ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

• ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

• «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

1. Физический факультет

Рассмотрено и рекомендовано УТВЕРЖДАЮ

На заседании кафедры теоретической

и вычислительной физики ЮФУ Декан факультета

Протокол №_______________ __________________________

«______»__________________200 г. __________________________

Зав.кафедрой____________________ «_______»______________200 г.

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

учебной дисциплины

«ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ,

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЕКТОРНОГО

И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА»

вузовского компонента цикла ДВМ

по специальностям: 010701- Физика, 010707- Медицинская физика,

140307-Радиационная безопасность человека и окружающей среды.

• Составитель

• кандидат физ.-мат. наук, доц.

• НОВАКОВИЧ А.А.

1. Ростов-на-Дону

2009 г.

Содержание УМК
1. Пояснительная записка…………………………………………………3

2. Учебно-тематический план дисциплины……………………………..5

3. Содержание курса……………………………………………………….9

Модуль 1. Понятие и определение вектора и векторного поля.

Основные теоремы векторного анализа……………………9

Модуль 2. Дифференциальные операторы в векторном анализе….18

Модуль 3. Понятие и определение тензора. Основные операции и

свойства тензора………………………………………….24

Модуль 4. Элементы тензорного анализа………………………………38

4. Методические рекомендации по самостоятельной работе………..48

5. Методические рекомендации по проведению практических

занятий......................................................................................................58

1. 
   Пояснительная записка
   

1.1. Цели дисциплины
В соответствии с требованиями, предъявляемыми ГОС по специальностям: 010701 –физика, 010707- медицинская физика, 140307-радиационная безопасность человека и окружающей среды, целью изучения дисциплины «Векторный и тензорный анализ, Дополнительные главы векторного и тензорного анализа» является изучение студентами основ одного из наиболее важных для физической науки разделов математики - векторного и тензорного анализа с целью заполнения пробела, существующего между традиционными математическими дисциплинами и дисциплинами теоретической физики, и подготовки студентов к лучшему восприятию последних, а также изложение математических методов, используемых в курсе общей физики, прежде всего в разделе «Электричество и магнетизм».
1.2. Задачи дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны научиться пользоваться математическим аппаратом векторного и тензорного анализа так, как это принято в физике, освоить типичные для физики приемы его применения и привыкнуть к наиболее распространенным в физической литературе системам обозначений.

Для успешного усвоения курса ВТА студенты должны знать и уметь использовать основные разделы традиционного математического анализа, векторной алгебры и аналитической геометрии, которые изучаются на первом курсе физического факультета частично раньше, а частично – параллельно с курсом векторного и тензорного анализа.

В первой части курса ВТА, читаемого студентам второго курса физического факультета в третьем семестре излагаются основы математического описания дифференциальных и интегральных свойств векторных и скалярных полей. Знание этих свойств и умение владеть соответствующим математическим аппаратом совершенно необходимо для освоения курса общей физики «Электричество и магнетизм» и курсов теоретической физики «Электродинамика» и «Основы механики сплошных сред», где изучаются свойства полевых систем – электромагнитного поля и сплошных сред – жидкостей и твердых тел.

Во второй части курса дополнительные главы ВТА, вводится понятие тензора произвольного ранга, излагаются основы тензорной алгебры, включающей все основные операции над тензорами, рассматриваются свойства симметричных тензоров второго ранга, изучается символ Леви-Чивита, использующийся в тензорном анализе для определения векторного произведения, изучается преобразование тензорных величин при инверсии системы координат и дается обобщение интегральной теоремы Остроградского-Гаусса для тензорных полей произвольного ранга. Умение владеть соответствующим математическим аппаратом совершенно необходимо для освоения курса «Основы механики сплошных сред», при изложении которого используются тензоры высших рангов, и облегчит изучение разделов курса «Электродинамика», использующих релятивистскую форму записи уравнений Максвелла.

1.3. Место в образовательной программе специальности

Данная дисциплина является теоретической основой для углубления и расширения знаний, полученных при изучении общих курсов лекций «Электричество и магнетизм», «Основы механики сплошных сред», «Релятивистская электродинамика».

2. Учебно-тематический план дисциплины

(ВТА) Второй курс, третий семестр

Наименование

модулей и темВсего

часов

по

учеб.

плануВиды учебных занятийАудиторные

занятияСам. работаЛекцииПракт. заня-тия123456Модуль 1.

Понятие и определение вектора и векторного поля. Основные теоремы векторного анализа.Тема 1.

Скалярные и векторные величины в физике. Скалярные и векторные поля. Градиент скалярного поля. Применение понятия градиента в математике и в физике.335Тема 2.

Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса и ее применение в физике.336Тема 3.

Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и ее применение в физике.336Модуль 2.

Дифференциальные операторы в векторном анализе.Тема 4. Дифференциальные операторы второго порядка в векторном анализе и примеры их применения в физике.336Тема 5. Преобразование выражений векторного анализа. Метод оператора “набла” и примеры его применения в физике.335Тема 6.

