Несобственное ортогональное преобразование – линейное преобразование . Здесь - ортогональная матрица с определителем: . Общим случаем несобственного ортогонального преобразования системы координат является поворот с последующей инверсией. При несобственных преобразованиях правая координатная система переходит в левую, и наоборот. Отражение в любой плоскости, проходящей через начало координат – частный случай несобственного ортогонального преобразования.

Псевдотензор ранга N - многокомпонентная величина, закон преобразования которой имеет вид:

Этот закон преобразования не отличается от законов преобразования тензора в случае собственных ортогональных преобразований, где , но в случае несобственных преобразований истинные тензоры и псевдотензоры преобразуются по разному закону.

Аксиальный вектор – псевдотензор первого ранга, или псевдовектор. Компоненты псевдовектора при инверсии системы координат не изменяются, а истинного, или полярного вектора изменяют знак. Примерами аксиальных векторов являются: момент силы, момент импульса, магнитный дипольный момент, напряженность магнитного поля, а так же величина, определяемая векторным произведением двух полярных векторов.
Тема 12 Элементы тензорного анализа. Обобщенная теорема Остроградского- Гаусса для тензорных полей.

В заключительной части курса переходим из области тензорной алгебры в область тензорного анализа, но в самом простом случае: рассматривается 3-х мерное евклидово пространство с использованием декартовой системы координат. Смысл данного перехода заключается в том, что вместо отдельных тензоров рассматриваются тензорные поля, в связи с чем, появляется новая операция – дифференцирование тензоров. Дается определение скалярного, векторного и тензорного полей произвольного ранга. Перечисляются все возможные операции над тензорными полями, и доказывается их законность, как обобщение соответствующих операций над отдельными тензорами. Основное внимание уделяется введенной новой операции – дифференцированию тензоров, которая порождает новое тензорное поле, имеющее ранг, на единицу больший, чем исходное. Возвращаясь к введенным ранее операциям вычисления градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа, окончательно устанавливается, что их результатом являются скалярные или векторные поля, что ранее утверждалось без проведения доказательств. В заключительной части лекции формулируется и доказывается теорема, обобщающая интегральную теорему Остроградского-Гаусса, доказанную ранее для случая векторных полей, на случай тензорных полей произвольного ранга. Рассматривается ряд физических приложений обобщенной теоремы Остроградского Гаусса для тензорных полей.

1. Доказывается справедливость закона Архимеда о выталкивающей силе, действующей на тело произвольной формы, погруженное в несжимаемую жидкость.

2. Показывается, что сила самодействия замкнутого стационарного тока (системы токов) равна нулю. В случае замкнутого нестационарного тока компоненты напряженности электрического и магнитных полей на большом расстоянии от тока обратно пропорциональны этому расстоянию, что может привести к возникновению конечной силы самодействия.

3. Теорема Остроградского-Гаусса справедлива и для неевклидова пространства. На качественном уровне рассказывается о геометрии 3-х мерного пространства Вселенной в закрытой модели Фридмана. Конечный объем и отсутствие двумерных границ у такого пространства приводит к равенству нулю полной энергии и электрического заряда Вселенной.
Основные понятия, глоссарий.

Скалярное поле – физическая величина скалярного типа, имеющая определенное значение в каждой точке пространства. Скалярное поле задается функцией координат . В новой координатной системе тоже скалярное поле описывается другой функцией: , если рассматривать новые координаты как функции от старых координат. - матрица ортогонального преобразования декартовой системы координат.

Векторное поле - физическая величина векторного типа, компоненты которой имеют определенное значение в каждой точке пространства. Векторное поле задается тремя функциями координат . В новой координатной системе тоже векторное поле описывается тремя другими функциями: , если рассматривать новые координаты как функции от старых координат.

Тензорное поля ранга N – задается функциями координат для каждой компоненты поля. Общее число таких функций равно . В новой координатной системе тоже поле описывается тем же числом других функций:



Обобщенная теорема Остроградского-Гаусса.

Для тензорного поля N-го ранга справедлива теорема, которая является обобщением теоремы Остроградского-Гаусса.

Для ее доказательства умножим левую и правую части равенства на произвольный постоянный тензор ранга (N-1) и выполним свертку по индексам .

Проектное задание

1. Вычислить свертки, где - символ Леви-Чивита.

а) б)

в) г)

д) е)

2. Получить формулу преобразования двойного векторного произведения

, используя символ Леви-Чивита.

3. Преобразовать выражения, используя символ Леви-Чивита.

а) б)

в) г)

д) е)

4. Вычислить, используя символ Леви-Чивита:

а) , где и - постоянные векторы.

б) , где - постоянный вектор.

в) , где - постоянный вектор.

г)

д) , где и - постоянные векторы.

5. Найти матрицу преобразования системы координат, включающую вначале поворот на 90⁰ вокруг оси Oz, а затем инверсию.

6. Тензор второго ранга в общем случае не является ни симметричным, ни антисимметричным тензором. Его, однако, можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

Антисимметричный тензор второго ранга имеет три отличные от нуля компоненты. Вследствие этого удобно вместо тензора ввести псевдовектор, определенный равенством: . Почему -псевдовектор? Показать, что

7. Симметричный тензор бывает удобно представить в виде суммы шарового тензора и симметричного тензора, имеющего нулевой след (девиатора):

Доказать, что .

8. Векторное поле имеет компоненты: . Найти компоненты тензора девиации (тензор девиации определен в предыдущем задании).
Тест рубежного контроля

1. Какая, из перечисленных ниже компонент символа Леви-Чивита, равна единице?

а) б) в) г)

2. Какое из соотношений для свертки произведения двух символов Леви-Чивита истинно?

а) б)

в) г)

3. Какое из выписанных соотношений не является ротором векторной величины ?

а) б)

в) г)

4. Как преобразуются компоненты символа Леви-Чивита при инверсии системы координат?

а) Не меняются б) Изменяют знак

в) Зануляются в) Становятся равными единице

5. Даны: - истинный (полярный) вектор и - псевдовектор (аксиальный вектор). Чем является их векторное произведение ?

а) истинным вектором б) псевдовектором

в) скаляром г) псевдоскаляром

6. Даны два псевдовектора (аксиальные векторы): и .

Чем является их скалярное произведение ?

а) скаляром б) псевдоскаляром

в) истинным вектором г) псевдовектором

7. Матрица ортогонального преобразования декартовых координат имеет вид

Какому именно ортогональному преобразованию она соответствует?

а) Повороту на 180^о относительно оси OZ

б) Зеркальному отражению в XY координатной плоскости

в) Зеркальному отражению в XZ координатной плоскости

г) Зеркальному отражению в YZ координатной плоскости

8. В исходной декартовой системе координат заданы компоненты аксиального вектора: a₁=1, a₂=2, a₃=3. Указать правильный набор его компонент в системе координат, полученной в результате зеркального отражения в XY координатной плоскости исходной системы координат.

а) a₁=1, a₂=2, a₃=-3. б) a₁=-1, a₂=-2, a₃=3.

в) a₁=-1, a₂=-2, a₃=-3. г) a₁=1, a₂=2, a₃=3.
Бланк ответов

12345678абвг

• 
  <предыдущая страница | следующая страница>