4. Задавшись надежностью  (от 0,90 до 0,97), по таблице выбрать коэффициенты Стьюдента t_,n и t_, .

5. Определить приборную погрешность d_пр. Для микрометра d_пр = /2 ( - цена деления микрометра, равная обычно 0,01 мм). Для штангенциркуля d_пр =  ,  - “цена” деления нониуса.

6. Вычислить абсолютную ошибку (полуширину доверительного интервала) в определении диаметра цилиндра:

.
7. Вычислить относительную погрешность _d = d/.
Определение высоты цилиндра
Все измерения и вычисления, выполненные при определении диаметра цилиндра, повторить при той же надежности  для высоты цилиндра h. Результаты записать в табл. 1.1.
Определение объема цилиндра

1. 
   Вычислить среднее значение объема цилиндра
   

= /4 ² .

2. 
   Вычислить относительную погрешность определения объема
   

где _ = /.
3. Вычислить полуширину доверительного интервала
V = _v .
4. Результаты записать в виде
V =  V, _v =…%, при  = . . . .

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

Цель работы: измерить коэффициент вязкости.

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, металлические шарики, микрометр, секундомер, миллиметровая линейка.
Краткие теоретические сведения

При движении жидкости между ее соседними слоями, движущимися с разными скоростями, возникают силы внутреннего трения, действующие таким образом, чтобы уравнять скорости всех слоев. Возникновение этих сил объясняется тем, что слои, движущиеся с разными скоростями, обмениваются молекулами. Молекулы из более быстрого слоя передают более медленному слою некоторое количество движения (импульс), вследствие чего он начинает двигаться быстрее. Молекулы из более медленного слоя получают в быстром слое некоторое количество движения, что приводит к торможению быстрого слоя. При переносе импульса от слоя к слою происходит изменение импульса всех слоев. Это значит, что на каждый из слоев действует сила, равная изменению импульса в единицу времени (второй закон Ньютона).

Рассмотрим жидкость, дви­жу­щу­юся в направлении оси х (рис. 2.1). Пусть на расстоянии dz скорости потока отличаются на величину dv. Отношение dv/dz характеризует изменение скорости потока в направлении оси z и называется градиентом ско­ро­сти. Таким образом, градиент скорости численно равен изме­нению скорости на единице длины в направлении, перпендикулярном скорости.

Согласно закону Ньютона, си­ла внутреннего трения (вяз­ко­сти), действующая между двумя сло­ями, пропорциональна пло­ща­ди их соприкосновения S и градиенту скорости:

(2.1)

Величина “эта”) называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом динамической вязкости. Если в формуле (2.1) положить численно dv/dz = 1 и S = 1, то F =  , т.е. коэффициент динамической вязкости численно равен силе внутреннего трения, возникающей на каждой единице поверхности соприкосновения двух слоев, движущихся относительно друг друга с градиентом скорости, равным единице. В системе СИ единица измерения [  ] = кг / (мс) = Пас.

Коэффициент вязкости  зависит от природы жидкости и для данной жидкости с повышением температуры уменьшается.

Силами внутреннего трения в жидкости обусловлено сопротивление, которое испытывает твердое тело при движении относительно жидкости. Аналитическое решение задачи нахождения силы сопротивления является очень сложным. Подобная задача была решена английским физиком Стоксом лишь для случая очень медленного движения шарика в безграничном объеме жидкости. Сила вязкого трения в этом случае оказалась равной следующей величине:

F = 6   r v , (2.2)
здесь r - радиус шарика; v - его скорость относительно части жидкости, находящейся в покое.
Метод Стокса

Формула Стокса (2.2) позволяет определить коэффициент вязкости , если известны другие величины. Метод определения коэффициента вязкости с помощью уравнения (2.2) называется методом Стокса.

Рассмотрим падение шарика в вязкой жидкости. При движении шарика слой жидкости, граничащий с его поверхностью, прилипает к шарику и движется со скоростью шарика, поэтому различные слои отличаются по скорости, и возникает сила вязкого трения.

На шарик, падающий в вязкой жидкости, действуют три силы (рис.2.2):

1) cила тяжести F₁ = mg =  Vg;

2) cила Архимеда F₂ = _жVg (равная весу жидкости в объеме шарика);

3) сила вязкого трения, обусловленная вязкостью жидкости F₃ =6 rv.

Здесь  - плотность материала шарика; _ж - плотность жидкости; V – объем шарика; g - ускорение свободного падения. Все три силы направлены по вертикали: F₁ - вниз, F₂ и F₃ - вверх.

В общем случае уравнение движения ша­ри­ка имеет вид

F₁ - F₂ - F₃ = m dv/dt. (2.3)
Поскольку сила вязкого трения, действующая на шарик, зависит от скорости, то ускорение dv/dt уменьшается до тех пор, пока шарик не достиг такой скорости v₀, при которой ускорение равно нулю. Тогда уравнение (2.3) примет вид:
( - _ж ) Vg - 6 r v₀ = 0 . (2.4)
В этом случае шарик движется с постоянной скоростью v₀.

