Лекция №19 Банаховы алгебры

Лекция № 19

Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению в теорию банаховых алгебр, т.е. банаховых пространств, в которых определено умножение элементов.

Определение и примеры банаховых алгебр. Напомним, что линейным пространством называется непустое множество элементов, в котором введены две операции – сложение элементов и умножение их на числа, удовлетворяющие восьми аксиомам, сформулированных в лекции № 8.

Определение 1. Линейное пространство называется алгеброй, если в нем введена еще одна операция – умножение, которое удовлетворяет следующим аксиомам:

.
, .
.
Если существует элемент такой, что для всех , то называется единицей алгебры , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Заметим, что единица в алгебре всегда единственна, ибо если бы элемент также обладал бы свойством (4), то мы бы получили .

Если операция умножения коммутативна, т.е. если выполняется аксиома , то алгебру называют коммутативной алгеброй.

Коммутативные алгебры с единицей и будут, в основном, предметом нашего изучения. Всюду в этой лекции числовое поле, над которым рассматриваются наши алгебры, это поле комплексных чисел .

В лекции № 9 было введено понятие нормированного пространства, т.е. линейного пространства, снабженного нормой , удовлетворяющей трем аксиомам.

Определение 2. Нормированное пространство называется нормированной алгеброй, если оно является алгеброй с единицей, и при этом выполнены еще две аксиомы:

Если еще нормированная алгебра полна (т.е. является банаховым пространством), то она называется банаховой алгеброй.

Отображение называют гомоморфизмом алгебры и , если выполнены условия

, (1)

, (2)

. (3)

Две алгебры, и , называются (алгебраически) изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение , удовлетворяющее условиям (1) – (3).

Нормированные пространства и называют изометричными, если существует взаимно однозначное отображение , удовлетворяющее условиям (1) и (2) и, кроме того, условию

.

Определение 3. Две банаховы алгебры и называются изометрически изоморфными, если существует алгебраический изоморфизм , являющийся изометрией и как нормированных пространств.

Примеры банаховых алгебр. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Комплексные числа – простейший пример банаховой алгебры, если ввести норму формулой , ().

Комплексные числа образуют поле . В нем для всех элементов, кроме нуля, определено деление – операция, обратная умножению. Можно показать, что есть единственная нормированная алгебра, являющаяся полем.

Пример 2. Пусть – некоторое компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим через линейное пространство всех непрерывных комплекснозначных функций , заданных на с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа, в котором норма определяется равенством

.

Ранее рассматривался частный случай этой коммутативной банаховой алгебры – это алгебра . Единицей в этой алгебре служит функция .

Задача 1. Убедитесь, что действительно есть коммутативная банахова алгебра.

Пример 3. Алгебра аналитических функций в круге состоит из всех функций комплексного переменного , определенных и непрерывных в круге

и аналитических внутри этого круга. Определим умножение в как обычное умножение функций, и зададим норму формулой

.

таким образом превращается в коммутативную банахову алгебру с единицей.

Пример 4. Алгебра , элементами которой являются последовательности комплексных чисел, для которых . Превратим его в банахову алгебру, определив умножение следующим образом: если

, а ,

то определим как такую последовательность , где

Так определенная операция умножения элементов из называется сверткой.

Пример 5. Рассмотрим Винерово кольцо , элементами которого являются последовательности всех двусторонних абсолютно суммируемых последовательностей

комплексных чисел с нормой . Превратим его в банахову алгебру, определив умножение следующим образом: если

, а ,

то произведение (свертку) определим как такую последовательность, члены которой определяются как

Так определенная операция умножения элементов из , называемая сверткой, превращает банахово пространство в коммутативную банахову алгебру с единицей.

Задача 2. Убедитесь, что и действительно есть коммутативные банаховы алгебры. Укажите единичные векторы этих алгебр.

Пример 6. Банахова алгебра ограниченных линейных операторов. Пусть – банахово пространство. Рассмотрим пространство всех линейных непрерывных операторов, отображающих в себя, с обычными для операторов действиями сложения, умножения оператора на число и умножения (суперпозиции) операторов. превращается в банахову алгебру, если ввести обычную операторную норму

для любого .

