а) при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

б) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые.

Именно из этих предположений следует, что при многократных измерениях величины х наиболее близким к ее истинному значению х₀ является среднее арифметическое значение:

, (1.2)

где n - число измерений.

Упомянутая выше теория погрешностей дает возможность найти величину случайной погрешности х_сл, т.е. расхождение между х_о и . При этом исходят из следующих соображений.

Пусть  характеризует вероятность того, что истинное значение х_о измеряемой величины отличается от на величину, не большую х_сл, т.е. вероятность того, что истинное значение попадет в интервал от - x_сл до +x_сл (рис.1.1). Например, если  = 0,95, то это означает, что при многократных повторениях опыта ошибки отдельных измерений в 95 случаях из 100 не превысят значения х_сл. Вероятность  называется доверительной вероятностью или надежностью, а интервал значе­ний (  x_сл ) - доверительным интервалом. Как видно, x_сл - это полуширина доверительного интервала. Ее и принимают за абсолютную случайную погрешность. Полуширину доверительного интервала принимают за абсолютную погрешность и в других случаях, например, при косвенных измерениях.

Задача, очевидно, состоит в том, чтобы отыскать x_сл при наперед заданном значении . Решению этого вопроса помогает существующая между x_сл и  математическая связь. Качествен­но эта связь ясна: чем с большей надежностью мы хотим указать результат данных измерений, тем больше должен быть дове­ри­тель­ный интервал.

В теории погрешностей в качестве единицы ширины до­ве­рительного интервала вы­бра­на так называемая средняя ква­дра­тичная погрешность ре­зуль­тата измерений

S = . (1.3)

Здесь - среднее для измеренных n значений (i =1, …, n);

- отклонение i - го наблюдения от среднего значения, n - число измерений.

Учитывая сказанное, было предложено в случае небольшого числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях) вычислять полуширину доверительного интервала по формуле:

х_сл , (1. 4)
где t_,n - некоторое, зависящее от  и n число, называемое коэффициентом Стьюдента. Зависимость t_,n от n понятна: чем больше n, тем меньше отличается от истинного значения, и тем меньше будет доверительный интервал, точнее результат измерения, а значит меньше t_,n.

3. Систематическими называются погрешности, которые сохраняют свою величину и знак во время эксперимента. Систематические ошибки вызываются разными причинами, односторонне влияющими на результат измерений:

• 
  ограниченной точностью приборов (измерительных инструментов) – приборные (инструментальные погрешности);
  
• 
  неправильной настройкой (неравные плечи весов, стрелка не установлена на ноль и т.д.);
  
• 
  в расчетных формулах не учтено влияние некоторых второстепенных факторов (например, при взвешивании не учитывается сила Архимеда, при измерении электросопротивления не учитывается сопротивление проводящих проводов);
  
• 
  округлениями, которые производятся при измерениях и вычислениях.
  

В большем числе случаев систематические погрешности могут быть изучены и скомпенсированы путем внесения поправок в результаты измерений. Если же сделать этого нельзя (или сложно), необходимо правильно учесть вклад систематической ошибки в общую ошибку измерений.

При выполнении лабораторных работ приходится оценивать, как правило, следующие систематические ошибки.

3.1. Приборная (инструментальная) погрешность. Погрешность показания прибора (например, связанная с неправильностью разбивки шкалы амперметра, линейки...) является вполне определенной. При обработке результатов измерений этот вид погрешностей задается в виде так называемой предельной погрешности прибора (коротко - приборной погрешности), указывающей, какова максимально возможная погрешность при использовании данного прибора. При этом для одних приборов указывается предельная абсолютная погрешность х_пр,для других (электроизмерительных, части оптических) предельная относительная погрешность (класс точности прибора k).

