Методические рекомендации по самостоятельной работе Методические рекомендации по проведению практических

Список рекомендованной литературы

1. Савельев И.В. Основы теоретической физики, т. 1. - М.: Наука, 1975.

2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.

3. Батыгин В.В., Топтыгин И.М. Сборник задач по электродинамике.

- М.:Наука,1970.

4. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного

исчисления. Харьков: Вища школа, 1986.

5. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике.

т.1,5,7. –М.: Мир, 1967.

6. Г.Джеффрис, Б.Свирлс. Методы математической физики (Выпуск 1).

–М.:Мир, 1969.

7. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Математические методы физики.

–М.:Атомиздат,1972.

8. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ.

–М.: Наука, 1967.

9. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш., А.А.Новакович, Ф.В. Демехин.

Методические указания “Основы векторного и тензорного анализа”

Часть 2. Ростов-на-Дону. Ростовский государственный университет,

1998.

Промежуточный рейтинг-контроль

По учебному модулю №4 и видам занятий.
1. Практические занятия (6 пр. зан.): мин. 5, макс.10.

2. Контрольная работа: мин. 5, макс.10.

3. Коллоквиум мин. 30 макс. 50

Сумма баллов за модуль: мин. 60, макс.120.

Таблица

Соответствие баллов промежуточного рейтинга оценке

_____________________________________________________________________

Оценка Отлично Хорошо Удовлетво- Неудовлетво-

рительно рительно

__________________________________________________________

Баллы 100-120 80-99 60-79 0-59

__________________________________________________________

К сдаче экзамена по дисциплине допускаются студенты, аттестованные

по 1-му, 2-му, 3-му и 4-му модулю.

4. Методические рекомендации по самостоятельной работе
Самостоятельная работа студентов состоит в проработке лекционного материала, работе с учебниками, подготовке к практическим занятиям, экзамену и зачету.

4.1 Методические рекомендации по изучению вопросов теоретического материала курса «Векторный и тензорный анализ, Дополнительные главы векторного и тензорного анализа», вынесенных на самостоятельную проработку, а также рекомендации по подготовке к практическим занятиям.

Тема 1.

Скалярные и векторные величины в физике. Скалярные и векторные поля. Градиент скалярного поля. Применение понятия градиента в математике и в физике.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.1, 4.3.2, 4.3.5/.

Тема 2.

Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса и ее применение в физике.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.1, 4.3.2, 4.3.4, 4.3.5/. Следует также повторить материал курса «Математический анализ», раздел «Кратные интегралы». Самостоятельная работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.
Тема 3.

Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и ее применение в физике.

Тема 4.

Дифференциальные операторы второго порядка в векторном анализе и примеры их применения в физике.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.2, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.6/. Самостоятельная работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.

Тема 5.

Преобразование выражений векторного анализа. Метод оператора «набла» и примеры его применения в физике.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.2, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.7/. Самостоятельная работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.
Тема 6.

Операции векторного анализа в криволинейных системах координат.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.2, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.8/. Самостоятельная работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.
Тема 7.

Векторы и тензоры. Преобразование векторов и тензоров при поворотах системы координат.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.4, 4.3.5, 4.3.7. 4.3.8/. Самостоятельная работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.
Тема 8.

Операции над тензорами.

Тема 9.

Свойства тензоров второго ранга. Собственные значения и собственные векторы симметричных тензоров второго ранга.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.4, 4.3.5, 4.3.7. 4.3.10/. Самостоятельная работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.

Тема 10.

Символ Леви-Чивита.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.4, 4.3.6, 4.3.7. 4.3.8/. Самостоятельная работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.
Тема 11.

Преобразование тензоров при инверсии системы координат. Псевдотензоры.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.4, 4.3.6, 4.3.7. 4.3.8/. Следует также повторить материал седьмой темы. Самостоятельная работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.
Тема 12.

Элементы тензорного анализа. Обобщенная теорема Остроградского- Гаусса для тензорных полей.

Методические рекомендации: наиболее полно этот вопрос освещен в литературе /4.3.4, 4.3.6, 4.3.7, 4.3.8/. Следует также повторить материал курса «Математический анализ», раздел «Кратные интегралы». Самостоятельная работа состоит также в подготовке к практическому занятию по данной теме и решению задач, заданных на дом.
4.2 Перечень вопросов и задач, выносимых на письменный экзамен.

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 2, 1) в направлении наискорейшего роста функции exp (-r²), r=|r|.

2. Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции (x²+y²-3z) в точке А(-1, 2, -1).

3. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций

(x²+2y²-z²) и r=|r| в точке А(-1, 1, 1).

4. Найти силу, действующую на частицу в точке А(-1, -2, -1), если потенциальная энергия равна (2x+y²-z).

5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

.

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 2), которая является плоскостью, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке. - радиус-вектор, - постоянный вектор с координатами (1, 2, 0).