Операции векторного анализа в криволинейных системах координат. 336ИТОГО:70181834

(Дополнительные главы ВТА) Второй курс, третий семестр

Наименование

модулей и темВсего

часов

по

учеб.

плануВиды учебных занятийАудиторные

занятияСам. работаЛекцииПракт. заня-тия123456Модуль 3.

Понятие и определение тензора. Основные операции и свойства тензора.Тема 7.

Векторы и тензоры. Преобразование векторов и тензоров при поворотах системы координат.223Тема 8.

Операции над тензорами.223Тема 9.

Свойства тензоров второго ранга. Собственные значения и собственные векторы симметричных тензоров второго ранга. 445Модуль 4.

Элементы тензорного анализа.Тема 10.

Символ Леви-Чивита.334Тема 11. Преобразование тензоров при инверсии системы координат. Псевдотензоры.334Тема 12.

Элементы тензорного анализа. Обобщенная теорема Остроградского- Гаусса для тензорных полей.445ИТОГО:60181824ИТОГО по двум

частям курса130363658

3. Содержание курса

Модуль 1.

Понятие и определение вектора и векторного поля. Основные теоремы векторного анализа.

Комплексная цель: После изучения модуля студент должен знать определение отдельного вектора и векторного поля, правило преобразования компонент векторов при повороте декартовой системы координат, уметь вычислять дивергенцию и ротор векторного поля, знать критерии потенциальности и соленоидальности векторного поля, уметь вычислять их поток и циркуляцию, понимать физический смысл основных интегральных теорем векторного анализа.

Содержание модуля 1

Тема 1. Скалярные и векторные величины в физике. Скалярные и векторные поля. Градиент скалярного поля. Применение понятия градиента в математике и в физике.

Дается сводка основ векторной алгебры. Обращается внимание на то, что большинство физических величин являются скалярами и векторами. Подчеркивается, что физической величиной является вектор, а не компоненты, зависящие от выбора системы координат. Напоминаются понятия правой координатной системы, проекций (компонент) векторов, единичных ортов, линейной комбинации векторов, скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Приводятся примеры применения векторных методов в геометрии и физике. Вводятся понятия скалярного и векторного полей: и . Подчеркивается, что - это не координата частицы, а координата точки пространства. Рассматриваются скалярные и векторные поля в гидромеханике и электродинамике. Ставится задача изучения дифференциальных свойств скалярных полей – нахождение экстремальных точек, определение скорости изменения поля в заданном направлению, в частности, определения направления и скорости наиболее быстрого роста скалярного поля. Выводится формула, связывающая изменение поля при малом перемещении с компонентами вектора перемещения. Анализируется структура полученной формулы и вводится понятие вектора градиента. Рассматривается, как с использованием градиента решаются задачи описания дифференциальных свойств скалярных полей. Показывается, что направление градиента – направление наискорейшего роста поля, модуль – скорость роста в этом направлении, плоскость, перпендикулярная градиенту – касательная к поверхности постоянного значения поля, точки, где градиент равен нулю – экстремальные точки. Приводятся примеры применения градиента в физике – связь векторного силового поля и поля потенциальной энергии, потенциала и напряженности электрического поля, потока тепла и градиента температуры.

Основные понятия, глоссарий.

Скаляр – однокомпонентная величина, значение которой не зависит от выбора системы координат, например: масса, заряд, энергия, работа, плотность, объем, давление и т.д.

Вектор – трехкомпонентная величина , компоненты которой преобразуются при поворотах системы координат как компоненты радиус-вектора , например, сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и т.д.

Правая декартова координатная система – три взаимно перпендикулярные координатные оси x, y, z (x₁, x₂, x₃), направленные так, что направление оси z (x₃) определяется направлениями осей x, y (x₁, x₂) по правилу правого винта.

Единичные орты – три единичных вектора ( ), направленные по соответствующим координатным осям.

Линейная комбинация векторов - , где ,  - вещественные числа. ЛКВ обладает всеми традиционными алгебраическими свойствами суммы произведений.

Скалярное произведение векторов - скаляр, со следующими свойствами для любых векторов: 1. , 2. ,

3. .

Векторное произведение векторов - вектор, со следующими свойствами: 1. , 2. , . Модуль векторного произведения – это площадь параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях.

Смешанное произведение векторов: - скаляр, модуль которого равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях. Для любых векторов СПВ не меняется при их циклической перестановке и меняет знак при перестановке двух любых векторов-сомножителей.

Если в каждой точке пространства задан скаляр - это скалярное поле.

Если в каждой точке пространства задан вектор - это векторное поле.

Приращение скалярного поля при перемещении на вектор равно: .

Градиент – это вектор с компонентами . Величина , где  - угол между векторами градиент и . Направление вектора - это направление скорейшего роста скалярного поля в данной точке, а модуль градиента – это скорость роста поля в этом направлении.

Экстремальные точки скалярного поля – это точки, при смещении из которых с точностью до членов, линейных по смещению, поле остается неизменным. В этих точках .

1. 
   следующая страница>