Принцип Ферма
Геометрическая оптика может быть построена, исходя из разных принципов. С одной стороны мы можем воспользоваться законами отражения и преломления, с другой – можно использовать принцип Ферма или принцип Гюйгенса. С законами отражения и преломления мы работали уже достаточно долго, а сейчас обсудим принцип Ферма.

Рассмотрим оптическую среду, в которой скорость света меняется от точки к точке , такая среда называется неоднородной.

Рис. 1. Скорость света зависит от точки

Можно сказать, что скорость света зависит от точки, а можно сказать, что показатель преломления зависит от точки . Это одно и то же, т.к. они связаны соотношением , где постоянная – скорость света в вакууме.

В неоднородной среде световые лучи не движутся по прямым, они искривляются.

Время прохождения пути. Пусть у нас имеется некоторый путь , соединяющий точки и , это может быть световой луч, а может и нет. Тем не менее, мы можем вычислить некоторое условное время – время, которое потратил бы световой луч, если бы он шел вдоль этого пути , имея в каждой точке скорость . Приближенно это время можно вычислить, разбив весь путь на маленькие отрезки длины и выбрав внутри каждого отрезка некоторую точку . Тогда время прохождения маленького отрезка можно оценить как , а общее время прохождения будет равно сумме этих времен
.
Равенство это конечно приближенное, но правая часть – это интегральная сумма для следующего криволинейного интеграла вдоль пути , дающего уже точный результат
.
Этот интеграл мы и назовем временем прохождения пути . Для светового луча это время совпадает с тем временем, которое он на самом деле затрачивает на путь от до . Теперь можно сформулировать принцип Ферма.
П
ринцип Ферма. Зафиксируем две точки и . Из точки выпустим световые лучи во всех возможных направлениях. Пусть, скажем, один из них попадет в точку .

Рис. 2. Один из лучей, выходящих ииз точки , попадает в точку

П
роведем все возможные пути из точки в точку , в том числе и сам световой луч.

Рис. 3. Все пути из в , среди них красным отмечен световой луч

Принцип Ферма говорит о том, чем реальный световой луч отличается от всех остальных путей, соединяющих эти точки,
время прохождения светового луча, идущего из одной точки в другую, наименьшее по сравнению со всеми другими путями, соединяющими эти точки.
Почему, скажем, световой луч может не пойти по отрезку, соединяющему точки, а пойдет по искривленному пути. По принципу Ферма это будет происходить в том случае, если скорость света в точках отрезка больше, чем в точках на искривленном пути.

Часто вместо времени прохождения оперируют с оптической длиной пути

.
Т.к. оптическая длина и время прохождения пропорциональны между собой

,

(коэффициентом пропорциональности служит скорость света в вакууме ), принцип Ферма может быть сформулирован и следующим образом

оптическая длина светового луча, идущего из одной точки в другую, наименьшая по сравнению со всеми другими путями, соединяющими эти точки.
На самом деле обе данные нами формулировки принципа Ферма требуют некоторого уточнения – вместо слова наименьшее в них должно стоять слово стационарное, но сейчас мы не будем на этом останавливаться.

А теперь покажем, что из принципа Ферма следуют все основные законы геометрической оптики.

Прямолинейность световых лучей в однородных средах. Если среда однородна, т.е. скорость света в ней постоянна, , то вдоль любого пути время прохождения пропорционально длине этого пути
.
Здесь в правой части обозначает длину пути. Отсюда следует, что наименьшее время прохождения у того пути, у которого длина наименьшая, т.е. у отрезка прямой. Значит, по принципу Ферма свет пойдет по прямой.
П
ринцип Ферма закон отражения. Пусть световой луч выходит из точки и после отражения попадает в точку . Исходя из принципа Ферма докажем, что угол падения равен углу отражения.
Рис. 4. Среди всех двузвенных ломаных нужно выбрать кратчайшую
Тут нужно небольшое уточнение к принципу Ферма. Чтобы учесть отражение, нам нужно будет сравнивать между собой не все пути из и , а только соприкасающиеся с зеркалом. Т.к. мы считаем, что свет распространяется в однородной среде, где свет движется по прямым, нужно будет сравнивать между собой двузвенные пути , состоящие из двух отрезков и с вершиной , лежащей на зеркале, и выбрать среди них ломаную наименьшей длины.

Этот выбор осуществляют с помощью следующего геометрического приема. Отразим точку в зеркале . Основное геометрическое утверждение состоит в следующем: для любой точки на зеркале длины ломаных и равны.