Все факты, которые убеждают нас в том, что – банахова алгебра, нами уже доказаны ранее. Алгебра – важнейший пример некоммутативной банаховой алгебры с единицей, в качестве которой выступает тождественный оператор : .

Обратимые элементы.

Определение 4. Элемент , принадлежащий коммутативной банаховой алгебре с единицей, называется обратимым, если существует такой элемент , что

, где – единица алгебры .

Элемент называется обратным к и обозначается через : .

Лемма 1. Если расстояние от некоторого элемента до единицы алгебры не превосходит , т.е. , то – обратимый элемент.

Доказательство. Обозначим ; тогда и . Таким образом, отыскание обратного к свелось к отысканию обратного к . Рассмотрим ряд . Так как , то этот ряд сходится по норме банахова пространства к некоторому , т.е. . Утверждается, что является обратным к . Действительно,

Таким образом,

, где . (*)

Лемма доказана.

Замечание 1. Принято считать, что .

Лемма 2. Если последовательность элементов банаховой алгебры такова, что при , где – единица алгебры , то существует при достаточно больших , и при .

Доказательство. Действительно, если , то , т.е. существует такое , что . Тогда, согласно леммы 1, каждый из обратим при , и в силу равенства (*)

., ().

Отсюда видно, что

и, поскольку , то

Так как , т.е. при , то

Отсюда видим, что . Лемма доказана.

Замечание 2. Равенство – это просто сумма числового ряда, которая легко вычисляется. Действительно, если число таково, что , то обозначим через сумму

; Тогда .

Вычитая из первого равенства второе, получаем: , откуда . Поскольку при , то отсюда получаем равенство .

Обозначим через множество обратимых элементов коммутативной банаховой алгебры . Тогда, по доказанному, внутренность единичного шара с центром в единице содержится в , т.е.

.

Но множество обратимых элементов не исчерпывается внутренностью единичного шара с центром в единичном элементе нашей алгебры.

Лемма 3. Множество обратимых элементов банаховой алгебры представляет собой открытое множество в . Операция перехода от к непрерывна.

Таким образом, множество обратимых элементов представляют собой топологическую группу по умножению.

Доказательство. Пусть . Докажем, что тогда существует такое, что если , то . Введем обозначение . Тогда

,

так как , т.е. существует. Далее,

при ,

Тогда , т.е. элемент содержится внутри единичного шара с центром в единице нашей алгебры и, следовательно, согласно леммы 1 он обратим. Но тогда обратим и как произведение двух обратимых элементов. Далее, так как при , то согласно леммы 2 при достаточно малом имеем: . Поэтому

при .

Тем самым доказано, что операция перехода от к непрерывна. Лемма доказана.

Максимальные идеалы.

Определение 5. Идеалом коммутативной алгебры называется подпространство (возможно незамкнутое, т.е. линейное многообразие), обладающее тем свойством, что для всякого и любого произведение . Идеал, состоящий из одного нуля, а также идеал, состоящий из всего , мы называем тривиальными и в дальнейшем исключаем из рассмотрения.

Максимальным называется идеал, не содержащийся ни в каком другом нетривиальном идеале.

Отметим, что единица нашей алгебры не может принадлежать нетривиальному идеалу , так как если , то по определению , т.е. .

Никакой из нетривиальных идеалов не содержит обратимых элементов, т.е. . Действительно, если обратим и , то тогда , откуда следует, что , т.е. тривиален. Поскольку внутренность единичного шара состоит из обратимых элементов, т.е.

,

то . Поскольку еще нулевой элемент алгебры принадлежит любому идеалу, то приходим к выводу, что .

Лемма 4. Для того чтобы элемент был обратим, необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал ни к какому идеалу.

Необходимость. Если элемент обратим и , то тогда , откуда следует, что , т.е. тривиален.