7. Для тетраэдра, заданного координатами вершин, уметь находить: длины ребер, углы между ребрами, площади граней, углы между гранями, объем.

8. Найти: , , , , , , где , .

9. Найти , ,

10. Вычислить: , , , , , , , , , , , , , где . Результаты записать компактно, по возможности в векторном виде.

11. Вычислить: , , , , , где . Результаты записать компактно, по возможности в векторном виде.

12. Вычислить: , , , где . Результаты записать компактно, по возможности в векторном виде.

13. Вычислить: , , , ,

где . Результаты записать компактно по возможности в векторном виде.

14. Найти поток поля через поверхность сферы радиуса r с центром в начале координат.

15. Найти циркуляцию поля по окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости (y,z).

16. Найти циркуляцию поля по окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости, нормаль которой образует равные углы с координатными осями ( ).

17. Вычислить div grad для следующих скалярных полей:

a) , б) , в) , г) ,

д) , е) , где - постоянный вектор.

18. Вычислить rot rot для следующих векторных полей:

a) , б) , в)

19. Упростить выражения с предварительным использованием методов векторной алгебры и вычислить: a) , б) , в) ,

г) , где -постоянные векторы.

20. Преобразовать выражения методом оператора и затем расписать в частных производных следующие выражения: а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж)

21. Найти напряженность электрического поля, если задан потенциал ,

а) ,

б)

22. Найти плотность электрического заряда в вакууме , если задана напряженность электрического поля ,

а)

б)

23. Зная вид функций , записать квадрат расстояния между двумя бесконечно-близкими точками, и найти коэффициенты Ламе для сферической и цилиндрической систем координат.

(Для сферической системе координат: , , . Для цилиндрической системы координат , , .)

24. Получить формулы для градиента скалярного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

25. Получить формулы для дивергенции векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

26. Получить формулы для ротора векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

27. Получить формулы для оператора Лапласа скалярного поля в сферической и цилиндрической системах координат

28. Задана сферически-симметричная функция: . Найти ,

а) , б) , в)

29. Найти матрицу поворота системы координат на плоскости при повороте на угол .

а) Убедится, что матрица поворота на угол совпадает с произведением матриц и , которые являются матрицами поворота на углы и соответственно.

б) Убедиться, что матрица поворота на угол совпадает с матрицей , где - матрица поворота на угол .

30. Найти матрицу поворота системы координат в трехмерном пространстве на угол .

а) Вокруг оси Ox. б) Вокруг оси Oy. в) Вокруг оси Oz

31. В случае двумерного пространства вычислить компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол следующие:

а) . б) .

в) . г)

32. В случае двумерного пространства вычислить компоненты тензора второго ранга в системе координат, повернутой на угол по сравнению с исходной. Компоненты тензора и угол следующие:

а)

б)

в)

г)

33. В трехмерном пространстве заданы компоненты вектора. Найти компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол вокруг оси Ox по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол следующие:

а)

б)

34. Даны векторы и . Доказать, что множество величин образует тензор второго ранга. Такой тензор иногда называют диадой.

35. Даны: вектор и тензор второго ранга . Доказать, что множество величин образует тензор третьего ранга.

36. Дан тензор третьего ранга . Доказать, что множество величин образует тензор третьего ранга.

37. Даны тензоры второго ранга и . Доказать, что множество величин образует тензор четвертого ранга.

38. Найти тензор , где и являются тензорами в двумерном пространстве и их компоненты равны:

а) ,

б) ,

в) ,

39. В двумерном пространстве заданы векторы и а так же тензоры второго ранга и . Найти тензорную размерность приведенных ниже величин и вычислить все их компоненты:

а) б) в) г) д)

е) ж) з) и) к)

л) м) н) о) п)

Векторы и и тензоры и равны:

40. Разложить тензор второго ранга на сумму симметричного и антисимметричного тензоров, где равны:

а) б)

41. Для симметричного тензора на плоскости: найти собственные значения и собственные векторы, проверить ортогональность собственных векторов, найти орты системы координат, связанной с главными осями, записать матрицу поворота к главным осям, записать вид тензора в главных осях.

Произвести вычисления для тензоров с компонентами:

а)

б)

в)

г)

42. Разложить тензор на сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Для симметричного тензора : найти собственные значения и собственные векторы, проверить ортогональность собственных векторов, найти орты системы координат, связанной с главными осями, записать матрицу поворота к главным осям, записать вид тензора в главных осях, классифицировать тензор (шаровой, симметрический, асимметрический, положительно, отрицательно определенный или знаконеопределенный).

Произвести вычисления для тензоров с компонентами:

a) б)

в) г)

43. Вычислить свертки, где - символ Леви-Чивита.

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

44. Получить формулу преобразования двойного векторного произведения , используя символ Леви-Чивита.

45. Преобразовать выражения, используя символ Леви-Чивита.

а) б)

в) г)

д) е)

46. Вычислить, используя символ Леви-Чивита:

а) , где и - постоянные векторы.