Рис. 5. Длины ломаных и равны, ломаная – кратчайшая

Это следует из равнобедренности треугольника . Поэтому вместо минимальной ломаной можно искать минимальную ломаную , но такой ломаной будет просто отрезок . Обозначим его точку пересечения с зеркалом . Равенство трех углов с вершиной следует из того, что два из них вертикальны, а для другой пары равенство вытекает из того, что в равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. И теперь углы падения и отражения равны как дополнительные до 90° к двум другим равным углам. Закон отражения доказан.
Принцип Ферма закон преломления. На этот раз световой луч выходит из точки , находящейся в среде, где скорость света равна , и после преломления попадает в точку , которая находится в среде, где скорость света . Исходя из принципа Ферма, для определения траектории светового луча нам нужно найти такую точку , лежащую на границе между средами, чтобы время прохождения ломаной было наименьшим.

Введем систему координат, в которой ось идет вдоль границы раздела сред, а ось проходит через точку . Будем считать, что , и .

Рис. 6. Отрезок имеет длину , длина отрезка равна

Нам нужно минимизировать время прохождения двузвенного пути , подобрав подходящую точку , т.е. определив ее координату
.
Для нахождения минимума вычислим производную и приравняем ее нулю
.
Итак
.
Но второй множитель слева – это , а второй множитель справа – это , поэтому имеем
.
После умножения на скорость света получаем
.
С учетом равенства получаем закон преломления
,
где – показатель преломления первой среды, а – показатель преломления второй среды.
Линза как устройство, собирающее все лучи, выходящие из одной точки, в другую точку. Сначала выразим сомнение в существовании такого устройства. Рассмотрим все лучи, проходящие через него. Эти лучи соединяют две точки. Выберем среди них тот луч, который требует для своего прохождения наименьшего времени. По принципу Ферма свет пойдет только по этому лучу, но никак не по остальным, – явное противоречие.

На самом деле имеется единственная возможность устранить это противоречие – предположить, что время прохождения всех этих лучей одно и то же и, кроме того, оно минимально по отношению к времени прохождения всех других путей, соединяющих эти две точки.

Этот принцип, являющийся следствием принципа Ферма, называется принципом таутохронности или принципом равновремённости. Приступим к конструированию нашего устройства. Самый примитивный эскиз может выглядеть следующим образом

Рис. 7. Первый набросок устройства, собирающего все лучи в одну точку

Я
сно, что эта неверна, т.к. средний луч проходится за наименьшее время и свет пойдет только по нему. В силу принципа таутохронности мы должны уравнять время прохождения всех лучей. Для этого поставим на пути каждого луча замедлитель – кусок стекла, там скорость в полтора раза меньше, чем в воздухе. Для коротких лучей замедлитель (кусок стекла) должен быть потолще, для длинных – потоньше.

Рис. 7. Второй набросок – примитивная линза

Понятно, что полученное устройство – это примитивный прообраз линзы. На самом деле тут не так уж далеко до точного расчета формы идеальной линзы.

Приведем еще один пример применения принципа таутохронности.

Оптическое определение эллипса. На этот раз попытаемся сконструировать отражающее устройство, собирающее (фокусирующее) все лучи, выходящие из одной точки, в некоторой другой точке. Опять принцип Ферма как будто бы препятствует существованию такого устройства. Среди всех таких лучей нужно выбрать самый короткий, и свет будет распространять только вдоль него, но не вдоль остальных лучей.

Но нас опять спасает принцип таутохронности. Мы должны потребовать, чтобы длины всех этих лучей были одинаковы и минимальны по отношению к длинам всех других путей, соприкасающихся с отражающей кривой и соединяющих эти две точки.

Точку, из которой выходят световые лучи, обозначим , точку, в которой они собираются после отражения, – . Точку на кривой обозначим . Принцип таутохронности приводит к тому, что длина двузвеного пути должна быть постоянной величиной, не зависящей от выбора точки на отражающей кривой
.
Э
то и есть оптическое определение эллипса.

Рис. 8. Длины всех двузвенных ломаных равны между собой

Точки и называют фокусами эллипса, константу, стоящую справа в определении эллипса, обозначают
.
Расстояние между фокусами , кроме того, полагают . В этих обозначениях уравнение эллипса в декартовых координатах выглядит следующим образом

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Полезным бывает и параметрическое уравнение эллипса
.
Добавим еще, что величины и , называются полуосями эллипса – большой и малой.