Классом точности прибора называется отношение предельной абсолютной погрешности к максимальному значению измеряемой прибором величины

100 . (1.5)
Классов точности семь: 0,02; 0.05; 0,1; 0.5; 1; 2,5; 4. Это число указано на шкале прибора. Зная класс точности и пределы измерения прибора, можно рассчитать его предельную погрешность
. (1.6)
Приборная погрешность других приборов равна точности измерительного прибора, под которой понимают ту наименьшую величину, которую можно надежно определить с помощью данного прибора. Точность прибора зависит от цены наименьшего деления его шкалы и указывается на самом приборе или в его паспорте. Если этих данных нет, то пользуются следующими правилами: если прибор снабжен нониусом (например, штангенциркуль), то его точность (и приборная погрешность) равна цене наименьшего деления х_пр = . При этом  = l / m, где l - цена наименьшего деления основной шкалы прибора, m - число делений нониуса. При отсутствии нониуса (линейка, термометр,...) точность прибора равна половине наименьшего деления шкалы прибора .

Приборная погрешность х_пр представляет собой наибольшую погрешность, даваемую прибором. Действительная же погрешность прибора х_пр^ст (стандартное отклонение) носит случайный характер и меньше х_пр. Строгих формул для перевода х_пр в х_пр^ст нет, чаще всего пользуются выражением

, (1.7)
где - коэффициент Стьюдента при n = .

Примечание: для электроизмерительных приборов х_пр не зависит от значения измеряемой величины х_изм. Относительная же погрешность измерения, т.е. х_пр / х_изм, зависит от х_изм : чем больше х_{изм ,} тем меньше относительная погрешность. Поэтому при измерениях рекомендуется выбирать такие пределы измерения, чтобы отсчеты на них производились бы по второй половине шкалы прибора.

3.2. Погрешность округления при измерении. При измерениях показания приборов часто лежат между делениями шкалы. Отсчет “на глаз” долей деления затруднительны. Поэтому показания приборов, как правило, округляются - возникает погрешность округления при измерениях.

Интервал округления может быть различным. Чаще всего это либо цена наименьшего деления шкалы - , либо половина цены деления. Очевидно, максимальная погрешность округления равна половине интервала округления, т.е. величине /2. Действительная же погрешность меньше, и при доверительной вероятности  за погрешность округления принимают величину

. (1.8)

3.3. Погрешность округления при вычислениях. Этот вид погрешности приходится учитывать только при косвенных измерениях. По этой причине сведения по данной погрешности в следующем разделе.

4. Полная погрешность. Как уже отмечалось, в реальных условиях присутствуют как случайные, так и систематические погрешности. В теории вероятности показывается, что погрешность, обусловленная несколькими независимыми причинами, определяется квадратичным суммированием, т. е. полная абсолютная погрешность прямого измерения

. (1.9)
Относительная погрешность
. (1.10)
При этом доверительная вероятность  выбирается одинаковой для всех видов погрешностей.

Некоторые из слагаемых под знаком корня могут быть настолько малыми по сравнению с другими, что ими можно пренебречь (малыми считаются ошибки, которые не превышают 30 % от максимальной).

В заключение отметим, что количество необходимых измерений определяется соотношением приборной и случайной погрешностей. Если при повторных измерениях получается одно и то же значение, то это означает, что случайная погрешность в данном методе измерений значительно меньше приборной и большее число измерений не изменит общей ошибки.

При значительной случайной погрешности (при повторных измерениях получаются отличные друг от друга значения) число измерений лучше выбрать таким, чтобы случайная погрешность среднего арифметического была меньше приборной, или, по крайней мере, одного с ней порядка.

Погрешности косвенных измерений
Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины a, b, c, ..., полученные при прямых измерениях
z = f (a, b, c,...) . (1.11)
Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал
(1.12)

при надежности  и относительную погрешность .

Что касается , то оно находится путем подстановки в правую часть (1.11) вместо a, b, c,... их средних значений
. (1.13)

Абсолютная погрешность косвенных измерений является функцией абсолютных погрешностей прямых измерений. Если величины a, b, c, ... в функцию z = f (a, b, c,...) входят в виде сомножителей в той или иной степени, т. е. если

(1.14)
(кроме случаев, когда показатель равен –1), то сначала удобно вычислить относительную погрешность
, (1.15)
а затем абсолютную

. (1.16)
Формулы для z и _z часто приводятся в справочной литературе.
Примечания.

