Порядок выполнения работы
1. Снять маятник с подвеса и, положив его на стол, измерить линейкой расстояние L между призмами. Результат занести в табл. 5.1.

Таблица 5.1

№	Призма А			Призма Б			Другие
п/п	N1	t1 , с	T1, с	N2	t2 , с	T2, с	результаты
4 6 . . . 12							L = x0 = T =

2. Снять зависимость T₁ (х), перемещая чечевицу от х  = 4 см до х = 12 см. Для чего:

а) после установки чечевицы 3 на том или ином расстоянии х маятник подвесить на призму 4 и, приведя его в колебания (  6⁰), измерить время t для 30 колебаний (отсчет времени лучше получить после того, как маятник сделает несколько колебаний);

б) повернуть маятник на 180⁰ и, подвесив на призму 5, произвести те же измерения, что и в п. 2.а;

в) для всех х по данным пп. а) и б) вычислить периоды колебаний T₁ и T₂. Все результаты занести в табл. 5.1.

3. Построить на миллиметровой бумаге графики зависимостей T₁ = f(x) и T₂ = f(x) в виде плавных кривых. Найти точку пересечения графиков, по которой определить T и х₀ (см. рис. 5.2).

4. По формуле (5.1) вычислить искомое ускорение свободного падения:

.
5. По требованию преподавателя вычислить g и _g (способ определения g и _g обсудить с преподавателем).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Физический маятник.

2. Уравнение колебаний физического маятника (дифференциальное уравнение и его решение).

3. Частота и период колебаний физического маятника.

4. Точка подвеса и центр качаний физического маятника.

5. Приведенная длина физического маятника.

6. Доказательство обратимости точки подвеса и центра качания физического маятника.

7. Метод определения g в данной работе.

8. Порядок выполнения работы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
Цель работы. Познакомиться с особенностями свободных незатухающих и затухающих колебаний.

Приборы и принадлежности: установка - пружинный маятник с набором грузов и шкалой, секундомер, сосуд с водой.
Сведения из теории
Механические колебания - это многократно повторяющиеся движения тела, т.е. движения, при которых тело периодически (через равные промежутки времени) проходит через одно и то же положение в одном и том же направлении.

Простейшими и в то же время часто встречающимися являются гармонические колебания - такие колебания, которые происходят по закону синуса (косинуса).

В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и другие. Рассмотрим свободные колебания.

Свободными называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того, как она однажды была выведена из положения равно­ве­сия. Различают неза­тухающие и затухаю­щие свободные коле­ба­ния, хотя, строго гово­ря, незатухающих сво­бод­ных колебаний в при­роде не бывает.

Рассмотрим сво­бодные колебания на примере пружинного маятника, представ­ля­ю­щего собой тело (материальную точку), подвешенное на пру­жи­не (рис. 6.1). В состо­янии равновесия сила тяжести тела Р = m g (m - масcа тела, g – уско­ре­ние свободного паде­­ния) уравновешивается уп­ругой силой, дей­ству­­ющей на тело со сто­роны пружины F_{0 упр} = k х_о (k- коэффициент жесткости пружины, x₀ - равновесное удли­не­ние пружины). Таким об­разом,

kx₀ = mg . (6.1)
Если тело вы­ве­с­ти из состояния рав­но­ве­сия (например, от­тя­нуть вниз), а затем от­пу­стить, то оно начнет ко­лебаться. Это и есть сво­бодные колебания. Вы­ясним характер этих колебаний, пре­небре­гая пока силами тре­ния.

На колеблющееся те­ло по-прежнему дей­ствуют сила тяжести mg и упругая сила F_упр = - kх₁ , где x₁ - общее удлинение пружины (см. рис.6.1), разное для различных моментов времени. Знак минус указывает на то, что упругая сила направлена в сторону, противоположную смещению. Следовательно, уравнение движения запишется так:

(6.2)
Или, учитывая равенство (6.1),
(6.3)
Обозначив (x - смещение тела от положения равновесия), перепишем выражение (6.3) в виде
или (6.4)
k и m - величины сугубо положительные, поэтому их отношение можно представить в виде квадрата некоторого числа тогда уравнение (6.4) запишется как
(6.5)
Решение уравнения (6.5) имеет вид
(6.6)
Выражение (6.6) называют уравнением колебаний. Здесь А и - постоянные, зависящие от начальных условий; А называют амплитудой колебаний,  - начальной фазой, (₀t+) - фазой колебаний; - циклической частотой колебаний (число колебаний за секунд). Часто для характеристики колебаний указывают период колебаний – T (время одного полного колебания) и частоту колебаний (число колебаний за единицу времени). Очевидно, что
(6.7)
Выражение (6.6) показывает, что при дан­ных условиях колебания являются гармоническими и незатухающими (рис.6.2).

