1. Невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии покоя.

2. При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях отказаться от самого понятия классической траектории.

3. Часто теряет смысл деление полной энергии E частицы (как квантового объекта) на потенциальную U и кинетическую K. В самом деле, первая, т. е. U, зависит от координат, а вторая ЎЄ от импульса. Эти же динамические переменные не могут иметь одновременно определенного значения.

Лекция 3.14.

Уравнение Шрёдингера. Квантование энергии и момента импульса. Атом водорода.
Волновая функция. Уравнение Шрёдингера.

В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества Э.Шрёдингер получил в 1926г. свое знаменитое уравнение. Он сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой µ §. Поэтому ее называют также пси-функцией. Она характеризует состояние микрочастицы. Физический смысл водновой функции состоит в следующем: квадрат ее модуля определяет вероятность нахождения частицы в промежутке между точками х и х+dх в момент времени t. Точнее величина µ § является плотностью вероятности или плотностью распределения координат частицы.

Из такого определения следуют свойства волновой функции. Она должна быть однозначной, непрерывной, гладкой (производная не терпит разрыва), конечной. Кроме того, она должна подчиняться условию нормировки µ §.

Основная задача физики микрочастиц (волновой или квантовой механики) как раз и состоит в нахождении волновых функций и связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение Шрёдингера ЁC основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. (Заметим, что одним из решений этого уравнения в свободном пространстве должна быть плоская волна де-Бройля (3.13.9).)

Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Оказывается, что в стационарных состояниях

µ §, (3.14.1)

где частота µ § постоянна, а функция µ § не зависит от времени. Эта независящая от времени часть волновой функции может быть найдена из уравнения Шрёдингера для стационарных состояний

µ §, (3.14.2)

где т - масса частицы, Е ЁC ее энергия, µ § - функция, которая в случае стационарных состояний имеет смысл потенциальной энергии частицы.

Энергия частицы Е входит в уравнение в качестве параметра. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (3.14.2) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями энергии. Решения (значения волновой функции), соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями. Совокупность собственных значений называется спектром величины (энергии). Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр называется дискретным, если же ЁC непрерывную последовательность, спектр непрерывный или сплошной.

Таким образом, из основных положений квантовой механики без каких-либо дополнительных предположений следует квантование (дискретность) энергии.
Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Рассмотрим квантование энергии на простейшем примере движения частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Пусть частица может двигаться только вдоль оси х, где движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l. Потенциальная энергия рана нулю при 0ЎЬ х ЎЬ l и обращается в бесконечность при х < 0 и x > l .

Поскольку волновая функция в этом случае будет зависеть только от х, уравнение Шрёдингера будет иметь вид

µ §. (3.14.3)

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить там частицу, а, следовательно, и волновая функция в этих областях равна нулю. Из условия непрерывности следует, что и на границах ямы она равна нулю

µ §. (3.14.4)

В области, где µ § не равна тождественно нулю, уравнение (3.14.3) примет вид µ §. (3.14.5)

Введя обозначение µ §, (3.14.6)

получим уравнение µ §, (3.14.7)

решение которого будет иметь вид

µ §. (3.14.8)

Из первой части условия (3.14.4) следует µ §. Вторая часть этого условия µ §

Будет выполнена лишь в случае, если

µ § (n=1,2,3,ЎK), (3.14.9)

откуда, приняв во внимание (3.14.6), найдем собственные значения энергии частицы µ § (п=1,2,3,ЎK). (3.14.10)

Спектр энергии оказался дискретным.

Оценим «расстояния» между соседними уровнями. Разность энергий между двумя соседними уровнями равна

µ §. (3.14.11)

Если оценить эту величину для молекулы газа в сосуде (т ~ 10µ §кг, l ~ 10cм), получим µ § Дж µ § эВ. Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии, так что, хотя квантование энергии в принципе будет иметь место, на характере движения молекул это сказываться не будет. Аналогичный результат получим, если рассмотреть поведение свободных электронов в металле (те же размеры ямы, т ~ 10µ § кг, µ § Дж µ §эВ). Однако, совсем другой результат получится для электрона, если область, в пределах которой он может двигаться, будет порядка атомных размеров (~ 10µ § м). В этом случае

µ § Дж µ § эВ,

так что дискретность энергетических уровней будет весьма заметна.

Атом водорода.

