Силовое поле - это векторное поле, значение которого в каждой точке пространства равно силе, действующей на частицу в этой точке.

Потенциальное силовое поле – это силовое поле, работа по перемещению частицы в котором по любому замкнутому контуру равна нулю. В этом случае можно ввести скалярное поле потенциальной энергии , связанное с силовым полем соотношением: .

Плотность потока тепла - количество тепловой энергии, протекающей в единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно потоку тепла. Вектор ППТ связан с градиентом температуры соотношением: , где - скалярное поле температуры, - коэффициент теплопроводности.

Тема 2. Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса и ее применение в физике.

На физических примерах потоков массы, тепла и заряда вводится общее понятие потока векторного поля и понятие вектора нормали к дифференциально малой площадке. Показывается, что поток поля через замкнутую поверхность равен сумме потоков через поверхности дифференциально малых объемов, на которые разбивается весь объем. Обращается внимание на то, что для того, чтобы эта сумма была интегральной, необходимо, чтобы каждый член в ней был пропорционален объему малого участка. Вводится понятие дивергенции векторного поля и показывается, что дивергенция – это плотность источников поля. Формулируются теорема Гаусса. Выводится соотношение, выражающее дивергенцию через частные производные компонент векторного поля. Приводятся примеры применения теоремы Гаусса для получения дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения скалярных величин – массы (уравнение непрерывности), электрического заряда и количества тепла (уравнение теплопроводности). Подчеркивается, что использование рассмотренных методов векторного анализа позволяет сформулировать законы электростатики и магнитостатики в дифференциальной и интегральной формах.

Основные понятия, глоссарий.

Вектор площадки направлен перпендикулярно площадке и равен по модулю ее площади. Этот вектор направлен по внешней нормали , если площадка является элементом замкнутой поверхности, в противном случае считается, что этот вектор связан с направлением обхода площадки правилом правого винта.

Поток  векторного поля через площадку в точке равен .

Поток  векторного поля через поверхность S равен сумме потоков этого поля через все площадки , на которые разбита поверхность S. При сумма превращается в интеграл по поверхности S: , где - средняя точка на площадке .

Поток _S векторного поля через замкнутую поверхность S может быть записан как сумма потоков через поверхности дифференциально малых объемов , на которые разбивается замкнутый объем V, ограниченный поверхностью S: . Чтобы последняя сумма была интегральной, необходимо, чтобы потоки были пропорциональны соответствующим объемам .

1. Дивергенция векторного поля в точке - это скаляр, равный: , где - средняя точка в объеме . Отсюда следует, что в пределе при сумма по m становится интегралом по объему V: . Представляя этот поток в виде интеграла по поверхности S, ограничивающей объем V, мы приходим к теореме Гаусса: .

Связь между дивергенцией векторного поля и частными производными его компонент: .

Уравнение непрерывности – дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности  жидкости в каждой точке объема и дивергенцию произведения плотности и скорости жидкости в этой же точке: . Уравнение непрерывности выводится из закона сохранения массы с использованием теоремы Гаусса.

Закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме - дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности электрического заряда  в каждой точке и дивергенцию плотности электрического тока в этой же точке: . Выводится из закона сохранения заряда с использованием теоремы Гаусса.

Тема 3. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и ее применение в физике.

Рассматривается задача вычисления работы силового поля по замкнутому контуру и на основе этого рассмотрения вводится общее понятие циркуляции векторного поля. Устанавливается связь между циркуляцией векторного поля и его потоком через поверхность, натянутую на контур. Вводится понятие ротора векторного поля и выводится теорема Стокса. Устанавливается связь между компонентами ротора и частными производными компонент векторного поля по координатам. Показывается, как в двумерном случае из теоремы Стокса выводится формула Грина. Рассматриваются приложения теоремы Стокса к задачам физики. Доказывается, что необходимым и достаточным условием потенциальности силового векторного поля, заданного во всем пространстве, является равенство нулю его ротора. Выводятся законы электромагнитной индукции Фарадея и магнитостатики Био-Савара-Лапласа в дифференциальной форме.

Основные понятия, глоссарий.

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L - скалярная величина, равная сумме скалярных произведений векторов участков , на которые разбит конур L, и векторов в средних точках этих участков: . При сумма переходит в интеграл по контуру L: . Циркуляция меняет знак при изменении направления обхода контура. Циркуляцию по контуру L можно представить в виде суммы циркуляций по границам L_k дифференциально малых площадок , на которые разбита поверхность S, натянутая на контур L, причем направление векторов согласуется правилом правого винта с направлением обхода контуров L и L_k, для которых вычисляются циркуляции: . Чтобы записанная сумма была интегральной, необходимо, чтобы суммируемые величины были пропорциональны . Это возможно, если существует векторное поле, называемое ротором поля такое, что . При циркуляция записывается в виде интеграла по поверхности S: . Таким образом, циркуляция может быть записана как в виде интеграла по контуру, так и в виде потока ротора векторного поля через поверхность, натянутую на контур. Этот результат называется теоремой Стокса: . Ротор векторного поля выражается через частные производные компонент поля соотношением: . Определитель, стоящий в правой части, надо формально разложить по первой строке, что дает выражение для ротора в виде линейной комбинации единичных ортов.

Формула Грина выводится из теоремы Стокса для случая двумерного поля, заданного на плоскости (x,y): и замкнутого контура L, заданного на плоскости (x,y). Тогда: , и . Тогда из теоремы Стокса следует формула Грина:

.


Проектное задание

1. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций

(x²+2y²-z²) и r=|r| в точке А(-1, 1, 1).

2. Найти силу, действующую на частицу в точке А(-1, -2, -1), если потенциальная энергия равна (2x+y²-z).

3. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах:

.

4. Для тетраэдра, заданного координатами вершин, уметь находить: длины ребер, углы между ребрами, площади граней, углы между гранями, объем.

5. Вычислить: , , , , , где . Результаты записать компактно, по возможности в векторном виде.

6. Вычислить: , , где . Результаты записать компактно, по возможности в векторном виде.

7. Вычислить: , , ,

где . Результаты записать компактно по возможности в векторном виде.

8. Найти поток поля через поверхность сферы радиуса r с центром в начале координат.

9. Найти циркуляцию поля по окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости (y,z).

10. Найти циркуляцию поля по окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости, нормаль которой образует равные углы с координатными осями ( ).
Тест рубежного контроля

1. Найти модуль напряженности электрического поля в точке (1, 1, 1), если потенциал равен (x²-y²+z²).

а) 1 б) –1 в) г)

2. Найти проекцию на ось z напряженности электрического поля в точке

(1, 1, 1), если потенциал равен (x²y²z²).

а) –2 б) 2 в) 1 г) -1
3. Найти поток поля через поверхность сферы единичного радиуса.

а) 1 б) 3 в) г)

4. Найти поток поля через поверхность сферы единичного радиуса. (Вектор имеет компоненты (x, y, 0).)

а) 2 б) 1 в) г)

5. Вычислить .

а) 3 б) 4z в) 3z г) z

6. Вычислить , где

а) 3 б) в) г)

7. Вычислить , где

а) 0 б) в) г)

8. Найти циркуляцию поля по окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости (y,z).

а) 3 б) 1 в) 2 г) 

Бланк ответов

12345678абвг

• 
  <предыдущая страница | следующая страница>