Как уже отмечалось, строго неза­ту­хающих свободных колебаний не бы­ва­ет. Дело в том, что энергия колеб­лю­щей­ся системы постепенно расходуется на преодоление сил трения, которые все­гда имеют место, поэтому амплитуда ко­лебаний уменьшается. Говорят, что ко­лебания носят затухающий характер.

При небольших скоростях дви­же­ния тела сила трения пропорциональна скорости :

(6.8)
Уравнение движения маятника с учетом сил трения запишется так:


Или, введя обозначения и перенеся все слагаемые влево от знака равенства, получим
(6.9)
Решением уравнения (6.9) является выражение
, (6.10)

в котором - ци­кли­ческая частота свободных за­ту­ха­ющих колебаний; - ам­пли­туда колебаний, убывающая с те­чением времени по экспоненте; - начальная амплитуда. График уравнения (6.10) представлен на рис. 6.3. Величина характеризует скорость затухания. Она называется коэф­фи­ци­ентом затухания.

Видно, что  = 1 / t_e, где t_e - время колебаний, за которое ампли­туда уменьшилась в e раз (вре­мя релаксации).

Скорость затухания харак­те­ри­зуют и двумя другими вели­чинами:

1) декрементом затухания  = A_N / A_N+1 = e ^Т, равным отно­ше­нию двух соседних (отстоящих по времени на период T) ампли­туд;

2) логарифмическим декре­мен­том затухания, равным, по опре­делению, натуральному ло­га­рифму от декремента затухания:

 = ln  =  T . (6.11)
Оказывается,  = 1/N_e , где N_e - число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз.
Описание установки, метод определения 

Установка (рис. 6.4) включает штатив 1, на кронштейне которого закреплена пружина 2. К нижнему концу пружины подвешена платформа 6 со съемными грузами 5. Верхний конец платформы снабжен указателем 4, который при смещении маятника скользит вдоль масштабной линейки 3 с зеркалом.

Для получения быстро затухающих колебаний платформу с грузами помещают в сосуд с водой. Коэффициент затухания определяют из следующих соображений: при затухающих колебаниях амплитуда N - го колебания связана с начальной амплитудой А₀ соотношением


где t_N - время N колебаний, за которое амплитуда уменьшилась от до A_N. Отсюда

(6.12)

Порядок выполнения работы
1. Определение коэффициента жесткости пружины. Поочередно нагружая платформу одним или несколькими грузами разной массы (суммарная масса грузов m), измерить соответствующие удлинения пружины  х в состоянии равновесия.

По данным каждого из опытов по формуле (6.1) вычислить коэффициент жесткости пружины. Найти его среднее значение. Результаты занести в табл. 6.1.

Таблица 6.1

m, кг	xн , мм	хк , мм	х = хк - хн , мм	, Н/м	, Н/м

2. Установление зависимости периода колебаний от массы маятника. Нагружая пружину грузами разной массы и инициируя колебания, определить в каждом случае период колебаний Т. Амплитуда колебаний должна быть достаточно малой. Для этого определить с помощью секундомера продолжительность не менее чем 50 колебаний. По этим данным вычислить Т. Результаты занести в табл. 6.2 (m - суммарная масса платформы и грузов).

Таблица 6.2

m, кг	N	tN , с	T = tN /N, с	Ттеор , с

Для тех же нагрузок вычислить период колебаний по формуле

и относительную величину расхождения в процентах между Т_теор и Т (T = |T - T_теор|).

Построить график зависимости или и сделать вывод о совпадении или несовпадении опыта с теорией.

3. Определение коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания колебаний. Маятник поместить в сосуд с водой (верхняя плоскость груза должна находиться на глубине 25-30 мм). Приведя маятник в движение, убедиться, что колебания носят быстро затухающий характер.

При неизменных А₀ , N и m не менее 7 раз измерить:

• 
  амплитуду А_N после совершения маятником N колебаний;
  
• 
  продолжительность t этих N колебаний.
  