Рассмотрим систему, называемую водородоподобным атомом, состоящую из неподвижного ядра с зарядом Ze и движущегося вокруг него электрона (при Z=1 ЁC это атом водорода). Потенциальная энергия электрона представляет собой в этом случае сферически симметричную функцию

µ §. (3.14.12)

Такой случай не предусматривался теорией Бора. В ней движение электрона вокруг ядра происходило по плоским орбитам. Но в квантовой механике, в которой нет представления о движении электронов по орбитам, нет препятствий для реализации сферически симметричных состояний атома. Поэтому уравнение Шрёдингера целесообразно записать в сферической системе координат: r,µ §. Решая это уравнение, получим, что собственные значения энергии могут принимать 1)любые положительные значения 2) дискретные отрицательные значения, равные µ § (п=1,2,3,ЎK). (3.14.13)

Случай Е > 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся на бесконечность. Случай Е < 0 - электрону, связанному с ядром. Заметим, что полученное выражение (3.14.13) совпадает с соответствующей формулой теории Бора (3.12.12). Однако в квантовой механике эти значения получаются из решения основного уравнения без введения каких-либо дополнительных предположений.

Собственные функции уравнения Шрёдингера оказываются от трех целочисленных параметров, которые принято обозначать п, l, т, и распадаются на два множителя, один из которых зависит только от r, другой ЁC от углов µ §

µ §. (3.14.14)

Параметры п, , т называются квантовыми числами. Параметр п называется главным квантовым числом и совпадает с номером уровня энергии в (3.14.13). Параметр l называется азимутальным (или орбитальным) квантовым числом и может при заданном п принимать значения

l = 0,1,2,ЎK(n-1). (3.14.15)

Параметр т - магнитное квантовое число может иметь значения

т = -l, -l+1,ЎK,-1, 0, +1,ЎK,l ЁC 1, l. (3.14.16)

Используя условие нормировки и вид µ § - функции (3.14.14) и проинтегрировав ее по всем возможным углам µ §, можно найти вероятность обнаружить электрон на расстоянии от ядра. На рис. 3.14.1 приведены графики плотности вероятности для атома водорода для состояний 1s (п =1, l = 0) и 2s (п = 2, l = 0), µ § - первый боровский радиус. Пунктирами отмечены радиусы соответствующих боровских орбит. Из рисунка видно, что эти радиусы совпадают с наиболее вероятными расстояниями электрона от ядра. Следовательно, в квантовой механике радиус первой боровской орбиты надо истолковать.как такое расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружения электрона максимальна. Таким образом, атом водорода можно представить в виде сферически симметричного электронного облака, в центре которого находится ядро.

Рис.3.14.1.

Из уравнения Шрёдингера следует также, что квантованным будет и момент импульса электрона. Поскольку, как уже говорилось ранее, все три проекции момента импульса одновременно не могут быть определены, то определяют модуль момента импульса М и его проекцию на одну из осей Мµ §

µ § (3.14.16)

Из этих формул вытекает, что Мµ § < M. Следовательно, направление момента импульса не может совпадать с выделенным в пространстве направлением. Это согласуется с тем обстоятельством, что направление механического момента в пространстве является неопределенным.

При переходе атома из одного состояние в другое изменяется его энергия, что сопровождается излучением или поглощением фотона. Так как фотон имеет не равный нулю момент импульса, то момент импульса атома должен соответственно измениться. Поэтому возможны только такие переходы, при которых азимутальное квантовое число изменяется на единицу

µ §.

Лекция 3.15

Многоэлектронные атомы. Спин электрона. Распределение электронов по энергетическим уровням.
Спин электрона.

В атоме водорода (или водородоподобном) энергия атома определяется только главным квантовым числом п и не зависит от двух других квантовых чисел. Это связано с тем, что электрическое поле ядра атома ЁC кулоновское, т.е. обратно пропорционально квадрату расстояния. В многоэлектронных атомах ситуация меняется. Например, в атомах щелочных металлов внешний (валентный) электрон находится в электрическом поле атомного остова, включающего в себя ядро и внутренние электроны. Это поле уже не будет обратно пропорционально квадрату расстояния до центра. Благодаря этому получается зависимость энергии электрона не только от главного квантового числа п, но и от орбитального числа l. С этим связано отличие энергетического спектра, а, следовательно, и спектра испускания щелочных металлов от водородного.