Достаточность. Если элемент банаховой алгебры необратим, то существует идеал , содержащий этот элемент. Рассмотрим множество . Утверждается, что это – нетривиальный идеал. Действительно, если , то

,
т.е. – подпространство.

Далее, и имеем: . Таким образом, – идеал. Так как и необратим, то не может совпадать со всей алгеброй ; в противном случае существовал бы элемент такой, что , что противоречит необратимости . Лемма доказана.

Из предыдущих рассуждений следует, что множество обратимых элементов банаховой алгебры есть дополнение к объединению идеалов:

.

Пусть – идеал. Рассмотрим его замыкание . Утверждается, что тоже идеал. Поскольку идеал является линейным многообразием, то очевидно, что тоже замкнутое линейное подпространство. Далее, если , то существует последовательность , , такая, что . Тогда для любого имеем: , и так как , то отсюда следует, что , т.е. – идеал. Замыкание нетривиального идеала не может совпасть со всей алгеброй , так как .

Выше изложенное резюмируем следующим образом:

Утверждение 1. Для того чтобы элемент банаховой алгебры был обратим, необходимо и достаточно, чтобы не принадлежал ни к какому замкнутому идеалу, т.е.

.

Введенное понятие (идеала) обсудим на примере алгебры (см. пример 2). Пусть – непустое подмножество компакта . Множество

состоящее из функций, обращающихся в нуль на , образуют, очевидно, идеал в .

Максимальные идеалы в допускают простое описание, являющиеся ключом к пониманию всего замысла теории коммутативных банаховых алгебр.

Лемма 5. Максимальный идеал алгебры есть совокупность всех функций из , обращающихся в нуль в какой-либо одной фиксированной точке множества .

Доказательство. Пусть . Для доказательства нашей леммы нам надо установить два факта:

(А) Идеал максимален;

(В) Если какой-то идеал алгебры максимален, то он состоит из функций, обращающихся в нуль в какой-то фиксированной (одной!) точке из .

(А) Если идеал не максимален, то существует идеал такой, что . Пусть , т.е. , но . Тогда для любой функции положим

.

Тогда , т.е. . Но тогда

как линейная комбинация функций из . Получили, что , т.е. идеал тривиален, откуда делаем вывод, что – максимальный идеал.

(В) Пусть какой-то идеал алгебры максимален. Возьмем функцию . Так как идеал не может содержать обратимые элементы, то она обязательно обращается в нуль в какой-нибудь точке , ибо в противном случае функция была бы обратимым элементом алгебры , так как тогда функция непрерывна и является обратным элементом к . Рассмотрим следующее подмножество идеала :

.

Поскольку это множество – максимальный идеал, то . Лемма доказана.

Таким образом, мы получили, что в случае банаховой алгебры непрерывных функций на компакте между максимальными идеалами и точками из пространства можно установить взаимно однозначное соответствие. Это позволяет трактовать функции на как «функции на пространстве максимальных идеалов».
Спектр и резольвента.

Определение 6. Спектром элемента банаховой алгебры называется множество комплексных чисел , для которых элемент необратим. Если же он обратим, т.е. , точку называют регулярной для элемента .

Функция

, (1)

определенная на множестве регулярных точек элемента , называется резольвентой этого элемента.

Спектральным радиусом элемента называется число

. (2)

Таким образом, (при любом фиксированном ) комплексная плоскость разбилась на два непересекающихся множества: множество регулярных значений таких, что при них элемент обратим, и оставшуюся часть комплексной плоскости, называемой спектром элемента .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7. Если , т.е. есть банахова алгебра комплексных чисел, то в ней обратимы все элементы, кроме нуля. Выражение в данном случае выглядит так:

, где , т.е. , .

Тогда спектром любого элемента является комплексное число . Все остальные точки комплексной плоскости являются регулярными для .

Пример 8. Пусть , т.е. есть банахова алгебра непрерывных комплекснозначных на компакте функций. Тогда для обратимости элемента необходимо и достаточно, чтобы функция была всюду отлична от нуля. Резольвента в данном случае выглядит так:

.

Спектр совпадает с множеством значений функции , а спектральный радиус равен

.

