
   Есть шесть книжных полок по 1 метру длиной каждая. Можно ли расставить на них: а) 51 книгу по 6 см толщиной и 99 книг по 3 см толщиной; б) 50 книг по 6 см толщиной и 100 книг по 3 см толщиной; в) 49 книгу по 6 см толщиной и 101 книгу по 3 см толщиной?
   

1. 
   Решить уравнение: .
   
2. 
   На острове Буяне четыре государства. Каждое из них граничит с тремя другими. Нарисуйте карту этого острова.
   
3. 
   У фермера было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. Когда спросили у него, сколько весит один поросенок и ягненок, он ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать сколько весит поросенок и сколько ягненок?
   
4. 
   В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?
   
5. 
   Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, сколько весит пойманная рыба, он сказал: «Я думаю, что хвост её весит 1 кг, голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – сколько голова и хвост вместе». Сколько же весит рыба?
   
6. 
   Найдите смежные углы, если известно, что одна четвертая часть одного из них составляет две третьих частей другого угла.
   
7. 
   В темном ящике лежат 10 красных, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых цветных карандашей. Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них был: а) хотя бы 1 синий карандаш; б) хотя бы 1 карандаш каждого цвета?
   
8. 
   Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди надо добавить в сплав, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
   
9. 
   Требуется построить ломаную из 4 звеньев, проходящую через все 9 точек. Возможно ли это?
   
10. 
    Кузнечик прыгает по прямой; первый прыжок на 1 см, второй – 2 см и т.д. Может ли он после 25-го прыжка вернуться в точку, с которой он начал?
    

1. 
   В ряд расположено 5 монет. Средняя лежит вверх орлом, остальные – решкой. За один ход разрешается перевернуть любые три рядом лежащие монеты. Можно ли добиться, чтобы все монеты лежали вверх орлом?
   
2. 
   Расставьте цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в вершинах куба так, чтобы сумма цифр стоящих в каждой грани были равны.
   

3. 
   Сколько яиц курица может снести в коробку, так чтобы в каждом из рядов включая диагональные, оказалось не более двух яиц? Как разместить? (Два яйца находятся в коробке так, что на эту диагональ яйца больше помещать нельзя).
   

   					○
   ○

4. 
   Три поросенка Наф-Наф, Ниф-Ниф, Нуф-Нуф решили построить домик. Каждый из трех поросят купил по 12 бревен и распилил их на 30 однометровых чурбанов. Длина каждого из купленных бревен равно либо 2, либо 3, либо 4 м. Сколько всего распилов пришлось сделать поросятам.
   
5. 
   Число умножили на разность его цифр и поучили 84. Найдите это число.
   
6. 
   Сколькими различными путями мышка доберется до сыра?
   

1. 
   У Пети есть 44 монеты и 10 карманов. Сможет ли он разложить свои монеты по карманам так, чтобы количество монет во всех карманах было различным? Ответ обоснуйте.
   
2. 
   Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца – 70 см, сына – 56 см. Найти расстояние между этими деревьями, сли изветсно, что следы их совпал 10 раз.
   
3. 
   Докажите, что если в двузначном числе переставить цифры и полученное число вычесть из первоначального, то разность буде кратна 9.
   
4. 
   Делится ли число на 8.
   
5. 
   Кот Матроскин купил на 239 тыс.рублей акций компании «М» по 13 тыс.рублей за акцию и компании «ММ» по 15 тыс.рублей за акцию. Сколько всего акций купил Матроскин?
   
6. 
   В коробке, которая стоит в темной комнате, лежат 8 пар коричневых и 8 пар черных перчаток одного размера. Сколько перчаток нужно взять из коробки, чтобы среди них оказалась пара перчаток одного цвета?
   
7. 
   В сказочном озере плавает сказочная лилия. Эта лилия за сутки вдвое увеличивает свои размеры и полностью заполняют озера за 137 суток. За какое время заполняет озеро две сказочные лилии?
   
8. 
   На окраску кубика 2 х 2 х 2 требуется 1 грамм краски. Сколько краски потребуется для того, чтобы окрасить кубик 6 х 6х 6?
   

1. 
   Найдите сумму целых частей: . (Здесь [n] – целая часть числа n, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее само число n).
   
2. 
   Кумыс полностью заполняет несколько бутылей по 50 литров каждая. Если разлить его в сорокалитровые бутыли, то понадобится на 5 бутылей больше, причем одна из них останется неполной. Если же этот кумыс разлить в бутыли по 70 литров, то – на 4 бутыли меньше, и тоже 1 бутыль останется неполной. Сколько имеется кумыса (в литрах)?
   
3. 
   Кривой шахматный король никогда не делает два хода подряд в одном и том же направлении. Начав из угла, он обошел клетчатую доску 9х9, побывав на каждой клетке по одному разу, и вернулся в исходную клетку. Какое наименьшее количество диагональных ходов он мог сделать?
   
4. 
   На симпозиум приехали 100 человек. Из них 15 французов, каждый из которых знаком хотя бы с 70 участниками симпозиума, и 85 немцев, каждый из которых знаком не более чем с десятью участниками. Их расселили в 21 комнату. Докажите, что в какой-то из комнат нет ни одной пары знакомых.
   
5. 
   Пусть Р# - произведение всех простых чисел от 2 до Р (включительно). Сколькими нулями заканчивается произведение (2#  3#  4# …  100#)?
   
6. 
   Три равных треугольника разрезали по разноименным медианам (см.рис.). Можно ли из получившихся шести треугольников сложить один треугольник?
   

7. 
   Можно ли расставить числа от 1 до 12 по кругу так, чтобы среди сумм любых двух соседних чисел встречались 12 различных простых чисел?
   