1. При косвенных измерениях в расчетные формулы могут входить известные физические константы (ускорение свободного падения g, скорость света в вакууме с и т. д.), числа типа дробные множители 1/3, 1/6 ... . Эти величины при вычислениях округляются. При этом, естественно, в расчет вносится погрешность - погрешность округления при вычислениях, которая должна учитываться.

Принято считать, что погрешность округления приближенного числа равна половине единицы того разряда, до которого это число было округлено. Например,  = 3,14159... . Если взять  = 3,1, то  = 0,05, если  = 3,14, то  = 0,005 ... и т.д. Вопрос о том, до какого разряда округлять приближенное число, решается так: относительная ошибка, вносимая округлением, должна быть того же порядка или на порядок меньше, что и максимальная из относительных ошибок других видов. Таким же образом оценивается абсолютная ошибка табличных данных. Например, в таблице указано  =13,6 ·10³ кг/ м³, следовательно,  = 0,05·10³ кг/м³.

Ошибки значений универсальных постоянных часто указываются вместе с их средними значениями: с = м/c, т.е. с = 0,310³ м/c.

2. Иногда при косвенных измерениях условия опыта при повторных наблюдениях не совпадают. В этом случае значение функции z вычисляется для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляется через значения z так же, как при прямых измерениях (все погрешности здесь входят в одну случайную погрешность измерения z). Величины, которые не измеряются, а задаются (если они есть), должны быть указаны при этом с достаточно большой точностью.

Например, при определении вязкости жидкости методом Стокса (лабораторная работа № 2) при использовании нескольких шариков разного диаметра абсолютная погрешность будет (см. (1.4))

(1.17)
где i - номер опыта, n - число опытов.

В качестве итога всего, сказанного выше, приведем порядок обработки результатов измерений.

Порядок обработки результатов измерений
Прямые измерения
1. Вычислить среднее значение для n измерений: .

2. Найти погрешности отдельных измерений .

3. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений и их сумму: .

4. Задать надежность  (для наших целей принимаем  = 0,95) и по таблице определить коэффициенты Стьюдента t_,n и t_,..

5. Произвести оценку систематических погрешностей: приборной х_пр и ошибки округления при измерениях х_окр = /2 ( - цена деления прибора) и найти полную погрешность результата измерений (полуширину доверительного интервала):
.

6. Оценить относительную погрешность

100 % .
7. Окончательный результат записать в виде
% при  = ...

Косвенные измерения
1. Для каждой величины, измеренной прямым способом, входящей в формулу для определения искомой величины , провести обработку, как указано выше.

2. Определить среднее значение искомой величины z = f ( ,, , ...). При этом если среди величин a, b, c, ... есть табличные константы или числа типа , е, ... , то при вычислениях округлять их следует так (если это возможно), чтобы вносимая при этом относительная ошибка была на порядок меньше наибольшей относительной ошибки величин, измеренных прямым способом.

3. Если зависимость z от a, b, c,... имеет вид , где k, l, m - любые действительные числа, то относительную ошибку вычисляют так:
,
а затем вычисляют абсолютную ошибку .

4. Окончательный результат следует записать в виде

z =   z ,% при  = … .

Примечание.

При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.

При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений.

В окончательной записи абсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру. Если этой цифрой окажется 1 или 2, то после нее сохраняют еще одну цифру.

Среднее значение округляется до того же результата, что и абсолютная погрешность.
Например: V = см= см,

I = (5,530±0,013) A , A = Дж.


Порядок выполнения работы
Определение диаметра цилиндра

1. Микрометром или штангенциркулем из­ме­рить не менее 7 раз (в разных местах и на­пра­вле­ни­ях) диаметр цилиндра (рис. 1.2). Результаты записать в табл. 1.1.

2. Вычислить среднее значение диаметра
=
где n - число измерений, i - номер измерения.

3. Вычислить d_i = (d_i - ), d_i² и .

Таблица 1.1

№№ п/п	di , мм	di – >, мм	(di –)2, мм2	hi, мм	hi – < h>, мм	(hi –)2, мм2
1 2 3 . . 7
Сумма
Среднее значен.

<предыдущая страница | следующая страница>