Решая уравнение (2.4) относительно , по­лу­чим

(2.5)
Если теперь учесть, что V = 4/3  r³, r = d/2, v₀ = l / t, где d – диаметр шарика; l- длина участка равномерного движения, пройденного за время t, то формула (2.5) примет окончательный вид:
. (2.6)
Таким образом, для нахождения  нужно измерить d, l и t.

Описание установки
Длинный стеклянный цилиндр, наполненный исследуемой жидкостью, имеет две горизонтальные метки: А и В, расположенные на расстоянии l друг от друга. Метка А установлена так, что при прохождении через нее шарики уже имеют постоянную скорость v₀ (см. рис.2.2).


Порядок выполнения работы и обработка результатов измерений
1. Измерить диаметр шарика микрометром. Записать результат в табл. 2.1.

Таблица 2.1

 = … кг/ м3 ж = … кг/ м3 l = … см
№ п/п	d, мм	t, с	i , Пас	i = <> - i , Пас	i2 , Па2 с2
1 2 3 4 . . . 7
<i> =  i2 =

2. С помощью секундомера измерить время прохождения шариком расстояния между метками А и В. Записать результат в табл. 2.1. Опыт произвести с 5 - 7 шариками.

3. Измерить расстояние l между метками. Записать в табл. 2.1.

4. Так как  зависит от температуры, записать в таблицу температуру Т, при которой производятся измерения.

5. По результатам каждого опыта вычислить коэффициент вязкости по формуле (2.6). Плотность материала шарика указывается лаборантом, плотность жидкости измеряется ареометром (если прибор отсутствует - ее тоже задает лаборант).

6. Найти среднее значение <> из вычисленных по формуле

.
7. Абсолютную погрешность измерений (полуширину доверительного интервала) найти по формуле
.

Коэффициент Стьюдента, t_,n - найти по таблице (приложение 1), задавшись надежностью .

8. Оценить точность измерений, найдя относительную погрешность
 =  / <> .
9. Окончательный результат записать в виде доверительного интервала  = <>   c указанием значения  .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое вязкость жидкости? Объясните возникновение сил вязкости с молекулярно-кинетической точки зрения.

2. Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости? Пользуясь формулой (2.2), выведите единицы измерения коэффициента вязкости.

3. Что называется градиентом скорости?

4. Запишите и поясните формулу Стокса для силы вязкости.

5. Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости? Как они направлены?

6. Сформулируйте закон Архимеда.

7. Запишите уравнение движения шарика в жидкости.

8. Каков характер движения шарика в жидкости между метками А и В?

9. Выведите расчетную формулу для коэффициента вязкости.

10. Порядок выполнения лабораторной работы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
МАЯТНИК ОБЕРБЕКА

Цель: познакомиться с динамическими характеристиками вращательного движения твердого тела, а также с использованием основного закона динамики вращательного движения.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, секундомер, мерительная линейка, штангенциркуль.


Краткие теоретические сведения

Момент инерции маятника в данной работе определяется из основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Динамическими характеристиками вращательного движения тела являются: момент инерции тела относительно оси, момент силы относительно оси, момент импульса тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела относительно оси

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.3.1), которую будем называть осью (прямая ОО может быть и вне тела). Разобьем тело на эле­мен­тар­ные участки (материальные точки) масс­са­ми Δm, Δm,...,Δm, находящиеся от оси на расстоянии соответственно r, r,... r.

Моментом инерции материальной точки относительно оси OO называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:
I_i = m_ir_i². (3.1)
Моментом инерции (МИ) тела относительно оси ОО называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

I = . (3.2)
Как видно, момент инерции тела есть величина аддитивная - момент инерции всего тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

.

Измеряется момент инерции в кг·м.

Так как

 m_i =  V_i , (3.3)

где ρ - плотность вещества; V_i - объем i - го участка, то или, переходя к бесконечно малым элементам,
I = . (3.4)
Формулу (3.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает
,
где m - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислениях МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I_с относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

I = I_с+ m d². (3.5)
Момент силы относительно точки и оси

Пусть на тело действует си­­ла . Примем для простоты, что сила лежит в плоскости, пер­­пендикулярной некоторой пря­­мой ОО (рис.3.2), которую на­зо­вем осью (например, это ось вра­­щения тела). На рис. 3.2

А­ - точка приложения силы ; О΄ - точка пересечения оси с пло­скостью, в которой лежит сила; А относительно точ­ки О΄; - угол между и .

Моментом силы относительно точки О΄ называется вектор (псевдовектор), определяемый равенством

(3.6)
Модуль этого вектора
M = Frsin  . (3.6, а)
Величина b = rsin  называется плечом силы (кратчайшее расстояние от точки О΄ до линии действия силы).