б) , где - постоянный вектор.

в) , где - постоянный вектор.

г)

д) , где и - постоянные векторы.

47. Найти матрицу преобразования системы координат, включающую вначале поворот на 90⁰ вокруг оси Oz, а затем инверсию.

48. Даны: истинный вектор и - псевдовектор. Что представляет собой их векторное произведение?

49. Даны: , и - истинные векторы. Что представляет собой их смешанное произведение ?

50. Даны: и - истинные векторы, - псевдотензор Леви-Чивита. Что представляет собой многокомпонентная величина ? Почему? Какие операции производятся при получении этой величины?

51. Даны: - псевдовектор, - псевдотензор Леви-Чивита. Что представляет собой многокомпонентная величина ? Почему?

52. Даны: - истинный вектор, - псевдовектор. Что представляет собой величина ? Почему?

53. Симметричный тензор бывает удобно представить в виде суммы шарового тензора и симметричного тензора, имеющего нулевой след (тензора девиации):

Доказать, что .

54. Задано векторное поле в двухмерном пространстве: . Найти компоненты тензора девиации в точках: a) x=1,y=2; b) x=0,y=1. Найти главные значения и главные направления тензора девиации в этих точках.

55. Для тензорного поля N-го ранга доказать теорему, которая является обобщением теоремы Остроградского-Гаусса.

Указание: Умножим левую и правую части равенства на произвольный постоянный тензор ранга (N-1) и выполним свертку по индексам .

4.3 Рекомендуемая литература.

1. Савельев И.В. Основы теоретической физики, т. 1. - М.: Наука, 1975.

2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.

3. Батыгин В.В., Топтыгин И.М. Сборник задач по электродинамике.

- М.:Наука,1970.

4. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного

исчисления. Харьков: Вища школа, 1986.

5. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике.

т.1,5,7. –М.: Мир, 1967.

6. Г.Джеффрис, Б.Свирлс. Методы математической физики (Выпуск 1).

–М.:Мир, 1969.

7. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Математические методы физики.

–М.:Атомиздат,1972.

8. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ.

–М.: Наука, 1967.

9. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш. Методические указания “Основы

векторного и тензорного анализа” Часть 1. Ростов-на-Дону. Ростовский

государственный университет, 1995.

10. Ведринский Р.В., Мачавариани В.Ш., А.А.Новакович, Ф.В. Демехин.

Методические указания “Основы векторного и тензорного анализа”

Часть 2. Ростов-на-Дону. Ростовский государственный университет,

1998.

5. Методические рекомендации по проведению практических занятий
Практикум предназначен для:

- закрепления знаний, полученных при изучении теоретического материала по дисциплине «Векторный и тензорный анализ»;

- получения практических навыков аналитических вычислений с использованием аппарата векторного и тензорного анализа.
Перечень практических занятий
Тема 1.

Цель работы: получения практических навыков аналитических вычислений градиента скалярных полей, нахождения экстремумов функций трех переменных. Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.

Номера задач по теме: 1.3.1, 1.5.1, 2.1.1, 2.2.1, 2.2.3, 2.2.6, 2.2.10, 2.3.2, 2.3.4.

Тема 2.

Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса и ее применение в физике.

Цель работы: получения практических навыков аналитических вычислений дивергенции векторных полей и их потоков через замкнутую поверхность, используя теорему Гаусса.

Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.

Номера задач по теме: 3.1.1, 3.1.3, 3.1.6, 3.1.12, 3.2.1, 3.3.1, 3.3.2, 3.4.1, 3.4.2.
Тема 3.

Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и ее применение в физике.

Цель работы: получения практических навыков аналитических вычислений ротора векторных полей и их циркуляций по замкнутым контурам, используя теорему Стокса.

Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.

Номера задач по теме: 4.1.1, 4.1.3, 4.1.6, 4.1.12, 4.3.1, 4.3.3, 4.3.6, 4.5.1, 4.7.
Тема 4.

Дифференциальные операторы второго порядка в векторном анализе и примеры их применения в физике.

Цель работы: получения практических навыков аналитических вычислений с использованием дифференциальных операторов второго порядка при их действии на скалярные и векторные поля.

Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.

Номера задач по теме: 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.2.1, 5.2.2, 5.2.3, 5.3.1, 5.3.2, 5.3.3.
Тема 5.

Преобразование выражений векторного анализа. Метод оператора «набла» и примеры его применения в физике.

Цель работы: получения практических навыков преобразований выражений векторных и скалярных полей с использованием метода оператора «набла».

Решить задачи из сборника методических указаний /4.4.9/.

Номера задач по теме: 6.1.1, 6.1.2, 6.1.3, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.3.1, 6.3.2, 6.3.3.
Тема 6.

Операции векторного анализа в криволинейных системах координат.

Цель работы: получение практических навыков использования сферической и цилиндрической системы координат для вычисления результата действия дифференциальных операторов первого и второго порядков на скалярные и векторные поля.