8. 
   В коридоре стоят семь кресел. Два человека сидят соответственно в седьмом и шестом креслах. Ход состоит в том, что человек должен пересесть в другое кресло, чтобы между ним и партнером находилось не более двух кресел. Выигрывает тот, кто окажется на первом кресле. Первым ходит тот, кто сидит на седьмом кресле. Кто выиграет при правильной игре, и как он должен играть?
   
9. 
   Найдите наименьшее натуральное число, оканчивающееся на 34, делящееся на 34, сумма цифр которого равна 34 и объясните, как он должен играть?
   
10. 
    Дети гуляют во дворе детского сада. Тех из них, у кого на ногах надето поровну носков, в 5 раз меньше, чем тех, у кого не поровну. Воспитательница велела детям переодеться, и каждый ребенок снял с одной ноги носок и надел его на другую ногу. Теперь тех, у кого носков на ногах поровну, стало в 2 раза меньше, чем тех, у кого не поровну. Могло ли быть так, что в начале прогулки более чем у половины детей на одной ноге было ровно на один носок меньше, чем на другой?
    

1. 
   Проработав некоторое время в кооперативе «Заря», Чебурашка получил заработную плату крупными купюрами. Придя в гости к крокодилу Гене, Чебурашка попросил разменять его деньги. Оказалось, что если их разменивать тридцатирублевыми монетами, то для этого не хватит 17 рублей из зарплаты Чебурашки, а если их разменивать двадцатидевятирублевыми монетами, то останется еще пять рублей. Может ли Гена разменять заработную плату Чебурашки монетами тридцати и двадцатидевятирублевого достоинства.
   
2. 
   В ряд выписаны натуральные числа 123…1011… Что встретится раньше: двухтысячная единица и тысячная 2?
   
3. 
   По кругу стоят числа 1, 2, 3, …, 1994. Они считаются по порядку и все стоящие на четных местах числа вычеркиваются. Счет ведется по кругу и до тех пор, пока не останется одно число. Какое это число?
   
4. 
   Произведение двух целых чисел (не обязательно различных) на 2 больше одного из сомножителей. Найдите все такие пары сомножителей.
   
5. 
   Малыш и Карлсон едят изюм. Малыш съедает одну изюмину, Карлсон – 2, Малыш – 2, Карлсон – 4 и так далее. Сколько было всего изюмин, если Малыш съел 1000 изюмин.
   
6. 
   Имеются две палочки длиной 2 см каждая, три палочки длиной 4 см каждая, пять палочек длиной 6 см каждая и семь палочек длиной 8 см каждая. Можно ли из них сложить квадрат?
   
7. 
   Имеется прямоугольная пластина массой 10 кг. Продавец хочет разрезать ее на три части так, чтобы с их помощью можно было бы взвешивать на чашечных весах любой предмет массой целое число килограммов от одного до десяти. Как это сделать?
   
8. 
   На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взяты две точки М и Р так, что АС=АМ, ВС=ВР. Найти площадь треугольника МСР.
   
9. 
   Грани кубика занумерованы числами от 1 до 6. Доказать, что найдутся две соседние грани, занумерованные соседними числами.
   
10. 
    Можно ли разрезать квадрат на шестиугольники (не обязательно выпуклые)?
    

1. 
   Произведение 2001 положительного целого числа равно 105, а их сумма равна 2021. Чему равно самое большее из этих чисел?
   
2. 
   Любые две соседние цифры образуют число, кратное 23. Какое наибольшее количество цифр может иметь это число?
   
3. 
   Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причем Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?
   
4. 
   Пройдя ¾ длины моста, ослик Иа-Иа заметил автомобиль, приближающийся со скоростью 60 км/ч. Если ослик побежит назад, то встретится с автомобилем в начале моста; если вперед, автомобиль догонит его в конце моста. С какой скоростью бегает Иа-Иа?
   
5. 
   Алик, Боря, Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше, чем Алик, собрал грибов Вася?
   
6. 
   Сколькими способами можно прочитать слово КРОНА, начиная с буквы К и двигаясь вправо или вниз до последней буквы?
   

РОНА

НА

А

7. 
   Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть 1 фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей). Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.
   
8. 
   Найдите такие значения а и в, при которых выполняется тождество: .
   
9. 
   В пруд пустили 30 щук, которые кушали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться? (съеденная сытая щука учитывается при подсчете сытых щук!)
   
10. 
    Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешено любым двум из них прибавить по 1. Можно ли уравнять числа, сделав это несколько раз?
    

1. 
   Найдите все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а-3)х=12 является натуральным числом.
   
2. 
   У Сани на дне рождения было 5 друзей. Тане он отрезал одну шестую часть пирога, Ване –одну пятую остатка, Мане – одну четвертую нового остатка, Гане – одну третью оставшегося к этому моменту. Последний кусок Саня разделил пополам с Аней. Кому достался самый большой кусок?
   
3. 
   Покупатель взял у продавца товара на 10 евро и дал 25 евро. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились, и покупатель ушел, сосед обнаружил, что евро – фальшивые. Продавец вернул соседу 25 евро и задумался. Какой убыток понес продавец?
   
4. 
   За весну Обломов сбавил в весе 20%, за лето прибавил 25%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 10%. Похудел он или поправился за год?
   
5. 
   Представьте число 2004 в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых равно 2004.
   
6. 
   На отрезке АВ выбраны точки С и Д так, что АС=СД=ДВ. Через точки А и С в одной полуплоскости проведены два луча, пересекающихся в точке М. Известно, что <МАВ=45⁰, <МСВ = 60⁰. Определите величину угла МВА.
   
7. 
   Разрежьте квадрат на восемь остроугольных треугольников.