Пример 9. Пусть есть банахова алгебра непрерывных линейных операторов, действующих из нормированного пространства в , т.е. элементами являются ограниченные линейные операторы . Понятия спектра и резольвенты совпадают с введенными ранее понятиями спектра и резольвенты для операторов.

Свойства спектра и резольвенты. Как было доказано в лемме 3, множество обратимых элементов банаховой алгебры является открытым множеством. Из этого факта легко выводится следующее утверждение.

Утверждение 2. Множество регулярных значений произвольного элемента банаховой алгебры является открытым (на комплексной плоскости) множеством. Кроме того, резольвента является непрерывной функцией от на , и

,
(Тождество Гильберта.)

Доказательство. Если элемент алгебры обратим, то в силу открытости множества обратимых элементов алгебры , при , достаточно близких к , обратим и элемент алгебры , так как . Таким образом, множество регулярных точек элемента открыто. Далее, справедлива очевидная цепь равенств

,

которая доказывает равенство (1) (не нуждающееся, впрочем, в доказательстве, если алгебра коммутативна).

Докажем теперь тождество Гильберта (2).

,

.

Тогда, вычитая из первого равенства второе, получим тождество Гильберта.

Непрерывность резольвенты следует из леммы 3, в которой было доказано, что множество обратимых элементов открыто, и операция перехода от к непрерывна.

Утверждение доказано.

Теорема 1. Для любого линейного непрерывного функционала функция аналитична на и при .

Доказательство. Поскольку – непрерывная функция от , а – непрерывный линейный функционал, то для

.

Справедливо тождества Гильберта

Тогда

Таким образом, установлена аналитичность на .

Далее, так как при регулярно (т.е. ), и

при .

Теорема доказана.

Следствие 1. Спектр любого элемента банаховой алгебры есть непустое компактное множество комплексной плоскости , а для спектрального радиуса справедлива оценка

. (3)

Действительно, если – пустое множество, то в силу теоремы 1 для любого линейного непрерывного функционала функция является аналитической функцией на всей комплексной плоскости, т.е. – целая функция, причем при . Значит, , т.е. для любого . Но тогда в силу следствия из теоремы Хана-Банаха , что невозможно. Итак, спектр не пуст. Далее, если , то

,

причем этот ряд сходится по норме пространства , откуда легко выводится оценка (3). Компактность спектра следует из того, что множество замкнуто на комплексной плоскости как дополнение к множеству регулярных точек, которое, как мы убедились, открыто. А замкнутое ограниченное множество компактно.

Заключение. Теория нормированных колец возникла в недрах функционального анализа. Основной вклад в ее развитие сделали советские математики в 50-60 годах 20-го века во главе с И.М.Гельфандом. Это – очень красивая теория, сравнимая по красоте разве что с теорией аналитических функций.

Эта лекция – очень краткое введение в теорию коммутативных нормированных колец, которую иначе называют теорией банаховых алгебр.

Литература
Основная

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1977.
Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. – М.: Гостехиздат, 1948.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. – М.: Мир, 1964.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. – М.: Физматгиз, 1960.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977.
Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.

Дополнительная

Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1966.
Келли Дж. Л. Общая топология. – М.: Наука, 1968.
Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. – М.: Физматгиз, 1960.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. – М.: ИЛ, 1962.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. – М.: Мир, 1966.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральные операторы. – М.: Мир, 1974.
Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. – Гостехиздат, 1948.
Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973.
Иманалиев М.И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. – Фрунзе: Илим, 1981.
Борубаев А.А., Панков П.С. Компьютерное представление кинематических топологических пространств. – Бишкек: КГНУ, 1999.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ

Подписано к печати 27.03.2002. Формат 60х84 ¹/₁₆.
Офсетная печать. Объем 16,25 п.л.
Тираж 200 экз. Заказ 76.

Издательство Кыргызско-Российского Славянского университета

720000, Бишкек, Киевская, 44

Отпечатано в типографии КРСУ

720000, Бишкек, Шопокова, 68

Лекция № 19