За амплитуду удобно взять первое отклонение маятника, за A_N - амплитуду после 10 - 15 колебаний. Результаты занести в табл. 6.3.
Таблица 6.3

Номер опыта	AN, мм	t, с	Величины, характеризующие колебания
1 2 . . .			А0 = <> = N = <> = < t > = < te> = = e> =


По данным измерений вычислить средние значения конечной амплитуды _N> и общего времени колебаний >, а также средние значения других величин, указанных в табл. 6.3.

Найти абсолютную и относительную ошибки в определении коэффициента затухания, принимая :

Абсолютные ошибки конечной амплитуды  A_N и времени колебаний  t вычисляются, как всегда, по соответствующим формулам для прямых измерений.

Результаты представить в виде:

при … , %.

Контрольные вопросы

1. Колебания. Свободные колебания.

2. Свободные незатухающие колебания.

3. Уравнения свободных незатухающих колебаний (дифференциальное уравнение и его решение).

4. Величины, характеризующие колебания: амплитуда, частота и циклическая частота, фаза и начальная фаза.

5. Свободные затухающие колебания.

6. Уравнения затухающих колебаний (дифференциальное уравнение и его решение).

7. Величины, характеризующие скорость затухания колебаний: коэффициент затухания, декремент затухания, логарифмический декремент затухания.

8. Пружинный маятник. Способы определения в данной работе: коэффициента жесткости пружины, периода колебаний маятника, коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ ВОЗДУХА
Цель работы: познакомиться с одним из методов определения показателя адиабаты С_{р /} C_v .

Приборы и принадлежности: установка Клемана - Дезорма для определения С_p / C_v .
Сведения из теории
Состояние газа характеризуется тремя величинами - параметрами состояния: давлением Р, объемом V и температурой Т. Уравнение, связывающее эти величины, называется уравнением состояния газа. Для идеального газа уравнением состояния является уравнение Менделеева-Клапейрона:

,
где М - масса газа;  - масса одного моля; R - универсальная газовая постоянная.

Для одного моля:

PV = RT . (7.1)
Теплоемкостью тела называется количество теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы изменить его температуру на один градус:
(Дж/К).
Здесь dT - изменение температуры тела при сообщении ему количества теплоты dQ.

Теплоемкость единицы массы тела называется удельной теплоемкостью:

(Дж/(кг·К)).
Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью:

(Дж/(моль·К)) . (7.2)
Величина теплоемкости газа зависит от условий его нагревания, т. е. от того, нагревается ли газ при постоянном объеме (обозначим молярную теплоемкость в этом случае через С_v ) или процесс нагревания происходит при постоянном давлении (С_р ). Теплоемкости С_р и С_v связаны между собой. Эту связь можно получить, пользуясь уравнением состояния (7.1), написанным для одного моля газа, и первым началом термодинамики, которое можно сформулировать следующим образом: количество теплоты dQ, переданное системе, затрачивается на увеличение ее внутренней энергии dU и на работу dA, совершаемую системой над внешними телами:
dQ = dU + dA. (7.3)
Элементарная работа

dA = P dV . (7.4)

Исходя из определения молярной теплоемкости (7.2)

.
При изохорическом процессе V = соnst, следовательно, dV = 0 и dA= 0 (см. формулу (7.4)), поэтому
. (7.5)
При изобарическом процессе Р =соnst, следовательно,
. (7.6)
Из уравнения газового состояния (7.1) получаем
PdV + VdP = RdT.
Но dP = 0 (так как Р = сonst), потому Р dV = R dT. Учитывая это равенство и заменяя dU через С_v dT, из выражения (7.6) получим
С_p = C_v + R. (7.7)
Таким образом С_p > С_v : при нагревании при постоянном давлении тепло, сообщенное газу, идет не только на изменение его внутренней энергии, но и на совершение газом работы.

Важную роль в термодинамике играет величина . В частности,  входит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (dQ = 0). Уравнение Пуассона в переменных Р,V имеет вид

РV ^ = соnst. (7.8)
Из первого начала термодинамики (7.3) для адиабатического процесса следует:

dU +dA = 0,
откуда

dA = - dU = - C_v dT,
т.е. работа в этом случае совершается за счет изменения запаса внутренней энергии.
<предыдущая страница | следующая страница>