Исследование спектров щелочных металлов при помощи приборов с большой разрешающей способностью показало еще одно их отличие от спектра водорода. Оказалось, что спектральные линии щелочных металлов имеют так называемую дублетную структуру, т.е. каждая линия состоит из двух очень близко расположенных. Примером может служить желтый дублет натрия, состоящий из двух линий с длинами волн 589,0нм и 589,6нм. То же относится и к другим линиям. Для описания этой структуры трех квантовых чисел оказалось недостаточно ЁC потребовалось четвертое квантовое число.

Это явилось главным мотивом, послужившим американским ученым Дж. Уленбеку и С. Гаудсмиту в 1925 г. для введения гипотезы о спине электрона. Суть ее состоит в том, что у электрона есть не только момент импульса, связанный с перемещением его как целого вокруг ядра. Электрон имеет также собственный или внутренний механический момент, названный спином (от английского слова tо spin ЁC вертеться). Первоначально Уленбек и Гаудсмит предполагали, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси, напоминая в этом смысле классический волчок. Существовавшая в то время модель атома получила еще большее сходство с Солнечной системой. Однако от такого модельного представления пришлось по ряду причин отказаться. В 1928 г. П. Дирак показал, что спин электрона содержится в его теории Электрона, основанной на релятивистском волновом уравнении. Таким образом, спин электрона оказался квантово ЁC релятивистским эффектом, не имеющим классического истолкования. Затем концепция спина была распространена на другие элементарные частицы.

Величина собственного момента импульса Мµ § и его проекции на выделенное направление µ § определяются спиновым квантовым числом s и магнитным спиновым квантовым числoм µ §:

µ § (3.15.1)

Для электрона s = µ §, µ §µ §.

Рассмотрим на примере атома натрия, как наличие спина объясняет дублетную структуру линий. Можно показать, что момент атомного остатка, включающего в себя ядро и внутренние электроны, равен нулю. Поэтому момент атома натрия равен моменту валентного электрона, а он, в свою очередь, складывается из орбитального и спинового моментов. Сложение этих моментов осуществляется по квантовым законам. Полный механический момент определяется квантовым числом j:

µ § µ § (3.15.2)

Таким образом, энергия данного состояния зависит от главного квантового числа п и от квантового числа и различается для случая «параллельной» и «антипараллельной» ориентации орбитального и спинового моментов, что приводит к небольшому различию в энергиях излученных фотонов.

Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по энергетическим уровням.

В отличие от макроскопических тел однотипные частицы микромира (электроны и др.) обладают совершенно одинаковыми свойствами: у них одинаковы масса, электрический заряд, спин и др. В связи с этим возникает вопрос, как отличить одну частицу от другой. Рассмотрим систему из двух электронов. С классической точки зрения электрон движется по определенной траектории, так что принципиально возможно проследить за движением каждого. Обнаружив электрон в какой ЁC то последующий момент времени, можно в принципе сказать, будет это электрон 1 или электрон 2. С изложенной точки зрения одинаковые частицы принципиально различимы или индивидуализированы.

Иначе обстоит дело с точки зрения квантовой механики, отвергающей классическое представление о движении частицы по траектории. Состояние системы частиц описывается в квантовой механике волновой функцией, которой дается вероятностное толкование. Обнаружив в какой ЁC то момент времени один из электронов, принципиально невозможно решить, будет это электрон 1 или 2. Одинаковые частицы принципиально неразличимы или обезличены. Это положение можно сформулировать в виде принципа тождественности одинаковых частиц: в системе одинаковых частиц реализуются только такие состояния, которые не меняются при перестановке местами двух любых частиц.

Отсюда следует положение, высказанное в 1925 г. швейцарским физиком В. Паули, которое носит название принципа Паули: в квантовомеханической системе не могут находиться две тождественные частицы с полуцелым спином. Этот принцип дает объяснение периодической повторяемости свойств атомов.

Состояние электрона определяется четырьмя квантовыми числами: главным п, орбитальным l, магнитным µ §, магнитным спиновым µ §. Из принципа Паули следует, что в атоме не может быть двух электронов, имеющих одинаковыми все четыре квантовых числа. Учитывая возможные значения квантовых чисел, можно найти, что при заданном значении главного квантового числа п количество электронов, у которых отличаются остальные квантовые числа равно 2µ §.
Периодическая система элементов Менделеева.