Моментом силы относительно оси ОО называется скалярная величина М₀₀, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно точки О΄, лежащей на данной оси.

В нашем случае

. (3.7)
В соответствии с выражениями (3.6) и (3.7) вектор направлен по оси ОО, а его проекция М₀₀ лежит на этой оси (cм. рис.3.2).
Момент импульса тела относительно оси вращения
Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью ω. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами m₁, m₂, ... m_i, ..., которые находятся от оси соответственно на расстояниях r_{1 ,} r₂, ... , r₃ , ..., и вращаются по окружностям, имея линейные скорости v₁, v₂, ... , v_i, ... . Известно, что величина, равная - есть импульс i - го участка. Моментом импульса i - го участка (материальной точки) относительно точки О΄ называется вектор (псевдовектор)
, (3.8)
где - радиус-вектор, определяющий положение i -го участка относительно точки О΄.

Моментом импульса всего тела относительно точки О΄ называют вектор:

(3.9)

модуль которого

. (3.9, а)

Моментом импульса тела относительно неподвижной оси ОО называется скалярная величина L₀₀, равная проекции на эту ось вектора момента импульса тела, опре­делен­ного относительно точки О΄, лежащей на дан­ной оси.

В соответствии с выражениями (3.8) и (3.9) векторы и направлены по оси ОО (рис.3.3). Легко показать, что момент импульса тела L₀₀ относительно оси ОО и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношениями

, L₀₀=I·ω . (3.10)
Основной закон динамики вращательного движения

В случае постоянного момента инерции тела в процессе вращения “Основной закон...” читается так: момент силы (или результирующий момент сил, если их несколько), действующий на тело относительно оси вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение, с которым вращается тело:

. (3.11)

Описание установки

и метода определения момента инерции

Маятник Обербека пред­ставляет собой кре­сто­ви­ну, состоящую из втулки 3, четырех спиц 2, укре­плен­ных на одном из концов втулки (рис. 3.4). На спицах раз­ме­щены грузы 1. Последние могут перемещаться вдоль спиц и закрепляться на них с помощью винтов. Другой конец втулки выполнен в виде шкива 4 , на который на­матывается нить-шнур. К сво­бодному концу шнура при­вязан груз 6. Под влия­ни­ем этого груза маятник при­хо­дит в ускоренное вра­ща­тель­ное движение вокруг не­под­вижной оси. Трение меж­ду втулкой маятника и осью пра­ктически сведено к нулю уста­новленными на ось под­шип­никами. Для установки гру­за 5 на определенной вы­со­те предусмотрен указатель 5. Исходным уравнением для определения момента инер­ции I маятника является уравнение (3.11), из которого следует, что

, (3.12)
где M - вращающий момент, в данном случае - момент силы Т натяжения шнура, приложенной в точке k (рис. 3.4); ε - угловое ускорение маятника.

Нить маятника вертикальна, поэтому угол α в формуле (3.6, а) равен 90⁰, так что

М = T R, (3.13)

где R - радиус шкива.

Сила T может быть найдена из второго закона Ньютона, записанного для груза 6:

ma = mg - T,
где m - масса груза, а - ускорение, с которым он опускается, откуда
Т = m (g - а). (3.14)
Таким образом, подставляя (3.14) в (3.13), получим

М = m(g - a) R. (3.15)
Угловое ускорение ε связано с тангенциальным ускорением точек на ободе колеса следующим соотношением:

.

В свою очередь, совпадает с ускорением а, с которым опускается груз 6. Следовательно,

. (3.16)
Ускорение а можно вычислить, если измерить время t опускания груза на определенную высоту h. Действительно,
,

поэтому

. (3.17)
Подставляя (3.17) в (3.16) и (3.15), а затем в (3.12), получим
, (3.18)
где d = 2 R - диаметр шкива.

Заметим, однако, что второе слагаемое в выражении (3.18) оказывается на практике значительно меньше первого, а потому момент инерции маятника можно вычислить как

. (3.19)
Формула (3.19) - рабочая формула для определения I из законов динамики. С другой стороны, как уже отмечалось, момент инерции тела - величина аддитивная. Следовательно, момент инерции маятника Обербека относительно оси вращения можно представить в виде
I = I_в + I_ш + 2I_сп + 4I_гр (3.20)
где: I_в - момент инерции втулки; I_ш - момент инерции шкива; I_пс - момент инерции пары спиц; I _гр - момент инерции одного груза 1. Разумеется, все эти моменты инерции в данном случае берутся тоже относительно оси вращения.

Так как , где l и m_пс - общая длина (рис. 3.5) и масса двух спиц, а для случая, когда грузы 1 находятся на концах спиц,

I_гр = m_гр l₁²
(груз - материальная точка), где l₁ - расстояние от центра масс груза до оси, а m_гр - масса груза 1, то
I = (I_в + I_ш) + 1/6  m_пс l² + 4 m_гр l₁². (3.21)


<предыдущая страница | следующая страница>