Высказанное положение объясняет построение периодической системы химических элементов Д.И.Менделеева. В основе систематики химических элементов лежит заряд ядра. Если за единицу принять элементарный заряд е, то заряд ядра будет выражаться целым числом, которое принято обозначать Z. Это число определяет номер химического элемента в периодической системе и число электронов в атоме. Свойства же элемента зависят прежде всего от числа электронов в электронной оболочке и от ее строения. Химические свойства элемента определяются наружными электронами электронной оболочки.

Совокупность электронов атома с заданным значением главного квантового числа образуют электронный слой. Слои принято обозначать прописными буквами латинского алфавита K, L, M, N,ЎK Совокупность электронов с заданными значениями п и l образует оболочку. Оболочкой называется группа состояний, близких друг к другу по энергии. Электроны из одной оболочки отличаются друг от друга по энергии гораздо меньше, чем электроны из различных оболочек.

Рассмотрим теперь, как меняются электронные конфигурации при переходе от одного атома к другому в порядке возрастания их атомных номеров Z. При возрастании Z на единицу увеличивается заряд ядра, а к электронной оболочке атома добавляется один электрон. При этом вновь получаемая конфигурация из Z+1 электронов должна обладать наименьшей энергией. Однако, в состоянии с наименьшей энергией, соответствующей состоянию с п = 1, могут находиться только два электрона, у которых не совпадают все квантовые числа, т.е. не являющихся тождественными. Поэтому только у водорода и гелия в основном состоянии электроны находятся на К ЁC слое (п=1). Когда же в атоме появляется третий электрон (литий), он не может находиться в состоянии с п=1 и начинается заполнение L ЁC слоя (п=2), который может содержать уже 8 электронов. Заполнение L- слоя заканчивается на неоне. И так далее. Таким образом идет заполнение электронных оболочек, начиная с низшей.

Квантовая теория объясняет происхождение периодического закона Д.И.Менделеева. В химическую связь вступают только те электроны, которые при сближении атомов могут изменить свое состояние. Такие электроны называют валентными, и они находятся на внешних оболочках атомов. Атомы с одинаковым числом валентных электронов ведут себя сходным образом, проявляя близкие химические, оптические, электрические и магнитные свойства.

Размеры всех атомов имеют один и тот же порядок величины ~ µ §м, возрастание порядкового номера почти не сказывается на размере атома. Это объясняется тем, что, с одной стороны, с ростом заряда ядра усиливается притяжение к нему электронов, что должно вести к уменьшению размеров атома. С другой же стороны, из ЁC за принципа Паули увеличение числа электронов приводит к заполнению состояний с большим удалением электронов от ядра, что ведет к увеличению размеров атома. Компенсация этих двух факторов как раз и приводит к тому, что размеры атомов остаются одного порядка.

Характеристическое рентгеновское излучение.

При переходе с одного энергетического уровня на другой атомы излучают (или поглощают) электромагнитную энергию. Если это переходы внешних электронов, то излучение имеет частоты в оптическом диапазоне. Но атомы излучают не только при переходах внешних электронов. Атом можно возбудить и путем удаления одного из электронов внутренней заполненной оболочки, например, бомбардируя атом пучком электронов с достаточной энергией. После такого возбуждения атом будет излучать при электронных переходах с более высоких оболочек в освободившееся состояние. Такое излучение находится в рентгеновском диапазоне, т.е. имеет гораздо бульшую частоту. Такое излучение называется характеристическим, поскольку зависит от вида энергетического спектра атома, т.е. зависит от вещества.

Лекция 3.16.

Спонтанное и индуцированное излучение.

Охарактеризуем квантовые процессы испускания и поглощения фотонов атомами. Фотоны испускаются только возбужденными атомами. Излучая фотон, атом теряет энергию, причем величина этой потери связана с частотой фотона соотношением (3.12.7). Если атом, по каким ЁC либо причинам (например, из ЁC за соударения с другим атомом) переходит в возбужденное состояние, это состояние является неустойчивым. Поэтому атом возвращается в состояние с меньшей энергией, излучая фотон. Такое излучение называется спонтанным или самопроизвольным. Таким образом, спонтанное излучение происходит без внешнего воздействия и обусловлено только неустойчивостью возбужденного состояния. Различные атомы спонтанно излучают независимо один от другого и генерируют фотоны, которые распространяются в самых разных направлениях. Кроме того, атом может быть возбужден в разные состояния, поэтому излучает фотоны разных частот. Поэтому эти фотоны некогерентны.

Если атомы находятся в световом поле, то последнее может вызывать переходы как с низшего уровня на высший, сопровождающиеся поглощением фотона, так и наоборот с излучением фотона. Излучение, вызванное воздействием на атом сторонней электромагнитной волны с резонансной частотой, для которой выполняется равенство (3.12.7), называется индуцированным или вынужденным. В отличие от спонтанного в каждом акте индуцированного излучения участвуют два фотона. Один из них распространяется от стороннего источника и воздействует на атом, а другой испускается атомом в результате этого воздействия. Характерной чертой индуцированного излучения является точное совпадение состояния испущенного фотона с состоянием внешнего. Оба фотона имеют одинаковые волновые векторы и поляризации, у обоих фотонов одинаковы также частоты и фазы. Это означает, что фотоны индуцированного излучения всегда когерентны с фотонами, вызвавшими это излучение. Находящиеся в световом поле атомы могут также поглощать фотоны, в результате чего атомы возбуждаются. Резонансное поглощение фотонов атомами всегда является индуцированным процессом, происходящим только в поле внешнего излучения. В каждом акте поглощения исчезает один фотон, а атом переходит в состояние с бульшей энергией.

Какие процессы будут преобладать при взаимодействии атомов с излучением, испускание или поглощение фотонов, будет зависеть от количества атомов, имеющих большую или меньшую энергию.

Эйнштейн применил к описанию процессов спонтанного и вынужденного излучения вероятностные методы. Исходя из термодинамических соображений, он доказал, что вероятность вынужденных переходов, сопровождающихся излучением, должна быть равна вероятности вынужденных переходов, сопровождающихся поглощением света. Таким образом, вынужденные переходы могут с равной вероятностью происходить как в одном, так и в другом направлении.

Рассмотрим теперь много одинаковых атомов в световом поле, которое будем полагать изотропным и неполяризованным. (Тогда отпадает вопрос о зависимости вводимых ниже коэффициентов от поляризации и направления излучения.) Пусть µ § и µ § числа атомов в состояниях с энергиями µ § и µ §, причем эти состояния могут быть взяты какими угодно из ряда допустимых состояний, но µ §. µ § и µ § принято называть заселенностью энергетических уровней. Число µ § переходов атомов из состояния µ § в состояние µ § в единицу времени при спонтанном излучении будет пропорционально числу атомов в состоянии µ §:

µ §. (3.16.1)

Число переходов атомов между теми же состояниями при индуцированном излучении будет также пропорционально заселенности п ЁC ого уровня, но еще спектральной плотности энергии излучения, в поле которого находятся атомы µ §:

µ §µ §. (3.16.2)

Число же переходов с т ЁC ого на п ЁC ый уровень за счет взаимодействия с излучением

µ §. (3.16.3)

Величины µ § называются коэффициентами Эйнштейна.

Равновесие между веществом и излучением будет достигнуто при условии, что число атомов, совершающих в единицу времени переход из состояния п в состояние т будет равно числу атомов, совершающих переход в обратном направлении:

µ § (3.16.4)

Как уже говорилось, вероятность вынужденных переходов в одном и другом направлениях одинакова. Поэтому µ §.

Тогда из (3.16.4) можно найти плотность энергии излучения µ §

µ §. (3.16.5)

Равновесное распределение атомов по состояниям с различной энергией определяется законом Больцмана

µ §.

Тогда из (3.16.5) получим

µ §, (3.16.6)

Что хорошо согласуется с формулой Планка (3.10.23). Это согласие приводит к заключению о существовании индуцированного излучения.
Лазеры.

В 50 ЁC х годах двадцатого века были созданы устройства, при прохождении через которые электромагнитные волны усиливаются за счет вынужденного излучения. Сначала были созданы генераторы, работавшие в диапазоне сантиметровых волн, а несколько позднее был создан аналогичный прибор, работающий в оптическом диапазоне. Он был назван по первым буквам английского названия Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (усиление света с помощью вынужденного излучения) ЁC лазер. Лазеры называют также оптическими квантовыми генераторами.

Чтобы при прохождении вещества интенсивность излучения возрастала, необходимо чтобы для каждой пары атомных состояний, переходы между которыми происходят с испусканием и поглощением фотонов, заселенность состояния с большей энергией была больше заселенности состояния с меньшей энергией. Это означает, что тепловое равновесие должно быть нарушено. Говорят, что вещество, в котором состояние атомов с более высокой энергией заселено больше, чем состояние с меньшей энергией, обладает инверсией заселенностей.

<предыдущая страница | следующая страница>